淺談反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1、編號 畢業(yè)論文（ 屆本科）論文題目：淺談反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級： 作者姓名： 指導(dǎo)教師： 職稱： 完成日期： 年 月 日目 錄誠信聲明1摘 要2Abstract3一 引言4二 反例的來源4三 反例在數(shù)學(xué)發(fā)展史中的作用53.1 一個(gè)著名反例引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)53.2 一經(jīng)典悖論引發(fā)第三次數(shù)學(xué)危機(jī)53.3 對猜想的絕妙否定和反例探索6四 構(gòu)造反例的幾種方法74.1應(yīng)用特殊例子構(gòu)造74.2用性質(zhì)構(gòu)造74.3逼近構(gòu)造法84.4直接觀查構(gòu)造法84.5相互比較互較構(gòu)造9五 反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用95.1有利于數(shù)學(xué)概念的形成和理解95.2有利

2、于學(xué)生積極發(fā)現(xiàn)問題、糾止錯(cuò)誤115.3反例用于強(qiáng)調(diào)條件125.4反例用于理清解題思路145.5培養(yǎng)思維的深刻性145.6有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力155.7有利于在數(shù)學(xué)命題教學(xué)中知識的歸納175.8有助于教師自身的專業(yè)成長17六 運(yùn)用反例應(yīng)注意的問題176.1 要注意主次176.2 要注意適當(dāng)應(yīng)用18七 結(jié)束語19參考文獻(xiàn)20致謝21隴東學(xué)院本科生畢業(yè)論文誠信聲明本人鄭重聲明：所呈交的本科畢業(yè)論文，是本人在指導(dǎo)老師李萬軍的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果，成果不存在知識產(chǎn)權(quán)爭議，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人

3、和集體均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 作者簽名： 二0一五年 月 日0摘 要本文在分析反例的來源，反例在數(shù)學(xué)發(fā)展史中的作用的基礎(chǔ)上，通過研究幾種構(gòu)造反例的方法，討論了反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：反例；來源；構(gòu)造；作用AbstractThis paper bases on the analysis of source of counterexamples and  the  history  of  the

4、60;development  of  mathematics  in  the  counterexamples , to  study  several  methods  of counterexamples . Using the typical examples analyzes deeply  and  discusses  the  role 

5、 of mathematics in middle school mathematics teaching . Keywords:counter; example ;source ;structure10淺談反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用（隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅慶陽 745000） 一 引言數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要說明一個(gè)命題是假命題，通?？梢耘e出一個(gè)例子，讓它符合命題中所給條件，但是卻不符合命題的結(jié)論，我們把這個(gè)例子叫做反例。在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中，許多命題從正面得不到解決。但是通過舉反例反而很輕松的使問題得到了解決，可以說數(shù)學(xué)證

6、明和反例在數(shù)學(xué)中發(fā)揮著同等重要的作用。當(dāng)我們要證明某一個(gè)命題成立的時(shí)侯，必須要經(jīng)過嚴(yán)密的邏輯推導(dǎo)過程，而否定這個(gè)命題，通過列舉出與這個(gè)命題結(jié)論相矛盾的例子，即舉反例就可以了。通過舉一個(gè)反例反而可以收到意想不到作用。所謂數(shù)學(xué)中的反例，是指符合某個(gè)命題條件，而又不符合該命題結(jié)論的例子。簡單的來說，反例就是一種指出某一個(gè)命題不成立的例子。數(shù)學(xué)講究邏輯，證明要言必有據(jù)。但是世上一切所謂“證明”，其目的都是為了說服別人相信某個(gè)真理，而說服人的方法有許多種，其中就有舉反例。如果舉不出反例，則該事不能不真，相反，若舉出了反例，則該事必定為假。 二 反例的來源要證明一個(gè)猜想是正確的,必須要經(jīng)過嚴(yán)格的推理證明才

7、能得出結(jié)論;但是要證明一個(gè)猜想是假的,我們僅僅需要找出一個(gè)反例，就可以有力的說明該猜想為假，從而推翻該猜想。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,有這樣一種現(xiàn)象：教師為了說明一個(gè)命題是假命題, 就舉出一個(gè)例子, 說出這個(gè)例子雖然滿足命題的條件, 但是不能滿足命題的結(jié)論,這就是常用的反例證明3。反例究竟是通過什么方法得出的呢？與證明獲取的方法一樣,反例獲得也是需要通過一系列深層次的思維活動(dòng),所用的方法主要包括一下幾種:觀察與實(shí)驗(yàn),歸納,分析與綜合,概括與抽象等方法,反例也決不可能是憑空產(chǎn)生的。我們從概念的定義入手，通過分析獲得反例是一種最常用的方法，數(shù)學(xué)中的概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式。在數(shù)學(xué)問題中,如果首先給出一

8、個(gè)概念的定義,然后就可以判斷一個(gè)猜想是不是正確,那么反例的獲得就常常需要從定義入手分析。數(shù)學(xué)中的反例作為簡單清楚但是又有力的否定的方法,在培養(yǎng)逆向思維能力中他占有非常重要地位，而且在糾正錯(cuò)誤結(jié)論、澄清概念、開拓?cái)?shù)學(xué)新領(lǐng)域中也起到了非常重要的作用，就像美國數(shù)學(xué)家蓋爾鮑姆所說：“數(shù)學(xué)是由兩大類證明和反例組成，數(shù)學(xué)的發(fā)展也向提出證明和提出反例兩個(gè)方向發(fā)展著。” 三 反例在數(shù)學(xué)發(fā)展史中的作用“一個(gè)數(shù)學(xué)問題如果用一個(gè)反例予以解決，給人的刺激猶如一出好戲劇，使人感到享受和興奮。為數(shù)學(xué)做出許多最優(yōu)雅的和藝術(shù)性很強(qiáng)的貢獻(xiàn)，屬于這個(gè)流派”1。這是數(shù)學(xué)家B·R·蓋爾鮑姆的一句，反例帶給整個(gè)數(shù)學(xué)

9、界非常大的震撼，它一次又一次以簡單明了、直接肯定的語氣，否定了數(shù)學(xué)中的許多命題，甚至動(dòng)搖了數(shù)學(xué)的根基，引發(fā)了一次次的數(shù)學(xué)危機(jī)，并徹底贏得最終的勝利，它同時(shí)一次又一次的更新著數(shù)學(xué)的理論系統(tǒng)，推動(dòng)數(shù)學(xué)向前的發(fā)展。3.1 一個(gè)著名反例引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的興旺時(shí)期（公元前五世紀(jì)），這個(gè)學(xué)派十分的重視自然及社會(huì)中不變因素的研究，致力于探索宇宙的普遍規(guī)律，他們認(rèn)為“萬物皆數(shù)”，即世間萬事萬物都可以用這種方法歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。然而有一天，該學(xué)派的一個(gè)學(xué)生希帕索斯向老師提出:“一個(gè)直角邊邊長為1的等腰直角三角形，它的斜邊是多少呢?”在沒有無理數(shù)概念的當(dāng)時(shí)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派不能給出一個(gè)合理的解釋

10、。因?yàn)榘凑展垂啥ɡ?這個(gè)直角三角形斜邊長 L 2=12+12=2，而12=1,22=4, L顯然不是一個(gè)整數(shù)。若L能歸結(jié)為整數(shù)之比(m,n互素，m,n中至少有一個(gè)是奇數(shù))，則有=l2+l2=2，得n2=2m2 ,m為偶數(shù)，將m=2k代人，得n2=8k2，則n也為偶數(shù)，這與m,n中至少有一個(gè)是奇數(shù)矛盾。因此長度不能歸結(jié)為整數(shù)之比，然而在現(xiàn)實(shí)中直角邊邊長為1的等腰直角三角形確實(shí)是存在，這個(gè)矛盾，否定了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬物皆數(shù)的信條。這個(gè)發(fā)現(xiàn)對古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)產(chǎn)生了極大沖擊，它表明了幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示，這引發(fā)了數(shù)學(xué)史上第一次危機(jī)。整數(shù)的尊崇地位受到了挑戰(zhàn)，幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占據(jù)特殊

11、地位，并由此建立了幾何學(xué)體系。3.2 一經(jīng)典悖論引發(fā)第三次數(shù)學(xué)危機(jī)19世紀(jì)末，德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立集合論，時(shí)至今日，集合論的基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域之中，可以說是整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。分析的嚴(yán)格化和集合論的創(chuàng)立，曾一度使數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)大為放心，直至集合論中一系列悖論的發(fā)現(xiàn)，其中最著名的是羅素的理發(fā)師悖論:一個(gè)村莊的理發(fā)師宣稱他只給不自己理發(fā)的人理發(fā)，那么他應(yīng)不應(yīng)該給自己理發(fā)呢?這個(gè)悖論曾使得整個(gè)數(shù)學(xué)大廈動(dòng)搖，引發(fā)了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，直至1931年奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾證明了“哥德爾不完全性定理”，危機(jī)才逐步淡化。然而，這次危機(jī)引起了哲學(xué)家、邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家的共同關(guān)注，這使得用數(shù)學(xué)方法研究邏輯

12、以及用邏輯方法研究數(shù)學(xué)成為了20世紀(jì)數(shù)學(xué)科學(xué)的一個(gè)發(fā)展方向，形成了數(shù)理邏輯學(xué)、數(shù)學(xué)哲學(xué)等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面的現(xiàn)代學(xué)科。3.3 對猜想的絕妙否定和反例探索先通過不完全歸納法得出猜想，然后證明猜想，是建立數(shù)學(xué)理論體系的重要方法，然而，數(shù)學(xué)史上也有許多重要猜想沒能逃出“天敵”的捕殺，被反例所否定。例如，1640年數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬歸結(jié)n=1、2、3、4的情形提出了著名的費(fèi)爾馬猜想:對于自然數(shù)n，形如+1的數(shù)Fn都是質(zhì)數(shù)。然而，在1732這一年，著名數(shù)學(xué)家歐拉舉出了反例: n =5 ,F5=+1 =4294967297= 641 ×6700417，宣稱了費(fèi)爾馬猜想的不正確性。又如“梅森素?cái)?shù)”,1644年

13、，法國修道士烏林·梅森在他的物理數(shù)學(xué)隨感一書中斷言:形如MP =2p -1的數(shù)在p =2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257時(shí)，都是素?cái)?shù)。前面7個(gè)數(shù)先后被證實(shí)，后來歐拉又證實(shí)了p=31的情況，后面3個(gè)由于工作量太大長期無人去驗(yàn)證，近200年來人們對這一斷言深信不疑。然而，在1903年一次學(xué)術(shù)報(bào)告上，美國數(shù)學(xué)家科爾走上講臺，一言未發(fā)，在黑板上寫下:267-1 =147573952589676412927，接著又算出193707721×761838257287的值，最后在兩式之間畫上等號。科爾剛放下粉筆，安靜的會(huì)場就爆發(fā)出了雷鳴般的掌聲，因?yàn)檫@標(biāo)志著梅森的

14、斷言不正確，打破了長達(dá)近200年的盲目信任。反例的魅力與說服力在這里充分體現(xiàn)，對于現(xiàn)在還未被證明的一些數(shù)學(xué)猜想，人們在試圖證明它的同時(shí)，也在不斷探尋能否找到反例來否定它，如考拉茲猜想:對于每一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，對它乘3再加1，如果它是偶數(shù)，對它除以2，如此循環(huán)，最終都能得到1。目前，人們已驗(yàn)證到20×258都成立，如此艱辛地驗(yàn)證，人們并不是想要證明它的正確性，而是在試圖找到一個(gè)反例來推翻它，去否定結(jié)論。四 構(gòu)造反例的幾種方法74.1應(yīng)用特殊例子構(gòu)造它是通過積累一些極端情況與典型反例來構(gòu)造所需的反例.極端情況如分式的分母為零,三角形中的直角三角形、等腰三角形,兩直線平行或相互垂直

15、等;典型反例如處處不連續(xù)的狄里克雷函數(shù)等.有了這些特例,必要時(shí)靈活地湊合,就可構(gòu)造出所需的反例. 例4-1由ABC的BC邊中點(diǎn)D向AB,AC引垂線，如果兩垂足連線被中線AD平分，ABC為等腰三角形. 如圖4-1，作非等腰RtABC，依題設(shè)，四邊形AEDF為矩形，故有AD平分EF.此例結(jié)論是否定的.如圖4-1，作非等腰RtABC，依題設(shè)四邊形AEDF為矩形，故有AD平分EF.4.2用性質(zhì)構(gòu)造用性質(zhì)構(gòu)造是根據(jù)反例本身的性質(zhì)與特點(diǎn),按一定的技巧進(jìn)行反例的構(gòu)造.康托曾構(gòu)造出一個(gè)連續(xù)單調(diào)函數(shù),其導(dǎo)數(shù)幾乎處處為零的例子,即康托函數(shù).這種構(gòu)造的函數(shù)看起來人為因素強(qiáng),卻符合數(shù)學(xué)現(xiàn)成的理論與規(guī)律.例4-2周長與

16、面積相等的兩個(gè)三角形全等.構(gòu)造該題的反例僅取特殊情況還不夠，還要依據(jù)三角形的性質(zhì).從等面積出發(fā)，設(shè)兩等腰三角形ABC與ABC的底邊分別為a與2a，腰上的高分別為2h與h.則兩三角形的腰長分別為 與 依據(jù)等周長得出等式: = 2a + 2求得 ,兩三角形腰長分別為與.給a一個(gè)確定的值，可以得到一個(gè)反例. 4.3逼近構(gòu)造法它是指通過分析命題,找到反例所在范圍,然后將范圍逐漸縮小逼近目標(biāo),最后構(gòu)造出所要反例.例4-3設(shè)r、R、H分別為ABC的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和最長的高,是否必有r+RH.取等腰ABC,設(shè)頂角為a,當(dāng)a（如圖4-3）時(shí),H為底邊上的高AD,隨著a變小,H變長,r、R同在H上，有r

17、+R=H.當(dāng)a>時(shí),H為腰上的高(如圖4-4),且有R=H/（2cos.sin），當(dāng)時(shí).故可在該范圍內(nèi)構(gòu)造反例：，r+R>R=>H.4.4直接觀查構(gòu)造法它是指聯(lián)系問題的幾何意義,借助直觀圖形,構(gòu)造反例.例4-4 “已知、分別是、的最小正周期，則、的最小公倍數(shù)是+的最小正周期”。該命題是否成立？這命題是不成立的。我們可以設(shè)法作出在周期內(nèi)的圖象(如圖4-5)，以及在周期內(nèi)的圖象(如圖4-6)，容易看出+的最小正周期并不是，而是(如圖4-7），得出一個(gè)反例，則該命題不成立。4.5相互比較互較構(gòu)造后部分加微信Sz1314520fj獲取此類構(gòu)造從兩個(gè)不同角度看,有兩種不同形式.其一是根

18、據(jù)已知反例的特點(diǎn)與思維方法,在新的范圍內(nèi)構(gòu)造出類似的反例.如魏爾斯特拉斯用級數(shù)的方法構(gòu)造出一個(gè)無處可微的連續(xù)函數(shù),此法被廣泛應(yīng)用,構(gòu)造出許多無處可微的連續(xù)函數(shù).參考文獻(xiàn)1B·R·蓋爾鮑姆,J·M·H·奧姆斯特德著.1980.分析中的反例.上?？萍汲霭嫔?M.克萊因著.1970.古今數(shù)學(xué)思想.北大數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組譯.上海科技出版社3郭要紅.2003.反例的來源與潛在功能.數(shù)學(xué)教學(xué)4郭天印. 2003.教育科學(xué)研究. 教育科學(xué)研究,2期 5羅增儒.2003.學(xué)解題引論.西安,陜西師范大學(xué)出版社.32-356李文銘.2003.初等幾何教學(xué)研究.西安:數(shù)學(xué)史陜西師范大學(xué)出版社7毛鄂涴.1999.反例及其幾種構(gòu)造方法，武漢教育學(xué)報(bào)8王榮槐.1999.論文寫作與編輯出版.武漢,華中師范大學(xué)出版社9嚴(yán)鎮(zhèn)軍,陳吉范.1989.從反面考慮問題.合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社10人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.2004.全日制普通高級中學(xué)教科書（必修）.北京,人民教育出版社.48-4911王知人.2000.淺談反例的教學(xué)功能.教學(xué)研究,23卷12解恩澤，徐本順.1989.數(shù)學(xué)思想方法.山東教育出版社致謝大學(xué)生活一晃而過，回首走過的歲月，心中倍感充實(shí)，當(dāng)我寫完這篇畢業(yè)論文的時(shí)候，有一種如釋重負(fù)的感覺，感慨良