數(shù)學(xué)建模-湖水的自我凈化問題

1、 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程設(shè)計(jì)學(xué) 院數(shù)理學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí) 學(xué)號(hào)學(xué)生姓名指導(dǎo)教師2015年6月湖水的自我凈化問題摘要問題：本題是一容積為V的大湖受到某種物質(zhì)污染，從某時(shí)刻起污染源被切斷，湖水開始更新，更新速率為r，建立求污染物濃度下降至原來的5%需要多長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)學(xué)模型問題。模型：解決本問題需要用到微元法建模。方法：假設(shè)在很小的時(shí)間內(nèi)流出的湖水污染物濃度不變，然后利用湖水中污染物的變化量等于流出湖水的污染量建立等式關(guān)系，對(duì)該等式求導(dǎo)后得出一個(gè)微分方程，利用Matlab中dsolve函數(shù)解該微分方程。結(jié)果：求得污染物濃度下降至原來的5%所需時(shí)間為398.3天。一.問題重述1）背景資料與條件設(shè)

2、一個(gè)容積為V（m3）的大湖受到某種物質(zhì)的污染，污染物均勻的分布在湖中。若從某時(shí)刻起污染源被切斷，設(shè)湖水更新的速率是r（m3/天）。試建立求污染物濃度下降至原來的5%需要多長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)學(xué)模型。2）需要解決的問題 美國(guó)密西根湖的容積為4871´109（m3），湖水的流量為3.663 959 132´1010（m3/天），求污染中止后，污染物濃度下降到原來的5%所需要的時(shí)間。二模型假設(shè)1）假設(shè)一：湖水體積V保持不變。2）假設(shè)二：污染物始終均勻分布在湖中。3）假設(shè)三：在很小的時(shí)間內(nèi)污染物濃度不變。三分析與建立模型1）符號(hào)說明w(t):t時(shí)刻湖水中污染物的濃度。w(0):表示初始時(shí)刻湖

3、水中的污染物濃度。t :表示污染源切斷后湖水更新的時(shí)間（單位：天）。2）分析2.1假設(shè)的合理性分析 如果湖水體積變化，那么題目就沒法做了，因此這個(gè)假設(shè)是必要的且是合理的。污染物始終均勻的分布在湖中，題目條件中已給出，所以此假設(shè)合理可靠。在很小的時(shí)間內(nèi)污染物濃度不變，這是利用微元法的思想，故假設(shè)的合理性毋庸置疑。2.2模型的誤差分析 本模型的誤差主要在數(shù)字的處理上，即保留幾位的問題上，也就是說存在舍入誤差，本題在最后結(jié)果中保留了一位小數(shù)。3）建立模型 從開始到t天內(nèi)湖水污染物含量的變化為:Vw(0)-Vw(t)t天內(nèi)湖水更新流出的污染物量為：利用湖水污染物含量變化=湖水更新流出的污染物量得：等式

4、兩邊求導(dǎo)得：變換可得：然后利用Matlab中dsolve函數(shù)求解微分方程，由w(t)=5%w(0)求得時(shí)間t。四模型求解由對(duì)求導(dǎo)后得,再利用Matlab中dsolve函數(shù)求解此微分方程，Matlab運(yùn)行后得，在Matlab中編寫程序求解，代入條件求得結(jié)果，對(duì)湖水的自我凈化過程作圖（如圖）（程序見附錄）。五模型檢驗(yàn)由于實(shí)際數(shù)據(jù)不好求得，所以用模型計(jì)算求得的數(shù)據(jù)不好與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)，故也就計(jì)算不了誤差大小。但本模型對(duì)所取得數(shù)據(jù)精度不同，產(chǎn)生的結(jié)果也就不同。根據(jù)模型的分析得本模型誤差產(chǎn)生的原因主要是數(shù)據(jù)精度，其它因素影響很小，在本題中我所取的精度所得出的結(jié)果產(chǎn)生的誤差在模型估計(jì)和實(shí)際許可的范圍之內(nèi)

5、。六模型推廣由于我的模型利用的是微分方程，又微分方程常用于動(dòng)態(tài)分析，可以用于解決動(dòng)態(tài)分析問題，所以我的模型可以應(yīng)用的場(chǎng)合非常多。除了適用于本題湖水的自我凈化問題這樣的問題外，我還可以用到其它的模型中（如容器漏水模型等）?？偠灾?，只要是涉及到動(dòng)態(tài)分析的問題都可以引用本模型解決，所以本模型的應(yīng)用很廣泛也很有用。進(jìn)一步說數(shù)學(xué)并不是枯燥無味的也不是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的數(shù)字而已，數(shù)學(xué)可以通過數(shù)學(xué)建模解決很多實(shí)際生活和生產(chǎn)問題。七參考文獻(xiàn)1）趙靜,但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（第四版）.北京：高等教育出版社，2014.2）徐金明，張孟喜.Matlab實(shí)用教程.北京：清華大學(xué)出版社，2008.3）井淼兒，湖水的自我凈化問題-數(shù)學(xué)建模（百度文庫），附錄Untitled1.mw=dsolve('Dw= -r*w/V' ,'t')Untitled2.mr=3.663959132*1010;V=4.871*1012;t=-V*log(0.05)/rUntitled3.mr=3.663959132*1010;V=4.871*1012;w=1;t=0: