《高等數(shù)學(xué)》專插本2005-2019年歷年試卷.docx

1、廣東省 2019 年普通高等學(xué)校本科插班生招生考試高等數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題（本在題共 5 小題，每小題 3 分，共 15 分。每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求）f ( x)x2x1函數(shù)x2x2 的間斷點(diǎn)是A x2 和 x 0B x2 和 x 1C x1 和 x 2D x 0和 x 1x1,x0f (x)2,x0lim f ( x)2設(shè)函數(shù)cosx,x0 ，則 x0A等于 1B等于 2C等于 1 或2D 不存在f ( x)dxtan xC ,g(x)dx 2xCC 為任意常數(shù)，則下列等式正確的3.已知是A f ( x)g( x)dx2x tan xCBf (x)dx2 xtan x Cg( x)Cf

2、 g( x)dxtan(2 x )CD f ( x)g( x)dxtan x2xC4下列級(jí)數(shù)收斂的是1nA enB ( 3)n1n 12C( 2n13 )D( 2) n1n 1 3nn13n5已知函數(shù)f ( x)axb 在點(diǎn) x1 處取得極大值，則常數(shù)a, b應(yīng)滿足條件xA ab0,b0B ab0,b0C ab0,b0D ab0,b0二、填空題（本大題共5 小題，每小題3 分，共15 分）6曲線xt33t，則 t0 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處切線方程為yyarctan t7微分方程 ydxxdy0 滿足初始條件的 y |x 12 特解為 y8若二元函數(shù) zf (x, y) 的全微分 dzex sin ydxe

3、x cos ydy, ,則2 zy x9設(shè)平面區(qū)域D( x, y) | 0yx,0x1 ，則xdxdyDtt sin(t1) ，則f ( x)dx10已知f ( x)dx11t三、計(jì)算題（本大題共8 小題，每小題 6 分，共 48 分）exsin x111求 lim2x0x12設(shè) yxx( xdy0) ，求2x 1dx13求不定積分2x2 dx1x02x 1dx14計(jì)算定積分1 x215設(shè) xzexyz ，求z 和zxy16計(jì)算二重積分ln( x2y2 )d，其中平面區(qū)域D ( x, y)|1 x2y24D17已知級(jí)數(shù)an 和bn 滿足nnbn1(n1)4判定級(jí)數(shù)an 的收0且,n 1n 1a

4、b ,bn3n42n 1n 1斂性18設(shè)函數(shù) f ( x)df (x)x, 求曲線y f (x)的凹凸區(qū)間滿足de x四、綜合題（大題共2 小題，第19 小題 12 分，第20 小題 10 分，共22 分）19已知函數(shù)( x) 滿足( x)1xt (t)dtx0x(t )dt0x（ 1）求( x) ；（ 2）求由曲線y(x) 和 x0, x及 y0 圍成的平面圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體2的體積20設(shè)函數(shù)f ( x)x ln(1x)(1x) ln x（ 1）證明： f ( x) 在區(qū)間 (0,) 內(nèi)單調(diào)減少；（ 2）比較數(shù)值 20182019 與 2019 2018 的大小，并說(shuō)明理由；2019

5、 年廣東省普通高校本科插班生招生考試高等數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5 小題，每小題3 分，共 15 分）1.B 2.A 3.D 4.C5.B二、填空題（本大題共5 小題，每個(gè)空3 分，共 15 分）6.1x7.28.ex cos y9.110.3x3三、計(jì)算題（本大題共8 小題，每小題6 分，共 48 分）11. 原式lim excosxlim ex sin x1x02xx02212. 解：Q yxx2x1ln yx ln xln(2 x1)1 yln x121y2xdy(ln x12)xx1dx2x12x13. 解：2x1x2 dx21 2 dx 1112 d (1 x2

6、 )1 x2x2arctan x1ln(1x2 ) C214. 解：令2x1t, 則 x1 t21 , dxtdt222 x1t ,x1t21, dxtdt220x2 x111 dx20( t 4t2 ) dt11201( 111t 5t 3 )2530115t ( 1t 21) gtdt2215. 解：設(shè)f (x, y, z)xzexyzfx (x, y, z) 1yzexyzfy ( x, y, z)xzexyzfz ( x, y, z)1xyexyzz1yzexyzzxzexyzx1xyz,xyzxyey1 xye16. 解：由題意得 1 r 2,0ln( x2y2 )dD223)d(4

7、ln02(4ln 23) |022(8ln 23)bn 1(n1)417. 解：由題意得3n4,bn2n 1limbn 1lim(n1)411,bn3n42n 13xx由比值判別法可知bn 收斂n 1Q 0anbn ,由比較判別法可知an 也收斂n 118解df ( x)xQde xdf (x)xde xf(x)xe xf( x)e x( x 1)f ( x) 的凹區(qū)間為 (1,) ，凸區(qū)間為 (,1)0(t)dt x ( x) 1019. （ 1）由題意得(x) 1 x (x)(t )dtxx( x)( x)( x)( x)0特征方程 r 210 ，解得 ri通解為( x)cos xsin

8、xCQ(0)1,C0( x)cos xsin x(2) 由題意得Vx2(cos x sin x)2 dx02 (1 sin 2x)dx01( xcos2x)2 20220. 證明（ 1）Q f ( x)x ln(1x)(1x)ln xf (x)ln(1x)ln xx1 x1xxln(1 x) ln x(11 )1xx證明 ln(1x)ln x110 即可(x)1x即證 ln(1x)ln x( 1x1)1x令 g( x)ln xQ g( x)ln x 在 (0,) 連續(xù)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理得ln(1x)ln x11 xln(1 x) ln xxg (x)且 x1xQ x1x01111xxln

9、(1x)ln x(11) 成立1xxln(1x)ln x(11 ) 01xxf ( x) 在 (0,) 單調(diào)遞減（2）設(shè) a2019,b2018則 ab20192018, ba20182019比較 ba ,ab 即可，假設(shè) baab即 aln bbln a即 ln bln aba設(shè) g( x)ln x , 則 g ( x)1 ln xxx2Q g( x) 在 (0,) 單調(diào)遞減即g(b) g(a)即 baab 成立，即 2018201920192018廣東省 2018 年普通高等學(xué)校本科插班生招生考試高等數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題（本在題共 5 小題，每小題 3 分，共 15 分。每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符

10、合題目要求）lim 3x sin 1sin xx 0xx1A 0B 1C 3D 42設(shè)函數(shù) f (x) 具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(0)1, f(1)0, f (0)1, f(1) 3，則下列結(jié)論正確的是A 點(diǎn) x0 是 f ( x) 的極小值點(diǎn)B點(diǎn) x0 是 f ( x) 的極大值點(diǎn)C點(diǎn) x1 是 f ( x) 的極小值點(diǎn)D 點(diǎn) x1 是 f ( x) 的極大值點(diǎn)3. 已知f ( x)dx x2C ,f ( x2 )dx其中 C 為任意常數(shù)，則A x5CB x4CC 1 x4CD 2 x3C234級(jí)數(shù)2(1)n3nn 1A 2B 131CD425已知 D( x, y) | 4x2y29 ，則x21d

11、Dy2A 2B 10C 2 ln 3D 4 ln 322二、填空題（本大題共5 小題，每小題3 分，共 15 分）xlog 3 t則 dy|t 16已知y3t ，dx2(| x |sin x)dx728e1 2 xdx09二元函數(shù) zx y 1，當(dāng) xe, y 0 時(shí)的全微分dz |xey010微分方程 x2dyydx，滿足初始條件 y |x11的特解為 y三、計(jì)算題（本大題共8 小題，每小題6 分，共48 分）xa ,x0x2111確定常數(shù) a,b 的值，使函數(shù)f ( x)b,x0，在點(diǎn) x 0 處連續(xù)2x1,x0x12求 lim1ln(1x)xx2x 013求由方程 (1y2 )arc t

12、an yxex 所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dydx14已知 ln(1 x2 ) 是函數(shù) f (x) 的一個(gè)原函數(shù)，求xf ( x)dx15求由曲線 y1x0, x 0及 x1所圍成的平面圖形的面積1和直線 yx16已知二元函數(shù)zxyz2 z1y2 ,，求,yy x17求1x d ，其中 D 是由直線 y x 和 y1, y2 及 x0 所圍成的閉區(qū)域D yn18判定設(shè)級(jí)數(shù)的收斂性n 1 | sin n |2四、綜合題（大題共2 小題，第19 小題 12 分，第 20 小題 10 分，共 22 分）19已知函數(shù) f ( x) 滿足 f( x)4 f ( x) 0,且曲線 yf (x) 在點(diǎn) (0,0)

13、 處的切線與直線y 2x 1平行（ 1）求 f ( x) ；（ 2）求由曲線yf (x) 的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)x2dt20已知函數(shù) f ( x)cost0（ 1）求 f (0) ；（ 2）判斷函數(shù) f (x) 的奇偶性，并說(shuō)明理由；3x0時(shí)，f ( x) x(1 ) x3其中0常數(shù)（ ）證明：當(dāng)3，2018 年廣東省普通高校本科插班生招生考試高等數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 5小題，每小題3 分，共 15分）1.B 2.C 3.D 4.C5.A二、填空題（本大題共5 小題，每個(gè)空3 分，共 15 分）e16. 3(ln 3)27.48.9.dx1edy10.e x2三、計(jì)算題（本

14、大題共8 小題，每小題6 分，共 48 分）11. 解：Q lim f (x)limxax0x0x212xlimf (x)lim1e2x 0x 0x當(dāng) abe2 時(shí)， f ( x) 在點(diǎn) x0 處連續(xù)12. 解：lim1ln(1x)lim xln(1 x)x 0xx2x 0x2111xlimx02 xlim11x)2x0 2(113. 解：等式兩邊對(duì)求導(dǎo)得2 yarc tan y(1 y2 )1dyexxex1 y2 dxdy (12 yarc tan y)(1x)exdxx)exdy(1dx 12 yarc tan y14. 解：xf (x)dxxdf (x)xf (x)f ( x)dxxl

15、n(1x2 )ln(1x2 )C22x 2ln(1x2 )C1x15. 解： A1x1x(1) dx 10 1dx01 xx設(shè)xt, 則 xt 2 , dx2tdtA1x112 )dt1dx 12 (11 t0 1 x012(tarc tan t) |103216. 解：zx(1y2 ) 2xy2x(1 y2 )y(1 y2 )2(1 y2 ) 22 z1y2y x(1y2 )217. 解：1x ddyy1 x dx2Dy10y23y2 2 y (1x ) 2dy13y02 2 yy22dy1133 118解：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且nnn 1 | sin n | 22nun 1n1lim n 1

16、1limlim 2n11xunxnx2n22nn收斂，故n收斂n 1 2nn 1 |sin n | 219.解：（ 1）由 f ( x)4 f ( x)=0 得y4 y =0 ，其特征方程r 240 的解為 r2y4 y =0 的通解為 yC1e2xC2e 2 x由題意知 y |x 00, y |x 0 2 ， C1 C2 0,2C1 2C22,得 C11 ,C2122f (x)1 (e2x e 2 x )故2(2)由題意得 Q f ( x)e2 xe 2 x , f ( x)2e2 x2e 2x令 f ( x)0 得 x 0當(dāng) x0 時(shí)， f ( x)0 ， 當(dāng) x0 時(shí)， f ( x)0所

17、以曲線的凹區(qū)間為(0,) ，凸區(qū)間為 ( ,0) ，點(diǎn) (0,0) 為曲線的拐點(diǎn)20. 解：（ 1） Q f (x)cosx2 ,f (0)1,（2） f (x)x2dtcost0令 ut, 則f ( x)x2 dtxx2 dtf ( x)costcosu2ducost000f ( x) 為奇函數(shù)（3）設(shè) g( x) f ( x) x (1 ) x3,3則 g (x)f ( x)1cosx21(1) x2 ,g (x) 在 (0, ) 區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，當(dāng) x0 時(shí)， g ( x)g (0)0由此知 g (x) 在 (0,) 區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增故當(dāng) x0 時(shí)， g(x)g (0)f (0)即當(dāng)

18、 x0(1) x3時(shí)， f ( x) x30所以，當(dāng) x(1 ) x30 時(shí)， f ( x) x3廣東省 2017 年普通高等學(xué)校本科插班生招生考試高等數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題（本在題共5 小題，每小題3 分，共 15 分。每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求）1下列極限等式不正確的是A lim e n10B lim en1nnC lim x10D lim x sin 10x 1 x21x 0x2若 lim(1a ) x4 ，則常數(shù) ax xA ln 2B 2ln 2C 1D 43設(shè) F ( x) 是可導(dǎo)函數(shù)f ( x) 的一個(gè)原函數(shù)，C 為任意常數(shù)，則等式不正確的是A f ( x)dxf (x) CBf

19、 (x)dxf (x)Cf ( x)dx F ( x) CD F (x)dxf (x) C4已知函數(shù) f (x) 在區(qū)間 0,224x )dx上連續(xù)，且xf ( x)dx 4 ，則f (00A 2B 4C6D 811 x2f ( x2y 2 )dy 化為極坐標(biāo)形式的二次積分，則 I5將二次積分I1 dx 0d12 )dr1f (r 2 )drA rf (rB d00002121f (r 2 )drCdrf (r 2 )drD d0000二、填空題（本大題共5 小題，每小題3 分，共 15 分）6已知當(dāng) x0 時(shí)， f ( x) :2x ，則 limsin 6xf (x)x 07若常數(shù)p1，則廣

20、義積分1p dx1 x8設(shè)二元函數(shù) zf (x, y) 的全微分 dzy12z2 dxdy,則xxy x。9微分方程 y9 y0 的通解為 y。10級(jí)數(shù)1的和為1)n 1 n( n三、計(jì)算題（本大題共8 小題，每小題6 分，共48 分）11求極限 lim e3x3x1x 0 1 cos x12設(shè) y xx2(x0) ，求 y13設(shè)函數(shù) f ( x)x(t1)2 1dt ，求曲線 yf ( x) 的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)114求不定積分x cos(x2)dx15設(shè) (x y)3ztan z 0 ，計(jì)算zzxy16求二重積分x3，其中 D 是由曲線 y2和直線 x 1及 y0 圍成的有界閉區(qū)e dxD域1

21、7若曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1) ，且該曲線上一點(diǎn)( x, y) 處的切線斜率為2 yex ，求這條曲線的方程18判定級(jí)數(shù)1 4n(2) 斂散性。n1 nn!四、綜合題（大題共2 小題，第 19 小題 12 分，第20 小題 10 分，共22 分）19設(shè)函數(shù)f ( x)1x1 x2（ 1）求曲線 y f ( x) 的水平漸近線方程；（ 2）求由曲線yf ( x) 和直線 x0, x 1及 y0 圍成的平面圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積 V20已知 f ( x)arctan 1x（ 1）證明：當(dāng) x0 時(shí)，恒有 f ( x)f ( 1 )；x2（ 2）試問(wèn)方程f (x) x 在區(qū)間 (0,) 內(nèi)有幾個(gè)

22、實(shí)根？廣東省 2016 年普通高等學(xué)校本科插班生招生考試高等數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題（本在題共 5 小題，每小題 3 分，共 15 分。每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求）3xa, x11處連續(xù) ,則常數(shù) a1若函數(shù) f (x)=在點(diǎn) xx1,x 1A 1B 0C 1D 2f ( x0x)f (x0 )( x0 )2已知函數(shù) f ( x) 滿足 limx6 ,則 fx0A 1B 2C3D 63若點(diǎn) (1,2) 為曲線yax3bx2 的拐點(diǎn) ,則常數(shù) a 與 b 的值應(yīng)分別為A 1和3B3 和 1C2 和 6D6和 24設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間1,1上可導(dǎo)， C 為任意實(shí)數(shù) ,則 sin xf (cos

23、 x)dxA cos xf (cos x)CB cos xf (cos x) CC f (cos x)CD f (cos x) C5已知常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)u 的部分和 Sn(nN * ) ,則下列常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)下列級(jí)數(shù)中，發(fā)n 1nnn1散的是A 2unB (unun 1)n 1n 1C(un1 )D un (3)nn 1nn =15二、填空題（本大題共5 小題，每小題3 分，共 15 分）6極限 lim xsin 3xxx7設(shè) y2 ,則 dy x 0x18設(shè)二元函數(shù)9設(shè)平面區(qū)域2z x ln y ,則z。y xD ( x, y) | x2y 21 ,則 ( x2y2 )d。D10橢圓曲線x2y21圍成

24、的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積 V4三、計(jì)算題（本大題共8 小題，每小題6 分，共 48 分）11求極限 lim(1sin x )x0x2x312求曲線 3x2yexy2 在點(diǎn) (0,1)處的切線方程113求不定積分dx 。x(1x)114計(jì)算定積分x2xdx015設(shè) zuv ,而 u2xy,vx ,求zxx 1和 zy 0yx 1y 0x16設(shè)平面區(qū)域D 由曲線 xy1和直線 yx 及 x2 圍成 ,計(jì)算dDy217已知函數(shù) ye2 x 是微分方程 y2 y ay0的一個(gè)特解 ,求常數(shù) a 的值 ,并求該微分方程的通解18已知級(jí)數(shù)un 滿足 un 11 (11 )n un (n

25、N * ) ,且 u1 1,判定級(jí)數(shù)un 的收斂性。n 13nn 1四、綜合題（大題共 2 小題，第19 小題 12 分，第20 小題 10 分，共 22 分）19設(shè)函數(shù) f ( x)ln(1 x) x1x2 , 證明 :2（ 1）當(dāng) x0 時(shí) , f ( x) 是比 x 高階的無(wú)窮小量 ;（ 2）當(dāng) x0 時(shí), f (x)020已知定義在區(qū)間0,) 上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)f (x) 滿足f2x 1f 2 (t)( x)1t2dt(x 0)0（ 1）判斷函數(shù)f (x) 是否存在極值 ,并說(shuō)明理由；（ 2）求 f ( x)2016 年廣東省普通高校本科插班生招生考試高等數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選

26、擇題（本大題共5 小題，每小題3 分，共 15 分）1.A2.B3.A4.D5.C二、填空題（本大題共5 小題，每個(gè)空3 分，共 15 分）6.37.dx8.19.10.8y23三、計(jì)算題（本大題共8 小題，每小題6 分，共48 分）11. lim(1sin x)lim xsin xlim 1cosxlim sin x1x 0 x2x3x 0x3x 03x2x 0 6x612. 解：等式兩邊對(duì)x 求導(dǎo)得： 6xdyexy ( yx dy ) 0dxdxdy (1xexy )6xyexydxdy6xyexy, dydx1xexydxx 01y 1故曲線在點(diǎn) (0,1) 處切線方程為y1( x0) ，即 yx113. 解：設(shè)xt ，則 xt 2 ,dx2tdt111dx2tdt 2dt 2arcsin t Cx(1 x)t 1 t 21 t 22arcsin