第10章應力狀態(tài)和強度理論

1、第第1010章章 應力狀態(tài)分析和強度理論應力狀態(tài)分析和強度理論10-1 概述概述10-2 平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析10-4 三向應力狀態(tài)三向應力狀態(tài)10-5 強度理論及其應用強度理論及其應用10-3 平面應力狀態(tài)下的平面應力狀態(tài)下的胡克定律胡克定律10-1 概概 述述 一，一點處的應力狀態(tài)一，一點處的應力狀態(tài)例例 軸向拉壓桿，當求桿內(nèi)任一點的應力時，若用不同方位的截面軸向拉壓桿，當求桿內(nèi)任一點的應力時，若用不同方位的截面截取，其應力是不同的。截取，其應力是不同的。f ff faf ff faaf1 橫截面橫截面 mm 上上 a 點的應力為：點的應力為：af1 f fammf ff fa

2、mmnn f fa 斜截面斜截面 nn 上上 a 點的應力為：點的應力為：cossin例例：圓軸扭轉(zhuǎn)任一點應力。：圓軸扭轉(zhuǎn)任一點應力。me eme e橫截面只有切應力橫截面只有切應力itp在斜截面上即有正應力在斜截面上即有正應力 ，又有切應力又有切應力 。例例, 平面彎曲平面彎曲kf k kkkbisfimyzzszk*,kk一點處的應力狀態(tài)一點處的應力狀態(tài): 受力構件內(nèi)一點處不同方位的截面上應力的集受力構件內(nèi)一點處不同方位的截面上應力的集合，稱為一點處的應力狀態(tài)。合，稱為一點處的應力狀態(tài)。研究一點處位于各個截面上應力情況及其變化規(guī)律研究一點處位于各個截面上應力情況及其變化規(guī)律.二，應力狀態(tài)的

3、研究方法二，應力狀態(tài)的研究方法應力狀態(tài)是通過應力狀態(tài)是通過單元體單元體來研究的來研究的研究受力構件中某點的應力狀態(tài)時，就圍繞該點截取一研究受力構件中某點的應力狀態(tài)時，就圍繞該點截取一單元體，單元體，通過通過單元體單元體來研究過該點的各個截面上的來研究過該點的各個截面上的應力應力及其及其變化規(guī)律。變化規(guī)律。單元體單元體是微小六面體是微小六面體1，軸向拉壓，軸向拉壓ff橫截面橫截面 meme2，扭轉(zhuǎn)，扭轉(zhuǎn)橫截面橫截面3，彎曲，彎曲fnn 受力構件內(nèi)應力的特征受力構件內(nèi)應力的特征（1）構件不同截面上的應力狀況一般是不同的；）構件不同截面上的應力狀況一般是不同的；（2）構件同一截面上不同點處的應力狀況

4、一般是不同的；）構件同一截面上不同點處的應力狀況一般是不同的；（3）構件同一點處，在不同方位截面上應力狀況一般是不同的。）構件同一點處，在不同方位截面上應力狀況一般是不同的。單元體特征單元體特征（1）單元體的尺寸無限小，每個面上應力均勻分布；）單元體的尺寸無限小，每個面上應力均勻分布；（2）任意一對平行平面上的應力相等。）任意一對平行平面上的應力相等。三、應力狀態(tài)的分類三、應力狀態(tài)的分類1, 1, 有一對面上總是沒有應力者，稱為有一對面上總是沒有應力者，稱為平面平面應力狀態(tài)應力狀態(tài)2, ,所有面上均有應力者，稱為所有面上均有應力者，稱為空間空間應力狀態(tài)應力狀態(tài)xybacd xy10-2 平面平

5、面應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析 x x y y平面應力狀態(tài)的普遍形式如圖所示平面應力狀態(tài)的普遍形式如圖所示 , 單元體上有單元體上有 x , x 和和 y , y 。bacd xy x x y ybacd x y xybacd x y xy一、斜截面上的應力一、斜截面上的應力fednx x x y y 1 1，截面法，截面法假想地沿斜截面假想地沿斜截面 efef 將單元體截分為二將單元體截分為二, ,留下左邊部留下左邊部分的單體元分的單體元 edfedf 作為研究對象。作為研究對象。ef bacd x y xyfednx x x y y ef （1） : 逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負。逆時針轉(zhuǎn)向為正，

6、反之為負。（2）正應力正應力 : 拉應力為正，壓應力為負。拉應力為正，壓應力為負。（3）切應力切應力 : 對單元體任一點的矩，順時針轉(zhuǎn)為正，反之為負。對單元體任一點的矩，順時針轉(zhuǎn)為正，反之為負。規(guī)定規(guī)定的的符號符號(+)(-)(+)(+)(+)設斜截面的面積為設斜截面的面積為 da , ed 的的面積為面積為 dacos , df 的的面積為面積為dasin cosdaxcosdaxsindaydadasinday x x y y tfed fedcosdaxcosdaxsindaydadasinday x x y y tfed fed 2、任一斜截面、任一斜截面 ( ( 截面截面 ) )上的

7、應力上的應力 , , 的計算公式的計算公式對研究對象列對研究對象列 n 和和 t 方向的方向的平衡方程并解之得：平衡方程并解之得：ncosdaxcosdaxsindaydadasinday x x y y tfed fed n 2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx例例10-1 試求圖示應力狀態(tài)下斜截面上的應力，并取分離體示出試求圖示應力狀態(tài)下斜截面上的應力，并取分離體示出求得的該面上應力。應力單位求得的該面上應力。應力單位: : mpa4010020300401002030,40,20,1000mpampampaxyx解：解：30030,40,20,1000mpampampa

8、xyx4010020300 2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyxmpa0 .72)60cos()40()60sin(2)20(10000300mpa4 .35 )60sin()40()60cos(2)20(1002)20(100003004010020300ab1004020ab35.4mpa72.0mpaa2010040b72.0mpa35.4mpa二，主應力和主平面二，主應力和主平面 2cos2sin2 2sin2cos22 xyxxyxyx 1 1，主應力主應力當某截面上的切應力等于零時，該截面稱為主平面。當某截面上的切應力等于零時，該截面稱為主平面。主平面上的正應力稱

9、為主應力主平面上的正應力稱為主應力02cos2sin200 xyx設設主平面的主平面的方位角為方位角為 0 ，令切應力等于零令切應力等于零2，主平面的位置，主平面的位置yxxtan 2cos2sin2 2sin2cos22 xyxxyxyx yxxtan 說明存在兩個主平面，它們互相垂直。所以主應力也有兩個，兩者說明存在兩個主平面，它們互相垂直。所以主應力也有兩個，兩者方向也互相垂直。方向也互相垂直。平面應力狀態(tài)下，任一點處一般存在兩個不為零的主應力。平面應力狀態(tài)下，任一點處一般存在兩個不為零的主應力?？梢宰C明，受力物體內(nèi)必有三個相互垂直的主平面和相應的三個可以證明，受力物體內(nèi)必有三個相互垂直

10、的主平面和相應的三個主應力。主應力。對于平面應力狀態(tài)，還有一個作用在于對于平面應力狀態(tài)，還有一個作用在于 xy 面垂直方向，數(shù)值為零面垂直方向，數(shù)值為零的主應力。的主應力。一點的三個主應力按代數(shù)值的大小順次標為：一點的三個主應力按代數(shù)值的大小順次標為： 1 ， 2 ， 3 即：即：平面應力狀態(tài)可定義為兩個主應力不等于零的應力狀態(tài)平面應力狀態(tài)可定義為兩個主應力不等于零的應力狀態(tài)3，平面應力狀態(tài)下主應力的計算平面應力狀態(tài)下主應力的計算22)2(2xyxyx21上式中將兩個主應力標為上式中將兩個主應力標為 1 ， 2 只是作為示意，在每一個具體情只是作為示意，在每一個具體情況下應根據(jù)它們以及數(shù)值為零

11、的那個主應力按代數(shù)值來標示。況下應根據(jù)它們以及數(shù)值為零的那個主應力按代數(shù)值來標示。例例： x = 40 mpa， y = - 20mpa ， x = 40mpa按上式求得兩個主應力值為按上式求得兩個主應力值為 1 = 60 mpa ， 3 = - 40mpa，而，而 2 = 0 。02cos2sin22xyxdd 2cos2sin2 2sin2cos22xyxxyxyx4，主應力主應力值的特點值的特點求正應力的極值求正應力的極值正應力達到極值的面上，切應力必等于零。此平面為主平面。正應力達到極值的面上，切應力必等于零。此平面為主平面。正應正應力的極值為力的極值為主應力主應力值值。任一點的任一點

12、的主應力主應力值是過該點的各截面上值是過該點的各截面上正應力正應力中的中的極值，極值，一個是一個是極極大大值，值，一個是一個是極極小小值。值。三，極值切應力三，極值切應力 2cos2sin2xyx求切應力的極值求切應力的極值02sin22cos2211xyxdd22tan1xyx231max切應力的極值切應力的極值最大切應力作用在于主平面成的最大切應力作用在于主平面成的 450 斜截面上。斜截面上。結(jié)結(jié) 論論（1）切應力等于零的截面稱為主平面，主平面上的正應力稱為）切應力等于零的截面稱為主平面，主平面上的正應力稱為主應力。主應力。（2）平面應力狀態(tài)下，任一點處一般均存在一對不為零的主應力，）平

13、面應力狀態(tài)下，任一點處一般均存在一對不為零的主應力，兩主應力的所在截面相差兩主應力的所在截面相差 900。（3）任一點的主應力值是過該點的垂直于紙面各截面中的極值。）任一點的主應力值是過該點的垂直于紙面各截面中的極值。例題例題：試求圖示應力狀態(tài)下的主應力值，用圖示標出不等于零的：試求圖示應力狀態(tài)下的主應力值，用圖示標出不等于零的兩個主應力的作用面。兩個主應力的作用面。4010020401002022)2(2xyxyx211 .7240)40(2)20(1002)20(100)2(22222xyxyxmpampa1 .32, 0,1 .1123214010020mpampa1 .32, 0,1

14、.112321yxxtan67. 0)20(100)40(2220yxxtg8 .16004010020mpampa1 .32, 0,1 .1123218 .1600 0 1 3（1 1） 若若 x x y y ，（ 1 1 在在 90 900 0 范圍內(nèi)取值范圍內(nèi)取值 ）則則 1 1 45 450 0(2) (2) 若若 x x y y ，則則 1 1 45 450 0(3) (3) 若若 x x = = y y ，則則 x x 0 0 ， 1 1 = -45= -450 0 x x 0 0 ， 1 1 = 45= 450 010 - 3 平面應力狀態(tài)下的胡克定律平面應力狀態(tài)下的胡克定律ba

15、cd x y xy一，平面應力狀態(tài)下的胡克定律一，平面應力狀態(tài)下的胡克定律當變形微小時當變形微小時 , 線應變線應變 x , y 都只與該點處的正應力都只與該點處的正應力 x , y 有關有關 ,而切應力而切應力 x， y 無關。無關。拉，壓胡克定律（拉，壓胡克定律（復習復習） e e v yxexxexxexxybacd x y xy x y x y z x yexxexyexzeyyeyxeyzexxexyexzeyyeyxeyz x y xy平面應力狀態(tài)下的胡克定律平面應力狀態(tài)下的胡克定律)(1yxxe)(1xyye)(yxzegxxy x y xy平面應力狀態(tài)下胡克定律的另一種表示平面

16、應力狀態(tài)下胡克定律的另一種表示)(12yxxe)(12xyye0zxyxg)(1yxxe)(1xyye)(yxzegxxy例例10-2 對于物體內(nèi)處于平面應力狀態(tài)的一個點，已測得沿對于物體內(nèi)處于平面應力狀態(tài)的一個點，已測得沿 x，y及及 450 方向的線應變方向的線應變 x ， y 及及 450，試求該點處的，試求該點處的 x ， y 及及 x 。解：解：)(12yxxe)(12xyye)(e)(12yxxe)(12xyye 290sin90cos2200450 xyxxyxyx 2)90(sin)90cos(2200450 xyxxyxyx)(e)2()2(1)(1454545000 xyx

17、xyxee)2(1450yxxe 2 2 1 1 3 310104 三向應力狀態(tài)三向應力狀態(tài)一、三向應力狀態(tài)胡克定律一、三向應力狀態(tài)胡克定律首先計算首先計算 1 , 2 , 3 同時存在時，沿同時存在時，沿 1 方向的線應變方向的線應變 。用疊加原理，分別計算出用疊加原理，分別計算出 1 , 2 , 3 分別單獨存在時分別單獨存在時 , 沿沿 1 方向的方向的線應變線應變 ，然后代數(shù)相加。，然后代數(shù)相加。ee 1 單獨存在時，沿單獨存在時，沿 1 方向的線應變方向的線應變e 11 2 單獨存在時，沿單獨存在時，沿 1 方向的線應變方向的線應變e21 1 1 2 2 3 3 3 單獨存在時，沿單

18、獨存在時，沿 1 方向的線應變方向的線應變e31 e所以所以 1 ， 2， 3 同時存在時，同時存在時，沿沿 1 方向的線應變?yōu)榉较虻木€應變?yōu)?eeee 2 2 1 1 3 3ee21 e31 )(13211e 2 2 1 1 3 3)(13122e)(12133e二，體應變二，體應變體應變指材料體積的相對改變體應變指材料體積的相對改變vva3a1a2 1 2 3a3a1a2 1 2 3vv設變形前單元體的棱邊尺寸為設變形前單元體的棱邊尺寸為 a1 ，a2 ，a3變形前的體積為變形前的體積為aaav321設變形后單元體的棱邊尺寸為設變形后單元體的棱邊尺寸為 a1(1+

19、 1) ，a2 (1+ 2) ，a3 (1+ 3) 變形后的體積為變形后的體積為)1 ()1 ()1 (332211aaava3a1a2 1 2 3vvaaav321)()()()(aaaaaav略去高階微量略去高階微量)1 (321321aaava3a1a2 1 2 3vvaaav321)1 (321321aaav321vvvvv)(21321e體積應變只與三個主應力之和有關，而與它們之比無關。體積應變只與三個主應力之和有關，而與它們之比無關。三，應變能密度三，應變能密度1，定義，定義 ：單位體積物體內(nèi)所積蓄的應變能稱為：單位體積物體內(nèi)所積蓄的應變能稱為應變能密度應變能密度2、計算公式計算公

20、式拉壓桿在線彈性范圍內(nèi)工作時的拉壓桿在線彈性范圍內(nèi)工作時的應變能密度應變能密度為為ee三個主應力同時存在時三個主應力同時存在時, 單元體的單元體的應變能密度應變能密度為為)()( 32121 ev兩單元體的體應變相等兩單元體的體應變相等 12 3(a) m)( 321m31 m(b)m1m2m3(c)a與與bc體應變?yōu)榱泱w應變?yōu)榱阌糜?表示單元體體積改變相應的表示單元體體積改變相應的應變能密度應變能密度，稱為，稱為體積改變能體積改變能密度。密度。v用用 表示與單元體形狀改變相應的表示與單元體形狀改變相應的應變能密度應變能密度, 稱為稱為形狀改變能形狀改變能密度密度d應變能密度應變能密度等于兩部

21、分之和等于兩部分之和dvmaxmaxwmz afn maxmax軸向拉、壓軸向拉、壓10 5 強度理論及其應用強度理論及其應用 一一 , 強度理論的概念強度理論的概念正應力強度條件正應力強度條件彎曲彎曲maxmaxmaxtzttiymmaxmaxmaxczcciym切應力強度條件切應力強度條件afs wtpmaxmax扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn) bisfszz zmax*maxmax彎曲彎曲剪切剪切2, 材料的許用應力材料的許用應力 , 是通過是通過 拉拉(壓壓)試驗試驗 或或 純純剪剪試驗測定試試驗測定試件在破件在破壞時其橫截面上的極限應力壞時其橫截面上的極限應力 , 以此極限應力作為強度指標以此極限應力作為

22、強度指標 , 除以適除以適當?shù)陌踩禂?shù)而得。即根據(jù)相應的當?shù)陌踩禂?shù)而得。即根據(jù)相應的試驗結(jié)果建立的強度條件試驗結(jié)果建立的強度條件。上述強度條件具有如下特點上述強度條件具有如下特點1, 危險點處于危險點處于 單軸應力狀態(tài)單軸應力狀態(tài) 或或 純剪切應力狀態(tài)純剪切應力狀態(tài)。根據(jù)材料在復雜應力狀態(tài)下破壞時的一些現(xiàn)象與形式根據(jù)材料在復雜應力狀態(tài)下破壞時的一些現(xiàn)象與形式 ,進行分析進行分析 , 提出破壞原因的假說提出破壞原因的假說 , 在這些假說的基礎上在這些假說的基礎上 ,可利用材料在單軸應可利用材料在單軸應力狀態(tài)時的力狀態(tài)時的試驗結(jié)果試驗結(jié)果 , 來建立材料在來建立材料在復雜應力狀態(tài)下的強度條件。復

23、雜應力狀態(tài)下的強度條件。二二 , 破壞原因的假說破壞原因的假說 基本觀點基本觀點構件受外力作用而發(fā)生破壞時構件受外力作用而發(fā)生破壞時 , 不論破壞的表面現(xiàn)象如何復雜不論破壞的表面現(xiàn)象如何復雜 , 其其破壞形式總不外乎幾種類型破壞形式總不外乎幾種類型 , 而同一類型的破壞則可能是某一個共而同一類型的破壞則可能是某一個共同因素所引起的。同因素所引起的。材料破壞的兩種類型（常溫、靜載荷）材料破壞的兩種類型（常溫、靜載荷）1 , 塑性流動塑性流動 : 材料出現(xiàn)顯著的塑性變形而喪失其正常的工作能力材料出現(xiàn)顯著的塑性變形而喪失其正常的工作能力。2 , 脆性斷裂脆性斷裂 : 無明顯的變形下突然斷裂。無明顯的

24、變形下突然斷裂。引起破壞的某一共同因素引起破壞的某一共同因素最大正應力最大正應力最大切應力最大切應力形狀改變比能形狀改變比能最大線應變最大線應變包括：包括：最大拉應力理論最大拉應力理論 和和 最大伸長線應變理論最大伸長線應變理論 第第 二類強度理論二類強度理論以出現(xiàn)屈服現(xiàn)象作為破壞的標志以出現(xiàn)屈服現(xiàn)象作為破壞的標志包括：包括：最大切應力理論最大切應力理論 和和 形狀改變比能理論形狀改變比能理論第第 一類強度理論一類強度理論以脆斷作為破壞的標志以脆斷作為破壞的標志三，常用的四種強度強度三，常用的四種強度強度*相當應力相當應力*把各種強度理論的強度條件寫成統(tǒng)一形式把各種強度理論的強度條件寫成統(tǒng)一形

25、式 * 稱為復雜應力狀態(tài)的稱為復雜應力狀態(tài)的相當應力相當應力11* )(*根據(jù)：當作用在構件上的外力過大時，其危險點處的材料就會沿根據(jù)：當作用在構件上的外力過大時，其危險點處的材料就會沿最大拉應力所在截面發(fā)生脆斷破壞。最大拉應力所在截面發(fā)生脆斷破壞。 1、 最大拉應力理論（第一強度理論）最大拉應力理論（第一強度理論） 基本假說：最大拉應力基本假說：最大拉應力 1 (+) 是引起材料脆斷破壞的因素。是引起材料脆斷破壞的因素。脆斷破壞的條件：脆斷破壞的條件： 1 (+) = u,b （材料極限值）（材料極限值）強度條件強度條件 1 2、 最大伸長線應變理論（第二強度理論）最大伸長線應變理論（第二強

26、度理論）基本假說：最大伸長線應變基本假說：最大伸長線應變 1(+) 是引起材料脆斷破壞的因素。是引起材料脆斷破壞的因素。根據(jù)根據(jù)：當作用在構件上的外力過大時，其危險點處的材料就會沿垂當作用在構件上的外力過大時，其危險點處的材料就會沿垂直于最大伸長線應變方向的平面發(fā)生破壞。直于最大伸長線應變方向的平面發(fā)生破壞。 bu ,1)(bueve,)(脆斷破壞的條件：若材料服從胡克定律。則脆斷破壞的條件：若材料服從胡克定律。則buv,)(強度條件為強度條件為 )(3、 最大切應力理論最大切應力理論 (第三強度理論第三強度理論)根據(jù)：當作用在構件上的外力過大時，其危險點處的材料就會沿最根據(jù)：當作用在構件上的

27、外力過大時，其危險點處的材料就會沿最大切應力所在截面滑移而發(fā)生屈服失效。大切應力所在截面滑移而發(fā)生屈服失效。基本假說：基本假說： 最大切應力最大切應力 max 是引起材料屈服的因素。是引起材料屈服的因素。對于塑性材料，單向拉伸時的最大切應力為對于塑性材料，單向拉伸時的最大切應力為2maxs 在復雜應力狀態(tài)下一點處的最大切應力為在復雜應力狀態(tài)下一點處的最大切應力為)(maxs31強度條件為強度條件為4、 形狀改變比能理論（第四強度理論）形狀改變比能理論（第四強度理論）基本假說：形狀改變比能基本假說：形狀改變比能 d 是引起材料屈服的因素。是引起材料屈服的因素。 強度條件為強度條件為 四，強度理論

28、的應用四，強度理論的應用1，相當應力，相當應力*把各種強度理論的強度條件寫成統(tǒng)一形式把各種強度理論的強度條件寫成統(tǒng)一形式 * 稱為復雜應力狀態(tài)的稱為復雜應力狀態(tài)的相當應力相當應力11* )(*2，適用范圍，適用范圍（ 2 ）在二向和三向拉伸應力時，采用最大拉應力理論。）在二向和三向拉伸應力時，采用最大拉應力理論。（ 1 ）最大切應力理論和形狀改變比能理論都適用于塑性材料）最大切應力理論和形狀改變比能理論都適用于塑性材料例題例題 ：對于圖示各單元體，試分別按第三強度理論及第四強度理：對于圖示各單元體，試分別按第三強度理論及第四強度理 論求相當應力。論求相當應力。120 mpa120 mpa解：解

29、：mpa,mpar120)120(0313 mpar120 mpa120 mpampar140313mpa12814011030212224r 140 mpa 110 mpa 1= 140mpa， 2 = 110mpa ， 3 = 0由由 x =100 ， y = 40 ， x = 40 （1）首先求主應力）首先求主應力120)2(222xyxyx主 1 = 120 ， 2 = 20 ， 3 = 020)2(222 xyxyx主1004040 1 = 120 ， 2 = 20 ， 3 = 01004040mpar（2）計算相當應力）計算相當應力mpar.例題例題 某一受力桿件其危險點的應力情況如圖某一受力桿件其危險點的應力情況如圖 , 已知已知 x=