幾種數(shù)值積分算法的誤差分析PPT課件

1、課程設(shè)計(jì)的基本思路課程設(shè)計(jì)的基本思路 本課程設(shè)計(jì)通過(guò)總結(jié)與比較各類數(shù)值積分方法及列出具體算例，通過(guò)余項(xiàng)、代數(shù)精度等比較各種方法的異同。在我們解題時(shí)，用一些方法只能解決很狹隘的一部分積分，在它的范圍外通常采用各種近似計(jì)算的方法。在近似計(jì)算過(guò)程中，肯定會(huì)產(chǎn)生誤差，我們必須想辦法使得產(chǎn)生的誤差盡可能的小。因此，一個(gè)好的數(shù)值求積公式應(yīng)該滿足：計(jì)算簡(jiǎn)單、誤差小、代數(shù)精度高并且穩(wěn)定。為了提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確性，我們要重視誤差分析、收斂性及穩(wěn)定性的基本理論識(shí)，從而使運(yùn)算速度更快、更準(zhǔn)。第1頁(yè)/共10頁(yè)一、幾種數(shù)值積分的算法一、幾種數(shù)值積分的算法1 1、Newton-CotesNewton-Cotes求積公式求

2、積公式2 2、復(fù)化求積公式、復(fù)化求積公式)()(2)(bfafabTdxxfba（1）梯形公式（n=1）（2）Simpson（辛普森）公式（n=2）)()2(4)(6)(bfbafafabSdxxfba（3）Cotes公式（n=4）)(7)(32)(12)(32)(790)(43210 xfxfxfxfxfabCdxxfba11)()(2)(2nkknbfxfafhT（1）復(fù)化梯形求積公式（2）復(fù)化Simpton求積公式11121)()(4)(2)(6nknkkknbfxfxfafhS（3）復(fù)化Cotes求積公式第2頁(yè)/共10頁(yè)3 3、龍貝格求積公式、龍貝格求積公式1011211041)(7)

3、(14)(12)43()(32)(790nknkiknkkkbfxfxxfxfafhCn4、高斯求積公式高斯求積公式 （1）高斯-勒讓德求積公式 110)()(nkkkxfAdxxf （2）高斯-切比雪夫求積公式1102)(1)(nkkkxfAdxxxf（3）高斯-拉蓋爾求積公式00)()(nkkkxxfAdxxfe，（4）高斯-埃爾米特求積公式nkkkxxfAdxxfe0)()(2mikimTTTmkmkmmkm, 2 , 1,144, 11, 1,第3頁(yè)/共10頁(yè)二、數(shù)值積分方法的誤差比較及算例二、數(shù)值積分方法的誤差比較及算例1、Newton-Cotes求積公式的誤差分析),(,)(12)

4、(3baabfRT ),(),(2880)() 4(5bafabRS),(),()4(945)( 2) 6(6bafababRC（1）梯形公式的截?cái)嗾`差（2）辛普森公式截?cái)嗾`差（3）柯特斯公式截?cái)嗾`差 小結(jié)：Simpson公式的插值節(jié)點(diǎn)只比梯形公式多一個(gè)，但其代數(shù)精確度卻比梯形公式高2，它們都是最為常用的數(shù)值積分公式，尤其是Simpson公式邏輯結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，且精度又比較高. 第4頁(yè)/共10頁(yè)2 2、復(fù)化求積公式的誤差分析、復(fù)化求積公式的誤差分析 （1）復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差)(12)(2fhabfRTn （2 2）復(fù)化辛普森公式的截?cái)嗾`差 ),(),()2(180)() 4(4bafhhfRnS

5、（3 3）復(fù)化CotesCotes公式的截?cái)嗾`差 ),(),()4(945)(2)()6(6bafhabfRnC收斂速度一個(gè)比一個(gè)快，一個(gè)比一個(gè)準(zhǔn)確. nnnCST、小結(jié) ：1、2 2、在使用函數(shù)值個(gè)數(shù)相等的情況下， 248CST、精度逐漸升高. 第5頁(yè)/共10頁(yè)3、龍貝格求積公式的誤差分析龍貝格求積公式的誤差分析 龍貝格求積公式是具有8 8階精度的算法，收斂且穩(wěn)定, ,比 收斂的快. . 余項(xiàng)為：nnnCST、bakmkmTdxxffR,)()()()(!2)22(322).2)(1(22mmmkmmmfabB RombergRomberg積分法高速有效，易于編程，適合于計(jì)算機(jī)計(jì)算. .但它

6、有一個(gè)主要的缺點(diǎn)是，每當(dāng)把區(qū)間對(duì)分后，就要對(duì)被積函數(shù) 計(jì)算它在)( xf新分點(diǎn)處的值，而這些函數(shù)值的個(gè)數(shù)是成倍的增加的. .第6頁(yè)/共10頁(yè) 4、高斯求積公式的誤差分析 高斯型求積公式代數(shù)精度比牛頓柯特斯代數(shù)精度高，當(dāng)8n 時(shí)牛頓-柯特斯求積公式出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象而高斯型求積公式總是穩(wěn)定 的.高斯求積公式的代數(shù)精度高達(dá)8，是具有最高代數(shù)精度的插值型求 積公式.(1)1( )( )( )(1)!nbnafR fxx dxnn2210( )( )()nniif xxxx 0R f 22 n 高斯求積公式可分為帶權(quán)求積公式和不帶權(quán)求積公式兩大類.由插值余項(xiàng)知插值型求積公式的代數(shù)精度，另一方面，若取則有說(shuō)明插值型求積公式的代數(shù)精度不可能達(dá)到不可能低于,高斯型求積公式是具有最高階代數(shù)精度的求積公式.第7頁(yè)/共10頁(yè)總結(jié) 通過(guò)理論分析和比較可以得出以下結(jié)論:一般來(lái)說(shuō), Newton- Cotes方法的代數(shù)精度越高,數(shù)值積分的效果越好;當(dāng)積分區(qū)間較大時(shí) 候