第三節(jié) 三重積分

1、第八章第八章 重積分重積分 3.1 3.1 三重積分的概念三重積分的概念 3.2 3.2 三重積分的性質(zhì)三重積分的性質(zhì)3.3 3.3 三重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算3.1 3.1 三重積分的概念三重積分的概念 ( , , )f x y z定義定義 設(shè)設(shè)是空間有界閉區(qū)域是空間有界閉區(qū)域上的有界上的有界ivi其中其中 表示第表示第 個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積( , , )f x y z極限總存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)極限總存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)在閉在閉n12,nvvv任意分成任意分成 個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域函數(shù)將函數(shù)將iv( ,)iii 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)作乘積作乘積在每個(gè)在每

2、個(gè)( ,)iiiifv (1,2, )in 1( ,).niiiiifv ，并作和，并作和如果當(dāng)各小如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值閉區(qū)域的直徑中的最大值趨于零時(shí)，這和的趨于零時(shí)，這和的( , , )d .f x y zv上的三重積分，記作上的三重積分，記作區(qū)域區(qū)域即即01( , , )dlim( ,).niiiiif x y zvfv 01( , , )dlim( ,)niiiiif x y zvfv 其中：其中：為積分號(hào)，為積分號(hào)，( , , )f x y z為被積函數(shù)，為被積函數(shù)，( , , )df x y zv為被積表達(dá)式，為被積表達(dá)式，dv為體積元素，為體積元素，, ,x y z為積

3、分變量，為積分變量，為積分區(qū)域?yàn)榉e分區(qū)域( , , )f x y z當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)，極限01lim( ,)niiiiifv ( , , )f x y z是存在的，因此在上的三重積分是存在的.,在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中，如如果果用用平平行行于于坐坐標(biāo)標(biāo)面面的的平平面面來(lái)來(lái)劃劃分分.ijklvxyz 則則d d d.x y z其其中中叫叫做做直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的體體積積元元素素3.2 3.2 三重積分的性質(zhì)三重積分的性質(zhì) 三重積分的性質(zhì)與二重積分的類(lèi)似。三重積分的性質(zhì)與二重積分的類(lèi)似。特別地，特別地，1212 ( , , )( , , ) d( , , )d( , , )dc

4、f x y zc g x y zvcf x y zvcg x y zv 1212( , , )d( , , )d( , , )df x y zvf x y zvf x y zv 例如：例如：3.3 3.3 三重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算1 1、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分2 2、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分3 3、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分坐標(biāo)面投影法（投影法或先一后二）坐標(biāo)面投影法（投影法或先一后二） 1 1、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分)(1xyy )(2xyy 如圖，如圖，,xoyD閉閉區(qū)區(qū)域域在在面

5、面上上的的投投影影為為閉閉區(qū)區(qū)域域),(:),(:2211yxzzSyxzzS ( , ),x yD 過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)作作直直線(xiàn)線(xiàn)12zz從穿入，從穿出xyzo D),(yxab),(1yxzz ),(2yxzz 2S1S1z2z,( , , )x yf x y zz先先將將看看作作定定值值，將將只只看看作作 的的函函數(shù)數(shù)，則則21( , )( , )( , )( , , )dzx yzx yF x yf x y zz ( , )F x yD計(jì)計(jì)算算在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上的的二二重重積積分分21( , )( , )( , )d( , , )dd .zx yzx yDDF x yf x y zz ,),(

6、)(:21bxaxyyxyD 得得( , , )df x y zv 2211( )( , )( )( , )d( , , )d .byxzx yayxzx ydxyf x y zz 是是 的函數(shù)。的函數(shù)。, x y注意注意(1) zS平行于軸且穿過(guò)閉區(qū)域內(nèi)部的直線(xiàn)與閉區(qū)域的邊界曲面相交不多于兩點(diǎn)情形(2) zS若平行于軸且穿過(guò)閉區(qū)域內(nèi)部的直線(xiàn)與閉區(qū)域的邊界曲面相交多于兩點(diǎn)時(shí)，把分若干個(gè)小區(qū)域來(lái)討論( , , )df x y zv 2211( )( , )( )( , )d( , , )d .byxzx yayxzx ydxyf x y zz oxyz12 xoyD向向面面上上投投影影，得得到到

7、。 .0, 21:xyxD( , ) ,x yDz 過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)作作平平行行與與軸軸的的直直線(xiàn)線(xiàn)得到得到0.2yz解：解：D12, : 002.xyxzy 即即，于是，于是， d d dzx y z 22100dddxyxyz zoxyz12 xoyD向向面面上上投投影影，得得到到。 .0, 21:xyxD( , ) ,x yDz 過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)作作平平行行與與軸軸的的直直線(xiàn)線(xiàn)得到得到0.2yz解解:D12, : 002.xyxzy 即即，22101dd8xxyy 2311d24xx .325 坐標(biāo)軸投影法（截面法或先二后一法）坐標(biāo)軸投影法（截面法或先二后一法） zzD解：解：xyzozD222222d

8、 d(1)(1)zDzzx yabcc ),1(22czab 222(1)dcczabzzc .1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式因此，因此，0, ,20 . z2 2、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分( , , ) , , ,M x y zMxoyPzM 設(shè)設(shè)為為空空間間內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)，并并設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)在在面面上上的的投投影影的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)為為，則則這這樣樣的的三三個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)就就叫叫點(diǎn)點(diǎn)的的柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxM( , )P 簡(jiǎn)單地說(shuō)，柱面坐標(biāo)就是簡(jiǎn)單地說(shuō)，柱面坐標(biāo)就是 面上的極坐標(biāo)面上的極坐標(biāo) + + 坐標(biāo)坐標(biāo)x

9、oyzcos ,sin ,. xyzz 柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為關(guān)系為為為常常數(shù)數(shù)z 為為常常數(shù)數(shù)為為常常數(shù)數(shù)如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面 xyzoz),(zyxM(,)P rxyzo( , , )d d df x y zx y z ( cos , sin , )d d d .fzz 如圖，柱面坐標(biāo)系中的如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為體積元素為 dd d d ,vz 于是，于是，dxyzodzdd 再根據(jù)再根據(jù) 中中 ， ， 的關(guān)系，化為三次積分。的關(guān)系，化為三次積分。z一般，先對(duì)一般，先對(duì) 積分，再對(duì)積分，再對(duì) ，最

10、后對(duì)，最后對(duì) 積分。積分。z22 4 zxyz 是是由由曲曲面面與與平平面面所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域。解：解：(2)(2)確定確定積分上下限積分上下限22: 4 Dxy 或或02 ,: 02.D xyzo4xyzo4Ao22 ( , ) 例例3 3 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 d d d ,zx y z (1)(1)畫(huà)畫(huà) 圖圖將將 向向 面投影得面投影得xoy過(guò)過(guò) 做平行于做平行于 軸的直線(xiàn)軸的直線(xiàn)( , )D z24z得得xyzo4 ( , ) cos ,sin ,.xyzz 即即202 ,: 02, 4z 于是，于是， d d dzx y z d d d .zz

11、222400dd dzz Ao22 dd d d ,vz 24z過(guò)過(guò) 做平行于做平行于 軸的直線(xiàn)軸的直線(xiàn)得得( , )D z d d dzx y z d d dzz 222400dd dzz 2422200d d2z225001d (16)d2r 22260 0118d26 2 0 62618221 rr .364 3 3、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分zxOPPMxoyrM為為從從正正軸軸來(lái)來(lái)看看自自軸軸按按逆逆時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳蜣D(zhuǎn)轉(zhuǎn)到到有有向向線(xiàn)線(xiàn)段段的的角角，這這里里為為點(diǎn)點(diǎn)在在面面上上的的投投影影，這這樣樣的的三三個(gè)個(gè)數(shù)數(shù) ， ，就就叫叫做做點(diǎn)點(diǎn)的的球球面面坐坐標(biāo)標(biāo),

12、0 r.20 ,0 規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxMP r ( , , ) M x y zMrrOMOMz設(shè)設(shè)為為空空間間內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)，則則點(diǎn)點(diǎn)可可用用三三個(gè)個(gè)有有次次序序的的數(shù)數(shù) ， ，來(lái)來(lái)確確定定，其其中中 為為原原點(diǎn)點(diǎn)與與點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離離，為為有有向向線(xiàn)線(xiàn)段段與與軸軸正正向向所所夾夾的的角角，r 為為常常數(shù)數(shù)為為常常數(shù)數(shù)為為常常數(shù)數(shù)如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為Pxyzo),(zyxM r zyxAxyzor ( , , )d

13、d df x y zx y z 2 ( sincos , sinsin , cos )sind dd .f rrrrr 球面坐標(biāo)系中的體積元素為球面坐標(biāo)系中的體積元素為2 dsind dd ,vrr 如圖，如圖， drxyzodr dsinr rd d d sinr一般，先對(duì)一般，先對(duì) 積分，再對(duì)積分，再對(duì) ，最后對(duì)，最后對(duì) 積分。積分。r再根據(jù)再再根據(jù)再 中中 的關(guān)系，化為三次積分。的關(guān)系，化為三次積分。, ,r 22()dxyv 2222222d d()daxyxyax yxyz 22500ddd.10aaza 222222300050d()d d0d.dd1aazxyzzxyxzay 222222224cos000dd(sincossinsin)sinarrrdr 2344cos000dsinddarr 5.10a 22(),xy dv 222xyz za (0)a 例例4 4 其中其中由錐面由錐面與平面與平面圍成的區(qū)域圍成的區(qū)域解法解法1 1 解法解法2 2 解