第15章_市場風險：模型構建法

1、Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012第 15 章市場風險：模型構建法市場風險：模型構建法1Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20120. 多元正態(tài)分布分量線性組合的分布多元正態(tài)分布分量線性組合的分布l設隨機變量V1, V2 , V3，的聯合分布為正態(tài)分布 其中： 為它們的期望。 為其協(xié)方差矩陣。求： 的概率分布。 2( ,)N123

2、( ,)u u u111213212223313233 1 12233VVVRisk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121. 模模型構建型構建法基本思路法基本思路l問題的提出：我們需要知道某一資產組合未來一天概率分布情況，從而可以知道損失的分布情況，進而可以計算VaR。l除了歷史模擬法之外，另外還有一種計算市場風險的方法，這種方法被稱為模型構建法 或方差協(xié)方差法。l總思路：對市場變量的 聯合分布做出一定的假設，并采用歷史數據來估計模型中的參數。進而得到資產未來價值的概

3、率分布，從而可以計算其VaR。3Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.1 單一資產模型單一資產模型l對于單一資產價值 在展望期 的損失可表示成 （1） 其中： 為展望期內的收益率 的波動率。而 ， 是服從某種分布的隨機變量。 通常4nVT,:n Tnnn TLVZ : n n T: n n Tv:log()log()nn Tn TnvVV:1n n TnTZRisk Management and Financial Institutions 3e, Chap

4、ter 15, Copyright John C. Hull 20121.1.1微軟的例子微軟的例子l假定：（1）交易組合只包含價值為1000萬美元的微軟公司股票 （2）微軟公司股票的當前的日波動率2% (對應于年波動率32%)l求交易組合在10天展望期內99%的置信水平下的VaR？5Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.1.1 微微軟的例子軟的例子（續(xù)）（續(xù)）解：依題意可知日波動率 ，展望期 。當前價值因此, 交易組合未來10天損失的概率分布可表示成其中假

5、設隨機變量 為標準正態(tài)分布得到VaR 為 710102%632,456LZZ 6+1=2%n10T 71 10nV Z1632,456(0.99)632,456 2.33$1,473,621NRisk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.1.2 AT&T 例子例子l接下來我們考慮價值為500萬美元的AT&T的股票投資。l假定AT&T股票的波動率為每天1% (對應于年波動率16%)l10天價格變化的標準差為lVaR 為50 000 10144,

6、$158,158114233405,.$368,7Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.2 多資產組合模型多資產組合模型l對于多資產組合價值 在展望期 的損失可表示成 （2） 其中： 為展望期內的資產組合價值 的波動率。 (3) 是每個資產收益率的協(xié)方差矩陣。 是服從某種分布的隨機變量。 8nVT, :n TV nn TLZ , :V n n TV2, :1,2,1,2,()()V nn Tnnk nnnk nV VVV VVZRisk Management

7、 and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.2.1 交交易易組合的例子組合的例子例：考慮由價值1 000萬美元微軟股票及價值為500萬美元的AT&T股票的交易組合。其中它們的相關系數為0.3。 求資產組合99%的VaR9Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.2.2 交交易組易組合價值的合價值的標準差標準差l由兩種股票所組成的交易組合的標準差為l這種情

8、況下 X = 2% ，Y = 1% 以及r = 0.3. 所以，由兩種股票所組成的交易組合的標準差為 220,227277626XXYX YXYYr r 10（ 10,5 10）5 1010Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.2.3交交易易組合的組合的VaRl交易組合的展望期為10，置信度為 99% VaR 為l風險分散的帶來風險值的下降為(1,473,621+368,405)1,622,657=$219,369657,622, 1$33.210220,2

9、27111.3 方差方差-協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 (vari = covii)Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 201212112131212232313233123varcovcovcovcovvarcovcovcovcovvarcovcovcovcovvarnnnnnnn 從式（3）可知資產組合波動率計算的關鍵是計算資產價值的方差-協(xié)方差陣1.3.1方差方差-協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 的計算的計算Risk Management and Financial Instit

10、utions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012131.等權重（樣本協(xié)方差）2.利用EWMA模型。在在2008年年9月方差和相關系數均有月方差和相關系數均有所上升所上升Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 201214DJIAFTSECACNikkei等權重1.111.421.401.38EWMA2.193.213.091.59EWMA weightsEqual 1342. 0409. 0113. 0342. 0197

11、1. 0629. 0409. 0971. 01611. 0113. 0629. 0611. 011211. 0201. 0062. 0211. 01918. 0496. 0201. 0918. 01489. 0062. 0496. 0489. 01相關系數波動率 (% 每天)Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.4 對對于利率變量的處理于利率變量的處理l久期法: 應用久期公式得出DP 與 Dy 之間的線性關系， 此處只假設利率曲線是平行移動，因此在計算，Va

12、R時只需知道Dy的概率分布情況就可以了.l現金流映射: 變量是10個不同期限零息債券.l主成分分析法: 2 或 3 獨立的移動15PDPyD DRisk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.4.1 現現金流金流映射法映射法l我們往往將以下期限的零息債券的價格作為市場的監(jiān)測變量 (1 月、3月、6月、1年、2年、5年、7年、10年及30年)l將各種債券映射成上述零息債券的線性組合。l假定6個月6.0%的利率及1年7.0% 的利率，在0.8年數量為1 050 000美元

13、的現金流.l6個月0.1%的波動率及1年0.2%的波動率16Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.4.2 例子例子l考慮頭寸為100萬美元的債券，債券期限為0.8年。其中：6個月6.0%的利率及1年7.0% 的利率，在0.8年數量為1 050 000美元的現金流.6個月0.1%的波動率及1年0.2%的波動率 如何將期限為0.8年的債券分解成6個月和一年的零息債券？17Risk Management and Financial Institutions 3e,

14、 Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.4.2 例例（1）將6個月6%的利率及1年7% 的利率，進行插值來求得0.8年利率 6.6%$ 1 050 000, 0.8年現金流的貼現值為0.81050000997,6621.067518Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012例例（續(xù)）（續(xù)）l對6個月0.1%的波動率及1年0.2%的波動率也進行插值來求得0.8年波動率，即0.16%l假定，我們映射到6個月期限的現金流的價值占

15、整體現值的比率為a因此，映射到1年期限現金流的價值占整體現值的比率為 (1- a)19Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012例例（續(xù)）（續(xù)）l假定6個月期和1年期的債券的相關系數為 0.7l進行方差匹配l求得 a=0.320 337222220.00160.0010.002 (1)2 0.7 0.001 0.002(1)aaaa 20Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyri

16、ght John C. Hull 2012例例（續(xù)）（續(xù)）因此，0.8年價值為997 662美元的零息債券被價值為的6個月期零息債券及價值為的一年期零息債券的組合代替.這里的現金流映射的優(yōu)點是現金流的價值及方差都沒有改變319589$320337.099766221678074$679663.0997662Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.6 線線性模型性模型我們假定l投資組合每天的價值變化是由市場變量每天收益的線性組合l市場變量的價格變化服從正態(tài)分布2

17、2Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.5 線線性模型的應用性模型的應用l股票l債券l匯率遠期合約l利率互換23Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.5 線線性模型與期權產品性模型與期權產品假設一個期權的交易組合只依賴于單一股票價格, S. 定義以及SPDDSSxDD24Risk Management and Financ

18、ial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012線性模型與期權線性模型與期權產品（續(xù)）產品（續(xù)）l我們有以下近似式l類似，當交易組合包含幾種不同基礎資產的期權時其中 i 是投資組合中第i個資產的 deltaxSSPDDDDDiiiixSP25Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012例例l假定一交易組合是由基礎資產微軟股票及AT&T 股票的期權所組成，微軟期權的delta為1 000，

19、AT&T期權的deltas為20 000，微軟股票的價格為 120， AT&T股票的價格為30。l我們 得出以下近似式其中Dx1 和 Dx2分別為微軟及AT&T股票的日 收益率21000,2030000, 1120 xxPDDD26Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012但是一個期權的日但是一個期權的日 收益率分布不收益率分布不是一個正態(tài)是一個正態(tài)線性模型無法獲取投資組合價值的概率分布的峰度。27Gamma的影響的影響Risk Manage

20、ment and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 201228 正 Gamma負 Gamma具有正態(tài)分布的基礎資產的概率具有正態(tài)分布的基礎資產的概率分布與分布與 長頭寸期權的概率分布的長頭寸期權的概率分布的對應關系對應關系Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 201229Long CallAsset Price具有正態(tài)分布的基礎資產的概率具有正態(tài)分布的基礎資產的概率分布與分布與

21、期權空頭的期權空頭的概率分布的對概率分布的對應關系應關系Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 201230Short CallAsset PriceRisk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012二次模型二次模型對于依賴于單一資產價格的投資組合，由泰勒展開我們得出由此得出假設 Dx 服從正態(tài)分布，我們可以得出下列矩2)(21SSPDDD22)(21

22、xSxSPDDD6364243424222222875. 15 . 4)(75. 0)(5 . 0)(DDDSSPESSPESPE31二次二次模型（續(xù)）模型（續(xù)）Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 201232l但當 Dxi 是多元正態(tài)分布，且n不是很大時，利用該式我們可以估計么 DP 矩。l統(tǒng)計學中Cornish Fisher展開由分布的矩入手，對概率分布的分位數進行估計l然而，當市場變量的個數很大時，這個模型將不再可行Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012蒙特卡羅模擬蒙特卡羅模擬我們可以在實施模型構建法時采用蒙特卡羅模擬法l利用當前的市場變量對交易組合進行定價l從Dxi服從的多元正態(tài)分布中進行一次抽樣l由Dxi的抽樣計算出在交易日末的市場變量l利用新產生的市場變量來對交易組合重新定價33Risk Management and Financial Institutions 3e, Ch