第三節(jié) 三重積分(1)

1、 第三節(jié)第三節(jié) 三重積分三重積分( (一一) )一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出二、三重積分的概念二、三重積分的概念三、三重積分的計(jì)算三、三重積分的計(jì)算四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題一、一、問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出引言引言:我們知道，求非均勻平面薄片的質(zhì)量、重心我們知道，求非均勻平面薄片的質(zhì)量、重心等問(wèn)題是二維空間的問(wèn)題，要用二元函數(shù)的等問(wèn)題是二維空間的問(wèn)題，要用二元函數(shù)的積分（二重積分）去解決；類(lèi)似的，求非均積分（二重積分）去解決；類(lèi)似的，求非均勻空間物體的質(zhì)量、重心等問(wèn)題是三維空間勻空間物體的質(zhì)量、重心等問(wèn)題是三維空間的問(wèn)題，要用三元函數(shù)的積分（三重積分）的問(wèn)題，要用三元函數(shù)的積分（三重積分）去解

2、決去解決【實(shí)例】【實(shí)例】. ),(),(),(),( mzyxzyxzyxzyx的的質(zhì)質(zhì)量量連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，欲欲求求的的是是，設(shè)設(shè)體體密密度度為為處處的的，其其上上點(diǎn)點(diǎn)一一空空間間非非均均勻勻物物體體 【解決解決方法】方法】（1）分割分割nvvv , 21分為分為將將很很小小，密密度度變變化化不不大大iv （? ?）近似視為均勻近似視為均勻（2）取近似取近似iiiiv ),( 類(lèi)似二重積分解決問(wèn)題的思想類(lèi)似二重積分解決問(wèn)題的思想, , 采用采用“分割分割, 取近似取近似, 求和求和, 取極限取極限” ),(iii iv imiiiiv ),( ni, 2 , 1 （3）求和求和11( ,)n

3、niiiiiiimmv 中中的的直直徑徑的的最最大大者者為為各各令令iv （4）取極限取極限 niiiiivm10),(lim m精確值精確值二、三重積分的概念二、三重積分的概念.叫做體積元素叫做體積元素其中其中dv【說(shuō)明】【說(shuō)明】 ),( dvzyxf對(duì)對(duì)于于三三重重積積分分)(, 去劃分去劃分dzzzzzxyzodydxdzdv(1) dV則體積元素則體積元素.dxdydz ),(),( dxdydzzyxfdvzyxf knkkkkdvf 10,lim :當(dāng)當(dāng)用用三三族族平平面面;,dxxxxx ;,dyyyyy （2）存在條件（充分性）存在條件（充分性）定定存存在在上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)，三

4、三重重積積分分必必在在當(dāng)當(dāng) ),( zyxf（3）三重積分有與二重積分相類(lèi)似的性質(zhì)（三重積分有與二重積分相類(lèi)似的性質(zhì)（7條）條）（4）三重積分的物理意義三重積分的物理意義mzyxf ),( 的的非非均均勻勻物物體體的的質(zhì)質(zhì)量量、占占有有空空間間區(qū)區(qū)域域表表示示體體密密度度是是 （5）的的體體積積示示幾幾何何意意義義是是在在數(shù)數(shù)值值上上表表時(shí)時(shí)，其其當(dāng)當(dāng) 1),( zyxf dxdydzdvV三、三重積分的計(jì)算三、三重積分的計(jì)算1.1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分 將三重積分化為三次積分將三重積分化為三次積分以下只限于敘述計(jì)算方法以下只限于敘述計(jì)算方法1.直角坐標(biāo)下直角坐標(biāo)下

5、2.柱面坐標(biāo)下柱面坐標(biāo)下3.球面坐標(biāo)下球面坐標(biāo)下方法方法1 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2 . 截面法截面法(切片法切片法) (“先二后一先二后一”) ,0),( zyxf先假設(shè)連續(xù)函數(shù)先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 最后最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算. 方法方法1 1 ：投影法：投影法【“先一后二先一后二”】單積分單積分內(nèi)先對(duì)內(nèi)先對(duì)函數(shù)，在函數(shù)，在的的只看作只看作將將看作定值，看作定值，先將先將zyxzyxzzzzyxfyx),(),(),(,)3(21 如圖如圖xyDxoy面面投投影影為為平平面面閉閉區(qū)區(qū)域域向向?qū)⒖湛臻g間閉閉區(qū)區(qū)域域 )1(),(

6、:),(:2211yxzzSyxzzS 作作直直線(xiàn)線(xiàn)過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)xyDyx ),()2(穿穿出出，從從穿穿入入從從 21zzz軸軸xyzo xyD1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上的二重積分上的二重積分在閉區(qū)域在閉區(qū)域計(jì)算計(jì)算xyDyxF),( )4(.),(),(),(),(21 xyxyDyxzyxzDddzzyxfdyxF ),()( , :21xyyxybxaDxy 得得),( yxFyx的函數(shù)的函數(shù)、結(jié)果為結(jié)果為X型域型域 dvzyxf),(.),()()(),(),

7、(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx【注意【注意 】于兩點(diǎn)情形于兩點(diǎn)情形相交不多相交不多的邊界曲面的邊界曲面直線(xiàn)與閉區(qū)域直線(xiàn)與閉區(qū)域內(nèi)部的內(nèi)部的軸且穿過(guò)閉區(qū)域軸且穿過(guò)閉區(qū)域這是平行于這是平行于Sz 此式稱(chēng)為先對(duì)此式稱(chēng)為先對(duì)z、次對(duì)、次對(duì)y、最后對(duì)、最后對(duì)x的三次積分的三次積分得計(jì)算公式得計(jì)算公式（1）（2）若交點(diǎn)多于兩個(gè)，也可像處理二重積分那若交點(diǎn)多于兩個(gè)，也可像處理二重積分那 樣，將樣，將分割，化為部分區(qū)域上的三重積分分割，化為部分區(qū)域上的三重積分 之和之和. .（3）也可把也可把投影到投影到y(tǒng)oz面或面或zox面上，便可面上，便可 把三重積分化為其它順序的三次積分把三重

8、積分化為其它順序的三次積分. .（要求平行于（要求平行于 x 軸或軸或 y 軸且穿過(guò)閉區(qū)域軸且穿過(guò)閉區(qū)域內(nèi)內(nèi)部的直線(xiàn)與部的直線(xiàn)與的邊界曲面的邊界曲面S相交不多于兩點(diǎn)）相交不多于兩點(diǎn)）. .【例【例1】.12 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域及及平平面面為為三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面，其其中中計(jì)計(jì)算算 zyxxdxdydz【解】【解】xyzo)0 , 0 , 1(A)0,21,0(B)1 , 0 , 0(CxyD如圖如圖OABDxoyxy為為閉閉域域面面得得投投影影到到將將 )1(21010 xyxDxy：X型域型域xyDyx ),(作直線(xiàn)穿越作直線(xiàn)穿越內(nèi)部?jī)?nèi)部穿穿出出穿穿入入，從從從從yxzz210 y

9、xz210 即即故故 yxzxyx210)1(21010:則則 yxxxdzdydxxdxdydz210)1(21010 21010)21(xdyyxxdx481)2(411032 dxxxxxyzo)0 , 0 , 1(A)0,21,0(B)1 , 0 , 0(CxyD【解】【解】, 122 yx.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI【解】【解】 2220111:yxzyxx如圖如圖【補(bǔ)例【補(bǔ)例3】所圍成所圍成由曲面由曲面，其中，其中計(jì)算計(jì)算 1, 1, 1 122222 yzxzxydxdydzxy【解】【解】 如圖示如圖示 面面投投影影到到將將xoz1:22 z

10、xDxz 上上的的二二重重積積分分積積分分，再再求求先先對(duì)對(duì)xzDy先一后二先一后二 112221zxDydydxdzxxz原原式式 22112211221xxdzzxdxx4528 z【方法【方法】 “先二后一先二后一” zdxdydz,10 zDdxdyzdz0, 0,1| ),( yxzyxyxDz)1)(1(21zzdxdyzD xozy111(?)zDDz之面積之面積xyzozD【解】【解】)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式(?)Dz之面積之面積橢圓面積公式橢圓面積公式abS 三重積分的定義和計(jì)算三重積分的定義和計(jì)算在直角坐標(biāo)系下的體積元素在直角坐標(biāo)系下的體積元素dxdydzdv （計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分）（