路徑無關(guān)課件

1、路徑無關(guān)Gyxo 1LQdyPdx則則稱稱曲曲線線積積分分 LQdyPdx在在G內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān), ,一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義 2LQdyPdx1L2LBA如果在區(qū)域如果在區(qū)域G內(nèi)有內(nèi)有 否否則則與與路路徑徑有有關(guān)關(guān). .第四節(jié)第四節(jié) 平面曲線積分與積分路徑無關(guān)的條件平面曲線積分與積分路徑無關(guān)的條件路徑無關(guān)二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理定理2. 設(shè)D 是單連通域單連通域 ,),(),(yxQyxP在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有.0ddLyQxP(2) 對D 中任一分

2、段光滑曲線 L, 曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 內(nèi)每一點都有.xQyPLyQxPdd與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān). 函數(shù)則以下四個條件等價:在 D 內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即 路徑無關(guān)說明說明: 積分與路徑無關(guān)時, 曲線積分可記為 證明 (1) (2)設(shè)21, LL 21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP 21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP為D 內(nèi)任意兩條由A 到B 的有向分段光滑曲線,則(根據(jù)條件(1)BAyQxPddAByQxPdd路徑無關(guān)證明 (2) (3)在D內(nèi)取定點)

3、,(00yxA因曲線積分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux則),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可證yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一點B( x, y ),與路徑無關(guān),),(yxxC),(yxB),(00yxA有函數(shù) 路徑無關(guān)證明 (3) (4)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得yQxPuddd則),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),xyuyxu22所以從而在D內(nèi)每一點都有xQyPxyuxQyxuyP2

4、2,路徑無關(guān)證明 (4) (1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,DD (如圖) ,上因此在DxQyP利用格林公式格林公式 , 得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所圍區(qū)域為證畢證畢路徑無關(guān) Lydyxxyxdxyxy22233sin21cos2I1例例.,),(的一段弧到上由點為在拋物線120022 yxLBoxAy,cos xyxyP232解22321yxxyQsin,cos xyxyyP262 262xyxyxQcos 積分與路徑無關(guān)積分與路徑無關(guān),xQyP 120200,),( ABO改變積分路徑為折線路徑無關(guān)BoxAyOBydyxxyxdxyxy222313212sincosI

5、20:0: xyxxOB0BAydyxxyxdxyxy222323212sincosI10224321dyyy 42 21III42 10:2: yyyxBA 路徑無關(guān)解解:.1523 xQxyP 2BoxAy 101042)1(dyydxx ABOAQdyPdx故故原原式式PQ ABOAQdyPdxQdyPdx路徑無關(guān)yx說明說明:根據(jù)定理2 , 若在某單連通域單連通域區(qū)域內(nèi),xQyP則2) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù):Dyx),(00及動點,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或y

6、yyyxQyxu0d),(),(00y0 x則原函數(shù)為yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(取定點1) 計算曲線積分時, 可選擇方便的積分路徑;路徑無關(guān)例2. 驗證驗證yyxxyxdd22是某個函數(shù)的全微分, 并求出這個函數(shù). 證證: 設(shè),22yxQyxP則xQyxyP2由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx路徑無關(guān)積分與路徑無關(guān)積分與路徑無關(guān)xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxx

7、Q ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 路徑無關(guān)由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)( cxx 2)( 10100ydydx.21 路徑無關(guān)例例4 計算計算,dd22Lyxxyyx其中L為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.解解: 令,022時則當(dāng) yx22222)(yxxyxQ設(shè) L 所圍區(qū)域為D,)0 , 0(時當(dāng)D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoL路徑無關(guān)dsincos2022222rrr2,)0 , 0(時當(dāng)D在D 內(nèi)作圓周,:222ryxl取逆時針方向,1D

8、, 對區(qū)域1D應(yīng)用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx記記 L 和和 l 所圍的區(qū)域為所圍的區(qū)域為林公式 , 得路徑無關(guān)例例5. 驗證驗證22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函數(shù) , 并求出它. 證證: 令2222,yxxQyxyP則)0()(22222xxQyxxyyP由定理定理 2 可知存在原函數(shù)),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx路徑無關(guān)oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy路徑無關(guān)四、小結(jié)四、小結(jié)與路徑無關(guān)的四個等價命題與路徑無關(guān)的四個等價命題條條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續(xù)