計(jì)算機(jī)圖形學(xué)課件fifth1高級(jí)課堂

1、第五章第五章 圖形變換圖形變換 在計(jì)算機(jī)繪圖應(yīng)用中，經(jīng)常要進(jìn)行從一個(gè)幾何圖形到另一個(gè)幾何圖形的變換，例如，將圖形向某一方向平移一段距離；將圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度；或?qū)D形放大或縮小等等，這種變換過(guò)程稱為幾何變換。圖形的幾何變換是計(jì)算機(jī)繪圖中極為重要的一個(gè)組成部分，利用圖形變換還可以實(shí)現(xiàn)二維圖形和三維圖形之間轉(zhuǎn)換，甚至還可以把靜態(tài)圖形變?yōu)閯?dòng)態(tài)圖形，從而實(shí)現(xiàn)景物畫(huà)面的動(dòng)態(tài)顯示。1高等課堂 5.1 5.1 二維圖形變換二維圖形變換 5.1.15.1.1二維圖形幾何變換的基本原理二維圖形幾何變換的基本原理 二維平面圖形的幾何變換是指在不改變圖形連線次序的情況下，對(duì)一個(gè)平面點(diǎn)集進(jìn)行的線性變換。實(shí)際上，由于一

2、個(gè)二維圖形可以分解成點(diǎn)、直線、曲線。把曲線離散化，它可以用一串短直線段來(lái)逼近，而每一條直線段均由兩點(diǎn)所決定，這樣，二維平面圖形不論是由直線段組成，還是由曲線段組成，都可以用它的輪廓線上順序排列的平面點(diǎn)集來(lái)描述。因此可以說(shuō)，對(duì)圖形作幾何變換，其實(shí)質(zhì)是對(duì)點(diǎn)的幾何變換，通過(guò)討論點(diǎn)的幾何變換，就可以理解圖形幾何變換的原理。2高等課堂例如，如果要對(duì)下圖中的四邊形abcd進(jìn)行平移變換，只需要對(duì)四個(gè)頂點(diǎn)a、b、c、d做平移變換，連接平移后的四個(gè)頂點(diǎn)即可得到四邊形平移變換的結(jié)果。3高等課堂 對(duì)二維圖形進(jìn)行幾何變換有五種基本變換形式，它們是：平移、旋轉(zhuǎn)、比例、對(duì)稱和錯(cuò)切平移、旋轉(zhuǎn)、比例、對(duì)稱和錯(cuò)切，這些圖形變換

3、的規(guī)則可以用函數(shù)來(lái)表示。有兩種不同的變換形式：一種是圖形不動(dòng)，而坐標(biāo)系變動(dòng)一種是圖形不動(dòng)，而坐標(biāo)系變動(dòng)，即變換前與變換后的圖形是針對(duì)不同坐標(biāo)而言的，稱之為坐標(biāo)模式變換；另一種是坐標(biāo)系不動(dòng)，而圖形改變另一種是坐標(biāo)系不動(dòng)，而圖形改變，即變換前與變換后的坐標(biāo)值是針對(duì)同一坐標(biāo)系而言的，稱之為圖形模式變換。實(shí)際應(yīng)用中，后一種圖形變換更有實(shí)際意義，下面討論的圖形變換是屬于后一種變換。4高等課堂5.1.25.1.2平移變換平移變換 平移變換是指將圖形從一個(gè)坐標(biāo)位置移到另一個(gè)坐標(biāo)位置的重定位變換。已知一點(diǎn)的原始坐標(biāo)是p(x,y），加上一個(gè)沿x，y方向的平移量tx 和ty ，平移此點(diǎn)到新坐標(biāo)（xtx,yty）,

4、則新坐標(biāo)的表達(dá)式為：yxtyytxx 如果對(duì)一圖形的每個(gè)點(diǎn)都進(jìn)行上述變換，即可得到該圖形的平移變換。實(shí)際上，線段是通過(guò)對(duì)其兩端點(diǎn)進(jìn)行平移變換，多邊形的平移是平移每個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)位置，曲線可以通過(guò)平移定義曲線的坐標(biāo)點(diǎn)位置，用平移過(guò)的坐標(biāo)點(diǎn)重構(gòu)曲線路徑來(lái)實(shí)現(xiàn)。5高等課堂 平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀。下圖是一平移變換的例子。6高等課堂 可以用矩陣形式來(lái)表示二維平移變換方程。圖形變換通常使用齊次坐標(biāo)矩陣來(lái)表示。平移變換方程的齊次坐標(biāo)矩陣表示式為： 101000111yxttyxyx其中1010001yxttt稱為變換矩陣。7高等課堂 有了上面的矩陣表示，連續(xù)的平移變換可以通過(guò)連續(xù)的

5、矩陣乘法來(lái)實(shí)現(xiàn)。例如, 點(diǎn)經(jīng)平移變換t1（tx1,ty1）后，再經(jīng)平移變換t2（tx2,ty2），那么，最終的平移變換矩陣。5.1.3 5.1.3 比例變換比例變換 一個(gè)圖形中的坐標(biāo)點(diǎn)p(x,y）若在x軸方向變化一個(gè)比例系數(shù)sx，在y軸方向變化一個(gè)比例系數(shù)sy，則新坐標(biāo)點(diǎn)p(x,y）的表達(dá)式為：yxsyysxx8高等課堂 這一變換稱為相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的比例變換, sx 和sy分別表示點(diǎn)p(x,y）沿x軸方向和y軸方向相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的比例變換系數(shù)。比例變換改變圖形的大小。變換方程寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為： 100000011yxssyxyx其中變換矩陣：1000000yxsst9高等課堂 比例變換系數(shù)

6、sx和sy可賦予任何正數(shù)值。當(dāng)值小于1時(shí)縮小圖形，值大于1則放大圖形。當(dāng)sx和sy被賦予相同值時(shí)，就產(chǎn)生保持圖形相對(duì)比例一致的變換, sx和sy值不等時(shí)產(chǎn)生x軸方向和y軸方向大小不等的比例變換。sx和sy都指定為1時(shí)，圖形大小不改變。 實(shí)際上，相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)圖形的比例變換，相當(dāng)于每一點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的變換，因此，它不但改變圖形的大小，而且改變圖形的位置。10高等課堂下圖是一圖形比例變換的例子：中心在原點(diǎn)的放大變換中心不在原點(diǎn)的放大變換11高等課堂 可以通過(guò)選擇一個(gè)在變換后不改變位置的固定點(diǎn)pc(xc,yc),來(lái)控制圖形變換的位置。例對(duì)于多邊形圖形，固定點(diǎn)的坐標(biāo)(xc,yc)可以選擇圖形的某個(gè)頂

7、點(diǎn)、圖形幾何中心點(diǎn)或任何其它位置，這樣變換后固定點(diǎn)坐標(biāo)不改變，多邊形每個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)于固定點(diǎn)縮放。對(duì)于坐標(biāo)為p(x,y)的頂點(diǎn)，相對(duì)于固定點(diǎn)pc(xc,yc)變換后的坐標(biāo)p(x,y)可計(jì)算為：)1 ()()1 ()(ycycycxcxcxcsysyysyyysxsxxsxxx寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為： 1)1 ()1 (000011ycxcyxsysxssyxyx12高等課堂1)1 ()1 (0000ycxcyxsysxsst其中變換矩陣： 計(jì)算公式的推導(dǎo)可以這樣考慮，先平移坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）到（xc,yc），然后進(jìn)行比例變換，變換后再將坐標(biāo)原點(diǎn)移回到（0,0）。三個(gè)過(guò)程的結(jié)果就是相對(duì)于點(diǎn)（xc,y

8、c）的比例變換。三個(gè)過(guò)程的變換矩陣分別是：13高等課堂10100011ccyxt10000002yxsst10100013ccyxt101000110000001010001ccyxcc321yxssyxtttt1)1 ()1 (0000ycxcyxsysxss14高等課堂5.1.4 5.1.4 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換 若圖形中的坐標(biāo)點(diǎn)p(x,y)繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度, 則新坐標(biāo)點(diǎn)p(x,y）的表達(dá)式為：cossinsincosyxyyxx 公式的推導(dǎo)可參考右圖15高等課堂變換方程寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為： 1000cossin0sincos11yxyx其中變換矩陣1000cossin0sin

9、cost 上面是點(diǎn)p(x,y)以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的旋轉(zhuǎn)變換，還可以任意點(diǎn)pc(xc,yc）為中心做旋轉(zhuǎn)變換。其變換公式為：16高等課堂ccccccyyyxxyxyyxxxcos)(sin)(sin)(cos)( 此公式的推導(dǎo)過(guò)程可以這樣考慮，先平移坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）到（xc,yc），然后進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，變換后再將坐標(biāo)原點(diǎn)移回到（0,0）。三個(gè)過(guò)程的結(jié)果就是以點(diǎn)（xc,yc）為中心的旋轉(zhuǎn)變換。 寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為： 1sin)cos1 (sin)cos1 (0cossin0sincos11ccccxyyxyxyx17高等課堂其中變換矩陣:1sin)cos1 (sin)cos1 (0cossin0

10、sincosccccxyyxt 旋轉(zhuǎn)變換只能改變圖形的方位，而圖形的大小和形狀不變。旋轉(zhuǎn)變換的幾何表示見(jiàn)下圖。18高等課堂5.1.5 5.1.5 對(duì)稱變換對(duì)稱變換 對(duì)稱變換是產(chǎn)生圖形鏡象的一種變換，也稱鏡象變換或反射變換。將圖形繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)就可以生成鏡象圖形。1. 1. 對(duì)稱于對(duì)稱于x x軸軸 當(dāng)變換對(duì)稱于x軸時(shí)，則坐標(biāo)點(diǎn)p(x,y)經(jīng)對(duì)稱變換后，新坐標(biāo)點(diǎn)p(x,y）的表達(dá)式為：yyxx變換方程寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為： 10001000111yxyx19高等課堂其中變換矩陣：100010001t對(duì)稱x軸變換的幾何表示見(jiàn)下圖20高等課堂2. 2. 對(duì)稱于對(duì)稱于y y軸軸 當(dāng)變換對(duì)稱于y軸時(shí)，則坐

11、標(biāo)點(diǎn)p(x,y)經(jīng)對(duì)稱變換后，新坐標(biāo)點(diǎn)p(x,y）的表達(dá)式為：yyxx變換方程寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為： 10001000111yxyx其中變換矩陣：100010001t21高等課堂對(duì)稱y軸變換的幾何表示見(jiàn)下圖22高等課堂3. 3. 對(duì)稱于原點(diǎn)對(duì)稱于原點(diǎn) 當(dāng)圖形對(duì)x軸和y軸都進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)，即得相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱變換。這一變換前后點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系為：yyxx寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為： 10001000111yxyx其中變換矩陣：100010001t23高等課堂對(duì)稱原點(diǎn)變換的幾何表示見(jiàn)下圖24高等課堂4. 4. 對(duì)稱平行于對(duì)稱平行于x x軸的直線軸的直線 當(dāng)對(duì)稱軸是平行于x軸的直線yyc時(shí)，變換前

12、后點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系為：cccyyyyyyxx2)(變換方程寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為： 12001000111cyyxyx其中變換矩陣：120010001cyt25高等課堂5. 5. 對(duì)稱平行于對(duì)稱平行于y y軸的直線軸的直線 當(dāng)對(duì)稱軸是平行于y軸的直線xxc時(shí)，變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系為：yyxxxxxxccc2)(變換方程寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為： 10201000111cxyxyx其中變換矩陣： 102010001cxt26高等課堂6. 6. 對(duì)稱于任一點(diǎn)對(duì)稱于任一點(diǎn)(x(xc c,y,yc c) )的變換的變換 對(duì)稱于任一點(diǎn)(xc,yc)的變換，實(shí)際上可以看做分別相對(duì)于直線軸xxc和直線

13、軸 yyc的兩次對(duì)稱變換，因此其變換公式是兩者的綜合：ccyyyxxx22變換方程寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為： 12201000111ccyxyxyx其中變換矩陣：122010001ccyxt27高等課堂7 7對(duì)稱于任一軸的變換對(duì)稱于任一軸的變換 關(guān)于xy平面內(nèi)任一直線ymxb為對(duì)稱軸的變換，可以分解為平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱于坐標(biāo)軸等變換的組合。首先平移直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，而后將直線繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至同某一坐標(biāo)軸重合，做對(duì)稱于坐標(biāo)軸的變換，最后反向旋轉(zhuǎn)和反向平移將直線置回原處。 如下圖所示，平移直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)需要在y軸方向上移動(dòng)距離b，然后將直線繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至同y軸重合，設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為 ，兩步的變換矩陣分

14、別為：28高等課堂100100011bt1000cossin0sincos2t做對(duì)稱于y軸的對(duì)稱變換，其變換矩陣為：1000100013t最后反向旋轉(zhuǎn)和反向平移將直線置回原處，其變換矩陣分別為：1000cossin0sincos1000)cos()sin(0)sin()cos(4t100100015bt29高等課堂所以，對(duì)稱于任一軸ymxb的變換矩陣為：1)sin(coscossin20sincoscossin20cossin2cossin22222254321bbbtttttt變換矩陣中的和需要用已知量表示出來(lái)。當(dāng)m為直線斜率，b為截距時(shí)有：sinsin90sincos90cos11)90c

15、os(2mcossin90coscos90sin1)90sin(2mm所以222211sincosmm21cossinmm30高等課堂替換變換矩陣中的和得：11)1 (1201112012222222bmmbmbmmmmmmmm1m-1t222上述變換用代數(shù)方程表示為：2221)(211mmbyxmmxbmmbyxmmy22211)(1231高等課堂5.1.6 5.1.6 錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換 錯(cuò)切（shear）變換是軸上點(diǎn)不動(dòng)，其它點(diǎn)沿平行于此軸方向移動(dòng)變形的變換。錯(cuò)切變換也稱為剪切、錯(cuò)位或錯(cuò)移變換。常用的錯(cuò)切變換有兩種：改變x坐標(biāo)值和改變y坐標(biāo)值。1. 1. 沿沿x x軸方向關(guān)于軸方向關(guān)于y

16、y的錯(cuò)切的錯(cuò)切 變換前和變換后y坐標(biāo)不變，而x坐標(biāo)根據(jù)y坐標(biāo)值呈線性變化。變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系為：yycyxx式中c為錯(cuò)切系數(shù)。若c0，則沿+x方向錯(cuò)切，若c0，則沿-x方向錯(cuò)切。32高等課堂下圖說(shuō)明了矩形abcd經(jīng)錯(cuò)切變換后變?yōu)閍bcd的結(jié)果。33高等課堂變換方程寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為： 1000100111cyxyx其中變換矩陣:10001001ct34高等課堂2. 2. 沿沿y y軸方向關(guān)于軸方向關(guān)于x x的錯(cuò)切的錯(cuò)切 變換前和變換后x坐標(biāo)不變，而y坐標(biāo)根據(jù)x坐標(biāo)值呈線性變化。變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系為： ydxyxx式中d為錯(cuò)切系數(shù)。若d0，則沿+y方向錯(cuò)切，若d0，則沿-y方

17、向錯(cuò)切。右圖說(shuō)明了矩形abcd經(jīng)錯(cuò)切變換后結(jié)果為abcd。35高等課堂變換方程寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為： 1000100111dyxyx其中變換矩陣:10001001dt 除了沿x軸方向和沿y軸方向的錯(cuò)切變換外，還可以使用沿平行于x軸方向的軸線或沿平行于y軸方向的軸線以及任一軸線的錯(cuò)切變換。對(duì)于這些變換，可以通過(guò)先平移、旋轉(zhuǎn)軸線，轉(zhuǎn)化為沿x軸方向或沿y軸方向的錯(cuò)切變換。 錯(cuò)切變換不僅改變圖形的形狀，而且改變圖形的方位，還可能使圖形發(fā)生畸變。36高等課堂 上面討論的五種變換給出的都是點(diǎn)變換的公式，圖形的變換實(shí)際上都可以通過(guò)點(diǎn)變換完成。例如直線段的變換可通過(guò)變換兩個(gè)端點(diǎn)，并重畫(huà)新端點(diǎn)間的線而得到。多邊形的變換可通過(guò)變換每個(gè)頂點(diǎn)，并用新的頂點(diǎn)來(lái)生成多邊形而實(shí)現(xiàn)。曲線的變換可通過(guò)變換控制點(diǎn)并重畫(huà)線來(lái)完成。 符合下面形式：232221131211ayaxayayaxax的 坐 標(biāo) 變 換 稱 為 二 維 仿 射 變 換 （ a f f i n e transformation）。變換的坐標(biāo)x和y都是原始坐標(biāo)x和y的線性函數(shù)。參數(shù)aij是由變換類型確定的常數(shù)。仿射變換具有平行線轉(zhuǎn)換成平行線和有限點(diǎn)映射到有限點(diǎn)的一般特性。 37高