2022年中考數(shù)學(xué)考前專(zhuān)題輔導(dǎo) 等比數(shù)列及前n項(xiàng)和

1、教學(xué)目標(biāo)1、理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、等比數(shù)列的性質(zhì)及推導(dǎo)；3、概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想方法。重點(diǎn)、難點(diǎn)1、理解等比數(shù)列的性質(zhì)及推導(dǎo)2、等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用。考點(diǎn)及考試要求1、 等比數(shù)列的定義2、 等比數(shù)列的性質(zhì)3、 等比數(shù)列的應(yīng)用教 學(xué) 內(nèi) 容第一課時(shí) 等比數(shù)列及前n項(xiàng)和知識(shí)點(diǎn)梳理課前檢測(cè)1. 2013·雞西質(zhì)檢已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1，S2a3，則S40()A. 290B. 390C. 410D. 4302. 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a58，S36，則S10S7的值是()A. 24B. 48C. 60D. 723.

2、 2013·江西六校聯(lián)考已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a418a5，則S8()A. 72B. 68C. 54D. 904. 2013·安徽淮北模擬若等差數(shù)列an的公差d<0，且a1a110，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn取得最大值時(shí)的項(xiàng)數(shù)n是()A. 5B. 6C. 5或6D. 6或75.數(shù)列an是首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第六項(xiàng)為正，第七項(xiàng)為負(fù)(1)求數(shù)列的公差d；(2)求前n項(xiàng)和Sn的最大值；(3)當(dāng)Sn>0時(shí)，求n的最大值知識(shí)梳理1等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列叫作等比數(shù)列，這

3、個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，通常用字母_q_表示(q0)2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)ana1·qn1(a10，q0)3等比中項(xiàng)若G2a·b_(ab0)，那么G為a與b的等比中項(xiàng)4等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam·qnm，(n，mN)(2)若an為等比數(shù)列，且klmn (k，l，m，nN)，則ak·alam·an.(3)若an，bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an(0)，a，an·bn，仍是等比數(shù)列5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列an的公比為q(q0)，其前n項(xiàng)和為Sn，Sn6等比數(shù)列

4、前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為_(kāi)qn_.第二課時(shí) 等比數(shù)列及前n項(xiàng)和典型例題典型例題、等比數(shù)列的基本運(yùn)算(高頻考點(diǎn))(1)(2015·江蘇揚(yáng)州中學(xué)期中測(cè)試)設(shè)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，若a11，a34，Sk63，則k_(2)已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且aa10，2(anan2)5an1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_(3)(2014·高考重慶卷節(jié)選)已知an是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，Sn表示an的前n項(xiàng)和設(shè)bn是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比q滿足q2(a41)qS40，求bn

5、的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn.解析(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由已知a11，a34，得q24.又an的各項(xiàng)均為正數(shù)，q2.而Sk63，2k163，解得k6.(2)設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，aa10，2(anan2)5an1，由得a1q，由知q2或q，又?jǐn)?shù)列an為遞增數(shù)列，a1q2，從而an2n.答案(1)6(2)2n(3)解：因?yàn)閍n是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以ana1(n1)d2n1，Sn13(2n1)n2.所以a47，S416.因?yàn)閝2(a41)qS40，即q28q160，所以(q4)20，從而q4.又因?yàn)閎12，bn是公比q4的等比數(shù)列，所以bnb1qn12·

6、4n122n1.從而bn的前n項(xiàng)和Tn(4n1)變1.(1)(2015·北京海淀模擬)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2a2，S3成等差數(shù)列，則數(shù)列an的公比為()A1B2C. D3(2)(2015·河北唐山高三統(tǒng)考)在公比大于1的等比數(shù)列an中，a3a772，a2a827，則a12()A96 B64C72 D48(3)(2015·東北三校第二次模擬)已知數(shù)列an滿足2an1an0，a21，則數(shù)列an的前10項(xiàng)和S10為()A.(2101) B.(2101)C.(2101) D.(2101)、等比數(shù)列的判定與證明(2015·東北三校聯(lián)考)已知

7、數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2an(1)n(nN*)(1)求數(shù)列an的前三項(xiàng)a1，a2，a3；(2)求證：數(shù)列an(1)n為等比數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)公式解(1)在Sn2an(1)n(nN*)中分別令n1，2，3得：，解得(2)證明：由Sn2an(1)n(nN*)，得Sn12an1(1)n1(n2)，兩式相減得：an2an12(1)n(n2)，an2an1(1)n(1)n2an1(1)n1(1)n(n2)，an(1)n2an1(1)n1(n2)故數(shù)列an(1)n是以a1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列an(1)n×2n1，an×2n1(1)n(1)n.在本例條件下，若數(shù)列bn滿

8、足b1a1，bnanan1.證明：bn是等比數(shù)列證明：an(1)n，bnanan1(1)n(1)n12n1.又b1a11，2，數(shù)列bn是等比數(shù)列規(guī)律方法等比數(shù)列的判定方法證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可變2.已知數(shù)列an滿足：a1，an1ann4，其中為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明：數(shù)列an不是等比數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)(1)(2015·昆明三中、玉溪一中統(tǒng)考)等比數(shù)列an中，a11，q2，則Tn的結(jié)果可化為()A1 B1C. D.(2)(2015·山西省第

9、三次四校聯(lián)考)等比數(shù)列an滿足an>0，nN*，且a3·a2n322n(n2)，則當(dāng)n1時(shí)，log2a1log2a2log2a2n1()An(2n1) B(n1)2Cn2 D(n1)2(3)(2015·山西省第二次四校聯(lián)考)若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且5，則_解析(1)依題意，an2n1，×，所以Tn，故選C.(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3·a2n3a22n，從而得an2n.log2a1log2a2log2a2n1log2(a1a2n1)·(a2a2n2)(an1an1)anlog22n(2n1)n(2n1)(3)設(shè)數(shù)列an的公比為

10、q，由已知得15，1q25，所以q24，11q411617.答案(1)C(2)A(3)17規(guī)律方法(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若mnpq，則am·anap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用變3.(1)在等比數(shù)列中，已知a1aa15243，則的值為()A3 B9C27 D81(2)(2015·長(zhǎng)春調(diào)研)在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，則n()A11 B12C

11、14 D16(3)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S6S312，則 S9S3等于()A12 B23C34 D13、方法思想分類(lèi)討論思想在求數(shù)列前n項(xiàng)和中的應(yīng)用(2015·江蘇常州模擬)如果有窮數(shù)列a1，a2，a3，am(m為正整數(shù))滿足條件a1am，a2am1，ama1，即aiami1(i1，2，m)，我們稱(chēng)其為“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”例如，數(shù)列1，2，3，4，3，2，1與數(shù)列a，b，c，c，b，a都是“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”(1)設(shè)bn是8項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，其中b1，b2，b3，b4是等差數(shù)列，且b11，b513.依次寫(xiě)出bn的每一項(xiàng)；(2)設(shè)cn是2m1項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，其中cm1，cm2，c2m1是

12、首項(xiàng)為a，公比為q的等比數(shù)列，求cn的各項(xiàng)和Sn.解(1)設(shè)數(shù)列bn的公差為d，b4b13d13d.又因?yàn)閎4b513，解得d4，所以數(shù)列bn為1，5，9，13，13，9，5，1.(2)Snc1c2c2m12(cm1cm2c2m1)cm12a(1qq2qm)a2a·a(q1)而當(dāng)q1時(shí)，Sn(2m1)a.Sn.名師點(diǎn)評(píng)(1)本題是新定義型數(shù)列問(wèn)題，在求等比數(shù)列cn前n項(xiàng)和時(shí)用到了分類(lèi)討論思想(2)分類(lèi)討論思想在數(shù)列中應(yīng)用較多，常見(jiàn)的分類(lèi)討論有：已知Sn與an的關(guān)系，要分n1，n2兩種情況；項(xiàng)數(shù)的奇、偶數(shù)討論；等比數(shù)列的單調(diào)性的判斷注意與a1，q的取值的討論變4.(2014·

13、高考山東卷)在等差數(shù)列an中，已知公差d2，a2是a1與a4的等比中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，記Tnb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.第三課時(shí) 等比數(shù)列及前n項(xiàng)和課堂檢測(cè)課堂檢測(cè)1已知等比數(shù)列an的前三項(xiàng)依次為a1，a1，a4，則an()A4×B4×C4× D4×2(2015·山東淄博期末)已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù)，且a3a92a，a22，則a1()A. B.C. D23已知數(shù)列an滿足1log3anlog3an1(nN*)且a2a4a69，則log(a5a7a9)的值是()A. BC5 D54(2015·四川廣元質(zhì)檢)等比數(shù)列an的公比q>0，已知a21，an2an16an，則an的前4項(xiàng)和S4()A20 B15C. D.5已知數(shù)列an，則有()A若a4n，nN*，則an為等比數(shù)列B若an·an2a，nN*，則an為等比數(shù)列C若am·an2mn，m，nN*，則an為等比數(shù)列D若an·an3an1·an2，nN*，則an為等比數(shù)列6(2013·高考北京卷)若等比數(shù)列an滿足a2a420，a3a540，則公比q_；前n項(xiàng)和Sn_.7(2014·高考廣東卷)若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10