第2章第5節(jié)(新)

1、 阻力可能來自多方面。例如，兩物體之間在潤滑表面或干燥表面上相對(duì)滑動(dòng)時(shí)的阻力;物體在磁場(chǎng)或流體中運(yùn)動(dòng)所遇到的阻力;以及由于材料的粘彈性產(chǎn)生的內(nèi)部阻力等等。在振動(dòng)中,這些阻力稱為阻尼。2.5 有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)1干摩擦阻尼干摩擦阻尼2結(jié)構(gòu)阻尼結(jié)構(gòu)阻尼3流體阻尼流體阻尼4粘性阻尼粘性阻尼阻尼的分類：阻尼的分類：NF2xF(2.5-1) 兩接觸面之間有潤滑劑，摩擦力則決定于潤滑劑的“粘性”和運(yùn)動(dòng)的速度。兩個(gè)相對(duì)滑動(dòng)面之間有一層連續(xù)的油膜存在，阻力與潤滑劑的粘性和速度成正比，其速度的方向相反，即 Fcvcx (2.5-2)粘性阻尼粘性阻尼： 阻尼的存在將消耗振動(dòng)系統(tǒng)的能量。消耗的

2、能量轉(zhuǎn)變成熱能和聲能(噪聲)傳出去。在自由振動(dòng)中，能量的消耗導(dǎo)致系統(tǒng)振幅的逐漸減小而最后使振動(dòng)停止。式中c稱為粘性阻尼系數(shù)，單位為Ns/m。 圖2.5-1表示有粘性阻尼的振動(dòng)系統(tǒng)，試建立粘性阻尼的衰減振動(dòng)的微分方程。 取鉛垂向下的坐標(biāo)軸x，以物體的靜平衡位置O為原點(diǎn)，向下為正。由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有0 xmkxmcx (2.5-3b) 或kxxcxm (2.5-3a)有粘性阻尼的振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程。圖 2.5-1其中s是待定常數(shù)，代入式(2.5-3)，可得粘性阻尼的衰減振動(dòng)的解。 stxe設(shè)(2.5-4)0e2stmksmcs(2.5-5)有02mksmcs(2.5-6)上面的代數(shù)方程為有

3、粘性阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的特征方程，有兩個(gè)根s1和s2mkmcmcs22, 122(2.5-7) 使式(2.5-7)根號(hào)內(nèi)的項(xiàng)等于零，亦即s1與s2為等值時(shí)的阻尼系數(shù)值，稱為臨界阻尼系數(shù)。記為cc，即 (2.5-9)kmmmkmcnc222式中,n為無阻尼時(shí)振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率。于是微分方程(2.5-3)的通解為tstseBeBx2121(2.5-8)式中，B1和B2為任意常數(shù)。決定于運(yùn)動(dòng)的初始條件。 引進(jìn)了以后，微分方程(2.5-3)和特征方程(2.5-6)可以改寫為引進(jìn)阻尼比(或稱相對(duì)阻尼系數(shù))，有ncmckmccc22(2.5-10)022xxxnn (2.5-11)(2.5-12)0222nns

4、s則特征方程的根為(2.5-13)ns122, 1振動(dòng)特性振動(dòng)特性 無阻尼無阻尼 0 0： 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)弱弱(小）阻尼?。┳枘?0 1： 衰減運(yùn)動(dòng)衰減運(yùn)動(dòng) 下面分別就 1的三種情況討論有粘性阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的解的性質(zhì)。 1小阻尼情況小阻尼情況(即 1，ccc)式中 。則解式(2.5-8)為1inns22, 11i(2.5-14)ee(e221i21i1tttnnnBBx(2.5-15)令nd21(2.5-16)d 通常稱為阻尼自由振動(dòng)的圓頻率。 設(shè)在t=0時(shí)，有x=x0, ，則代入解(2.5-15)及其導(dǎo)數(shù)0 xx )ee(ie)ee(ei2i1i2i1ttdttttnddnddnBBBBxt

5、=0時(shí)210BBx)(i)(21210BBBBxdnddnddnxxBxxB2ii,2ii002001解得將 與 代入式(2.5-15)即得系統(tǒng)對(duì)于初始條件 與 的響應(yīng)1B2B0 x0 x 根據(jù)歐拉公式 ，則式(2.5-15)可以簡(jiǎn)化為ttddtdsinicosei式中A1=B1+B2，A2=i(B1-B2),為待定系數(shù)。仍決定于初始條件。tAtAxddtnsincose21(2.5-17) 設(shè)在t=0時(shí)，有x=x0, ，則代入解式(2.5-17)及其導(dǎo)數(shù)，得0 xx tAtAtAtAxddddtddtnnncossinesincose2121在t=0時(shí)有dnAxxAx20010,20010,

6、AxxAxdn解得經(jīng) 與 代入式(2.5-17)即得系統(tǒng)對(duì)于初始條件 與 的響應(yīng)。1A2A0 x0 x 經(jīng)過三角函數(shù)變換A1=Asin，A2=Acos，方程的解(2.5-17)可以簡(jiǎn)化為tAxdtnsine(2.5-18)式中A與為待定常數(shù)，仍決定于初始條件。 設(shè)在t=0時(shí)，有x=x0, ，則代入解式(2.5-18)及其導(dǎo)數(shù)，得0 xx )sin()cos(ettAxdnddtn在t=0時(shí)有)sincos(,sin00ndAxAxcos00Axxdn或解得00020020tg,xxxxxxAnddn將A與代入式(2.5-18)即得系統(tǒng)對(duì)于初始條件 與的 響應(yīng)。0 x0 x 當(dāng)t， x0，振動(dòng)最

7、終將消失，所以小阻尼的自由振動(dòng)也稱為衰減振動(dòng)。 由解(2.5-18)可見，系統(tǒng)振動(dòng)已不再是等幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是振幅被限制在曲線 之內(nèi)，隨時(shí)間不斷衰減。tnAe圖 2.5-2 阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響有兩個(gè)方面： 一方面使系統(tǒng)振動(dòng)的周期略有增大，頻率略有降低，即式中T=2/n和f=n/2為無阻尼自由振動(dòng)的周期和頻率。(2.5-19)2222111ddnTT 212ddff(2.5-20)(1) 小阻尼情況(即1)：Td=1.00125T當(dāng)=0.3時(shí)，與無阻尼的情形比較，只差0.125%。Td=1.05T，fd=0.95f與無阻尼的情形比較，也只差5%。 所以在阻尼比較小時(shí)，對(duì)周期和頻率的影響可以忽略

8、不計(jì)。 當(dāng)=0.05時(shí)，另一方面使系統(tǒng)振動(dòng)的振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減。 相鄰兩個(gè)振幅之比dndnnTTttAAAAeee)(2111(2.5-21)式中稱為減幅系數(shù)。可見在一個(gè)周期內(nèi)，振幅減縮到初值的 。 dnTe1在=0.05時(shí)，=1.366，A2=A1/1.366=0.73A1亦即在每一個(gè)周期內(nèi)振幅減小27%，振幅按幾何級(jí)數(shù)縮減，衰減是顯著的。同樣相對(duì)阻尼系數(shù)可以確定為222(）(2.5-23)為了避免取指數(shù)值的不方便，常用對(duì)數(shù)減幅來代替減幅系數(shù)，即22112elnlndnTTAAdn(2.5-22)即對(duì)數(shù)縮減表示為唯一的變量的函數(shù)。當(dāng) 1，ccc)ns)1(22, 1(2.5-30)則解為tt

9、nnBBx121122ee(2.5-31)tstsxsxsxxsstx21e)(e)(1)(0102002100 xx）（00 xx）（以初始條件 右端兩項(xiàng)的絕對(duì)值都隨時(shí)間t按指數(shù)規(guī)律衰減，它所表示的運(yùn)動(dòng)不再是振動(dòng)，而是一種非周期的運(yùn)動(dòng)。 圖2.5-4所示的為此種衰減響應(yīng)曲線的一種。 圖 2.5-4從上面討論的情況可見，系統(tǒng)振動(dòng)的性質(zhì)決定于相對(duì)阻尼系數(shù)的值。 將式(2.5-13)以為參量，在復(fù)平面上畫出，如圖2.5-5所示。實(shí)軸表示之值。 圖 2.5-5從圖上可見：當(dāng) =0時(shí)，s1,2=in，是兩個(gè)虛根，即虛軸上截距為n的對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于無阻尼自由振動(dòng)。當(dāng)0 1，s1和s2是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根

10、，是位于以n為半徑的圓上與實(shí)軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于弱阻尼狀態(tài)的衰減振動(dòng)。當(dāng)趨向于1，s1和s2都趨近于實(shí)軸上-n點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于臨界阻尼狀態(tài)。當(dāng)大于1時(shí)，s1和s2是兩個(gè)實(shí)數(shù)根，對(duì)應(yīng)于大阻尼狀態(tài)。隨的增大，s1和s2沿實(shí)軸反向移動(dòng)。當(dāng)時(shí)， s1 0 ， s2 。 例例2.5-1 為車輛設(shè)計(jì)小阻尼減振器，要求振動(dòng)一周后的振幅減小到第一幅值的1/16。已知車輛質(zhì)量m=500(kg)，阻尼振動(dòng)周期Td=1(s)，試求減振器的剛度系數(shù)k和阻尼系數(shù)c。解解：由 得 ，則對(duì)數(shù)減幅161121AA1621AA7726. 216lnln21AA 解出阻尼比=0.4037(rad/s) 8677. 6122dnT臨界

11、阻尼系數(shù)、阻尼系數(shù)及彈簧剛度求得如下：(Ns/m) 7 .68678677. 650022ncmc(Ns/m) 49.27727 .68674037. 0ccc(N/m) 65.23582)8677. 6(50022nmk又由式(2.5-20)求得固有頻率 由于阻尼可以使振動(dòng)衰減，所以在工程實(shí)際中，阻尼的應(yīng)用十分廣泛，并且恰當(dāng)?shù)淖枘徇€可以使振動(dòng)幾乎消失，這為消除有害振動(dòng)提供了有效途徑。1阻尼材料阻尼材料 塑料、橡膠、阻尼陶瓷、阻尼合金、等等。有阻尼自由振動(dòng)的工程應(yīng)用有阻尼自由振動(dòng)的工程應(yīng)用2機(jī)械系統(tǒng)隔振機(jī)械系統(tǒng)隔振 工程上許多機(jī)械設(shè)備，如精密機(jī)床，往往被固定在較重的混凝土基礎(chǔ)之上，在基礎(chǔ)與地面

12、之間鋪設(shè)一層彈性阻尼襯墊，以隔絕外界振動(dòng)的干擾，如圖所示。 在機(jī)械系統(tǒng)中出現(xiàn)自激振動(dòng)的例子很多，如機(jī)床的切削過程，旋轉(zhuǎn)軸的油膜振動(dòng)，機(jī)翼的顫振等等，這都是工程實(shí)際中還在繼續(xù)研究的問題，人們企圖在設(shè)計(jì)過程中預(yù)計(jì)不發(fā)生這種振動(dòng)，因?yàn)檫@種振動(dòng)一開始就表現(xiàn)為不穩(wěn)定的增長運(yùn)動(dòng)而導(dǎo)致事故。在重型鍛錘隔振系統(tǒng)中應(yīng)用粘滯阻尼減振器振動(dòng)造成45度裂縫 重型鍛錘是機(jī)械、冶金、汽車、船舶等行業(yè)廣泛使用的重要設(shè)備。鍛錘在鍛打坯料時(shí)將產(chǎn)生嚴(yán)重的振動(dòng)和噪聲，許多生產(chǎn)車間的勞動(dòng)條件因之而惡化，錘基的振動(dòng)，又通過土壤傳給周圍環(huán)境，對(duì)鍛工、廠房、精密儀器儀表及工廠周圍的居民生活構(gòu)成一大公害。彈簧粘帶阻尼減振器 鍛錘安裝了減振隔

13、振系統(tǒng)之后，鍛錘使用過程中對(duì)周圍環(huán)境影響較小，且衰減較快，明顯地減少了振動(dòng)與噪聲這一公害。鍛錘直接安裝減振器粘滯阻尼減振器的結(jié)構(gòu)與安裝使用技術(shù)下底座直接彈性支承隔振系統(tǒng) 如圖所示為并聯(lián)粘滯阻尼彈簧隔振器成一體安裝于鍛錘機(jī)體的底部。阻尼器的特性基本上不受溫度影響。實(shí)踐證明，它已可以作為一種標(biāo)準(zhǔn)隔振方案，幾乎可以使用于所有種類的鍛錘上。鍛錘采用彈簧粘滯阻尼減振器設(shè)備是一種最佳的選擇。 Santana轎車整車薄壁上粘貼高阻尼材料，以達(dá)到減振降噪的效果。3橋梁、高塔等高大建筑的消振橋梁、高塔等高大建筑的消振 高大的橋梁、鐵塔等建筑物，四周用鋼索拉緊。當(dāng)受到風(fēng)力、車輛和行人激勵(lì)時(shí)，鋼索會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，進(jìn)而使

14、橋梁、鐵塔等建筑物穩(wěn)定性受到威脅。為此，在鋼索上裝有阻尼的動(dòng)力消振器。從20世紀(jì)70年代以來，人們開始逐步地把阻尼減振技術(shù)轉(zhuǎn)用到建筑、橋梁、鐵路等工程中，并發(fā)展十分迅速。在航天航空、軍工、汽車等行業(yè)中早已應(yīng)用了阻尼器來減振消能。到20世紀(jì)末，全世界已有近100多個(gè)結(jié)構(gòu)工程運(yùn)用了阻尼器來吸能減振。Maysville 斜拉橋阻尼器的安置佐治亞州 Sidney Lanier 橋西雅圖Novelty 橋Willamette 河行人橋舊金山海灣懸索大橋倫敦Millennium 橋全景長樁阻尼器水平人字安裝阻尼器垂直人字安裝阻尼器 1999年北京站抗震加固工程采用了先進(jìn)的阻尼器。在每個(gè)方向安裝16個(gè)130

15、噸非線性液體粘滯阻尼器，阻尼器可以使原結(jié)構(gòu)的阻尼比從5%（一般鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)）提高到了20%，從而把大震下的層向位移降低到彈性范圍內(nèi)。 美國前貿(mào)易中心大樓用了10000個(gè)節(jié)點(diǎn)阻尼器，使整個(gè)結(jié)構(gòu)阻尼增加了兩倍。受到風(fēng)激勵(lì)后，高樓的振幅比無節(jié)點(diǎn)阻尼器時(shí)減少80%以上。2001年9月11日紐約世貿(mào)中心110層大廈被波音767-200飛機(jī)撞擊后整體坍塌，原因是鋼制支柱在極高的溫度(800C)下持續(xù)受熱造成的動(dòng)力響應(yīng)。撞擊后，在結(jié)構(gòu)中傾注的飛機(jī)燃油引起大火，加熱降低了材料的屈服強(qiáng)度，導(dǎo)致沿大廈周邊分布的框架管柱和大廈中心部分支柱產(chǎn)生粘塑性(蠕變)屈曲而坍塌。 網(wǎng)球拍或羽毛球拍在擊球后產(chǎn)生自由振動(dòng)，若不在下次擊球之前停止振動(dòng)，將影響再次擊球的方向和角度，為此在鐵合金管外面繞上石墨