數(shù)理統(tǒng)計方法分享課件

1、 對隨機現(xiàn)象進行觀測、試驗，對隨機現(xiàn)象進行觀測、試驗， 以取得有代表性的觀測值以取得有代表性的觀測值 對已取得的觀測值進行整理、對已取得的觀測值進行整理、 分析分析, ,作出推斷、決策作出推斷、決策, ,從而從而 找出所研究的對象的規(guī)律性找出所研究的對象的規(guī)律性數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計計的的分分類類描述統(tǒng)計學描述統(tǒng)計學推斷統(tǒng)計學推斷統(tǒng)計學第八章第八章 數(shù)理統(tǒng)計方法數(shù)理統(tǒng)計方法參數(shù)估計參數(shù)估計假設檢驗假設檢驗回歸分析回歸分析方差分析方差分析 推斷 統(tǒng)計學總體和樣本總體和樣本總體與個體總體與個體 總體總體或或母體母體指我們研究對象的指我們研究對象的全體構成的集合全體構成的集合，個體個體指總體中包含的指總體中

2、包含的每個成員每個成員 我們研究總體時，所關心的往往是總體某方我們研究總體時，所關心的往往是總體某方面的面的特性特性，這些特性又常常可以用一個或多個數(shù)，這些特性又常?？梢杂靡粋€或多個數(shù)量指標來反映量指標來反映 例如，在研究某廠生產(chǎn)的燈泡的質(zhì)量時，關例如，在研究某廠生產(chǎn)的燈泡的質(zhì)量時，關心的可能是這些燈泡的壽命和光亮度等心的可能是這些燈泡的壽命和光亮度等 總體指一個或多個數(shù)量指標，我們可以用一總體指一個或多個數(shù)量指標，我們可以用一個或多個隨機變量來表示它們個或多個隨機變量來表示它們總體總體指標值全集指標值全集指標指標隨機變量隨機變量把總體與某個隨機變量的可能取值的集合等同，把總體分布與某個隨機變

3、量的分布等同，把對總體的研究轉化為對某個隨機變量規(guī)律的研究。 數(shù)理統(tǒng)計中提到的總體，是指分布未知或數(shù)理統(tǒng)計中提到的總體，是指分布未知或者分布類型已知但至少某些參數(shù)未知的隨機變者分布類型已知但至少某些參數(shù)未知的隨機變量，常用量，常用X X，Y Y，Z Z等表示。等表示。 因此，總體可以是一維隨機變量，也可以是多因此，總體可以是一維隨機變量，也可以是多維隨機變量維隨機變量 例如，在研究某廠生產(chǎn)的燈泡的質(zhì)量時，可以例如，在研究某廠生產(chǎn)的燈泡的質(zhì)量時，可以分別用分別用X，Y表示燈泡的表示燈泡的壽命壽命和和光亮度光亮度，那么，對，那么，對上面兩個問題的研究就上面兩個問題的研究就轉化轉化為對為對總體總體(

4、X，Y)的研的研究了究了 2 2 樣本與抽樣樣本與抽樣 實際應用中，為了研究總體的特性，總是從實際應用中，為了研究總體的特性，總是從總體中抽出部分個體進行觀察和試驗，根據(jù)觀察總體中抽出部分個體進行觀察和試驗，根據(jù)觀察或試驗得到的數(shù)據(jù)推斷總體的性質(zhì)或試驗得到的數(shù)據(jù)推斷總體的性質(zhì)我們把從總體中抽出的部分個體稱為我們把從總體中抽出的部分個體稱為樣本樣本，把樣本中包含個體的數(shù)量稱為把樣本中包含個體的數(shù)量稱為樣本容量樣本容量，把對樣本的觀察或試驗的過程稱為把對樣本的觀察或試驗的過程稱為抽樣抽樣，把觀察或試驗得到的數(shù)據(jù)稱為把觀察或試驗得到的數(shù)據(jù)稱為樣本觀測值樣本觀測值（觀測（觀測數(shù)據(jù)），簡稱數(shù)據(jù)），簡稱樣

5、本值樣本值 在應用中，我們從總體中抽出的個體必須具有代在應用中，我們從總體中抽出的個體必須具有代表性，樣本中個體之間要具有相互獨立性，為保證表性，樣本中個體之間要具有相互獨立性，為保證這兩點，一般采用簡單隨機抽樣這兩點，一般采用簡單隨機抽樣 定義定義 一種抽樣方法若滿足下面兩點，稱其為一種抽樣方法若滿足下面兩點，稱其為簡單簡單隨機抽樣隨機抽樣： (1) 總體中每個個體被抽到的機會是均等的；總體中每個個體被抽到的機會是均等的； (2) 樣本中的個體相互獨立樣本中的個體相互獨立 由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本簡單隨機樣本 如果沒有特殊說明如果沒有特殊說明,以后

6、所說樣本均指簡單隨機樣以后所說樣本均指簡單隨機樣本本總總 體體 X樣本樣本X1,X2,Xn樣本值樣本值x1,x2,xn隨機抽樣隨機抽樣 獲得樣本獲得樣本完成試驗完成試驗 獲得數(shù)據(jù)獲得數(shù)據(jù)整理加工整理加工 統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷統(tǒng)計統(tǒng)計 工作工作3 統(tǒng)計量與抽樣分布統(tǒng)計量與抽樣分布 在利用樣本推斷總體的性質(zhì)時，往往不能直接在利用樣本推斷總體的性質(zhì)時，往往不能直接利用樣本，而需要對它進行一定的加工，這樣才利用樣本，而需要對它進行一定的加工，這樣才能有效地利用其中的信息，否則，樣本只是呈現(xiàn)能有效地利用其中的信息，否則，樣本只是呈現(xiàn)為一堆為一堆“雜亂無章雜亂無章”的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)一、基本概念1. 統(tǒng)計量的定義統(tǒng)

7、計量的定義.),( ,),(,21212121計計量量是是一一個個統(tǒng)統(tǒng)則則稱稱不不含含未未知知參參數(shù)數(shù)中中若若的的函函數(shù)數(shù)是是的的一一個個樣樣本本是是來來自自總總體體設設nnnnXXXggXXXXXXgXXXX.),(),(,21212121的的觀觀察察值值是是則則稱稱的的樣樣本本值值是是相相應應于于樣樣本本設設nnnnXXXgxxxgXXXxxx1. 表示位置的統(tǒng)計量表示位置的統(tǒng)計量 設設X1，X2，Xn為總體為總體X的樣本，的樣本，x1，x2，.，xn為樣本觀測值，為樣本觀測值， (1) 樣本均值樣本均值 常用來作為常用來作為總體期望總體期望（均值）的估計量，（均值）的估計量，其觀測值為其

8、觀測值為 niiXnX11 niixnx11(2)(2)中位數(shù)中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按大小順序排序后處于中間位置的數(shù)。把一組數(shù)據(jù)按大小順序排序后處于中間位置的數(shù)。(3)(3)分位數(shù)分位數(shù) 設設X為一隨機變量，我們知道對于給定的實數(shù)為一隨機變量，我們知道對于給定的實數(shù)x，PX x是事件是事件X x的概率在統(tǒng)計中，我們常的概率在統(tǒng)計中，我們常常需要對給定事件常需要對給定事件X x的概率，由此確定的的概率，由此確定的x取是取是一個臨界點一個臨界點,稱為分位數(shù)稱為分位數(shù)(點點),有如下定義：有如下定義： 定義定義 設設X為隨機變量，若對給定的為隨機變量，若對給定的 (0，1)，存在存在x 滿足滿足 PX x

9、 = ，則稱則稱x 為為X的的上上 分位數(shù)分位數(shù)(點點)1方差、標準差與變異系數(shù)方差、標準差與變異系數(shù) 、極差極差1)(122nxxsnii1/)(12nxxsnixsxsCV/%100/1nCVss,22樣本方差、標準差與變樣本方差、標準差與變異系數(shù)為總體方差、標異系數(shù)為總體方差、標準差、變異系數(shù)的相合準差、變異系數(shù)的相合估計估計方差方差均方差均方差變異系數(shù)變異系數(shù) 時，有時，有 2 2 表示分散性的數(shù)字特征表示分散性的數(shù)字特征標準差標準差(方差方差)越越大大,表示觀察值表示觀察值分布越分散；反分布越分散；反之分布越集中之分布越集中. 刻劃數(shù)刻劃數(shù)據(jù)據(jù)相對相對分散分散指指標標 )1()(xx

10、Rn極差極差 (1) 樣本樣本k階原點矩（簡稱樣本階原點矩（簡稱樣本k階矩）階矩） ，(k = 1，2，) (2) 樣本樣本k階中心矩階中心矩 ，(k = 2，3，)顯然顯然 nikikXnA11 nikikXXnB1)(1,1XA niiXXnB122)(13 3 表示分布形態(tài)的數(shù)字特征表示分布形態(tài)的數(shù)字特征 （3 3）偏度）偏度 (skewness)(skewness)注注意意奇數(shù)奇數(shù)階中階中心距心距頻數(shù)頻數(shù)頻數(shù)頻數(shù)其中其中s樣本標準差樣本標準差. 分布對稱；分布對稱； 稱正偏度稱正偏度(右偏態(tài)右偏態(tài)) 均值右邊數(shù)據(jù)更分散；均值右邊數(shù)據(jù)更分散； 負偏度，均值左邊的數(shù)據(jù)更分散負偏度，均值左邊

11、的數(shù)據(jù)更分散.01g01g01g4峰度峰度) 3)(2() 1( 3)() 3)(2)(1() 1(2142nnnsxxnnnnngnii 1.正峰值表示數(shù)據(jù)中含有較多遠離均值的極端數(shù)值，相對尖銳正峰值表示數(shù)據(jù)中含有較多遠離均值的極端數(shù)值，相對尖銳的分布的分布,尾部粗尾部粗2.負峰表示兩側的極端數(shù)值比較少，數(shù)據(jù)大部分負峰表示兩側的極端數(shù)值比較少，數(shù)據(jù)大部分在均值周圍，相對平坦在均值周圍，相對平坦,尾部細尾部細 尖峰粗尾02g 平峰細尾02g反映與正態(tài)分布相比反映與正態(tài)分布相比某一分布的尖銳或平某一分布的尖銳或平坦度坦度. .極端數(shù)值少細尾，平峰極端數(shù)值分布廣粗尾，尖峰，接近正態(tài)分布,0,002

12、22ggg理論根據(jù)理論根據(jù): :樣本矩樣本矩( (的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)) )依概率收斂于總依概率收斂于總 體矩體矩( (的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)).).k,.,21),.,;(21kxF矩估計法矩估計法: :用樣本矩用樣本矩( (函數(shù)函數(shù)) )來估計總體矩來估計總體矩( (函數(shù)函數(shù)).).8.2 參數(shù)估計法參數(shù)估計法- 矩估計法矩估計法 設總體設總體X X的前的前k k階矩階矩1212( ;,.,)()(),( ;,.,)()Xlklllkx Rx f xdxE Xx p x 連續(xù)型離散型11nlliiAXn.,.2 , 1kl 矩估計法就是矩估計法就是: : 令令總體的前總體的前k k階矩分別與

13、樣本的階矩分別與樣本的 對應階矩相等對應階矩相等, ,即即 矩估計法矩估計法 ,2211kkAAAk,.,21k,21k,.,211. 矩估計法矩估計法 ., 0,221222的矩估計量的矩估計量和和求求一個樣本一個樣本是是又設又設均為未知均為未知和和但但且有且有都存在都存在和方差和方差的均值的均值設總體設總體 nXXXX 解解)(1XE , )(22XE ,22 2)()(XEXD .,2221AA 令令解方程組得到矩估計量分別為解方程組得到矩估計量分別為,1XA 2122AA niiXXn1221.)(112 niiXXn例例1. 矩估計法矩估計法 上例表明上例表明: 總體均值與方差的矩估

14、計量的表達式不因不總體均值與方差的矩估計量的表達式不因不同的總體分布而異同的總體分布而異.的的矩矩估估計計量量即即得得未未知知例例222, ,),( NX,X 2 .)(112 niiXXn一般地一般地,11的均值的矩估計的均值的矩估計作為總體作為總體用樣本均值用樣本均值XXnXnii .)(1212的的方方差差的的矩矩估估計計作作為為總總體體用用樣樣本本二二階階中中心心矩矩XXXnBnii 1. 矩估計法矩估計法 一般說，事件一般說，事件A A發(fā)生的概率與參數(shù)發(fā)生的概率與參數(shù)有關，有關， 取值不同，則取值不同，則P(A)P(A)也不同。因而應記也不同。因而應記事件事件A A發(fā)生的發(fā)生的概率為

15、概率為P(A|P(A| ). ).若若A A發(fā)生了，則認為此時的發(fā)生了，則認為此時的 值應是值應是在在 中使中使P(A|P(A| ) ) 達到最大的那一個達到最大的那一個。這就是極大。這就是極大似然的思想似然的思想. .2. 最大似然估計最大似然估計 求最大似然估計量的步驟求最大似然估計量的步驟:; );();,()();();,()( )(121121 niinniinxfxxxLLxpxxxLL或或?qū)懗鏊迫缓瘮?shù)寫出似然函數(shù)一一; );(ln)(ln);(ln)(ln )(11 niiniixfLxpL或或取取對對數(shù)數(shù)二二最大似然估計法是由費舍爾引進的最大似然估計法是由費舍爾引進的.2. 最

16、大似然估計最大似然估計 ., 0d)(lnd,d)(lnd )( 的最大似然估計值的最大似然估計值解方程即得未知參數(shù)解方程即得未知參數(shù)并令并令求導求導對對三三 LL 最大似然估計法也適用于分布中含有多個最大似然估計法也適用于分布中含有多個未知參數(shù)的情況未知參數(shù)的情況. 此時只需令此時只需令., 2 , 1, 0lnkiLi .), 2 , 1( ,iikik 的最大似然估計值的最大似然估計值數(shù)數(shù)即可得各未知參即可得各未知參個方程組成的方程組個方程組成的方程組解出由解出由 對數(shù)似然方程組對數(shù)似然方程組對數(shù)似對數(shù)似然方程然方程2. 最大似然估計最大似然估計 .,),(22122的最大似然估計量的最

17、大似然估計量和和求求的一個樣本值的一個樣本值是來自是來自為未知參數(shù)為未知參數(shù)設總體設總體 XxxxNXn解解的的概概率率密密度度為為X,e21),;(222)(2 xxfX 的的似然函數(shù)為似然函數(shù)為,e21),(222)(12 ixniL例例2. 最大似然估計最大似然估計 ,)(21ln2)2ln(2),(ln12222 niixnnL , 0),(ln, 0),(ln222 LL令令,0112 niinx ,0)()(21212222 niixn 2. 最大似然估計最大似然估計 解得解得由由0112 niinx ,11xxnnii 解解得得由由0)()(21212222 niixn ,)(1

18、212xxnnii 為為的最大似然估計量分別的最大似然估計量分別和和故故2 ,X .)(1212XXnnii 它們與相應的矩它們與相應的矩估計量相同估計量相同.2. 最大似然估計最大似然估計 對于同一個參數(shù)對于同一個參數(shù), ,用不同方法求出的估計量可能用不同方法求出的估計量可能 不同不同. .那么那么, ,采用哪一個估計量為好呢采用哪一個估計量為好呢? ?用何種標準來用何種標準來 評判估計量的優(yōu)劣評判估計量的優(yōu)劣? ? 下面下面, ,介紹幾個常用標準介紹幾個常用標準. . 1 1、)(E 則稱則稱 為為 的的. . 稱為用稱為用 來估計來估計 的的. .因此因此, , . .( )E2 設設

19、都是參數(shù)都是參數(shù)的無偏估計，若的無偏估計，若則稱則稱 比比 有效有效 例如，設總體例如，設總體X的方差存在，的方差存在，X1, X2,Xn(n2)為總體為總體X的一個樣本，的一個樣本，易知易知 , 均為均為 的無偏估計的無偏估計,又有又有所以所以,當當n2時，最有效，時，最有效， 較較X1有效有效),.,(1111nXXX ),.,(1122nXXX )()(21 DD 1 2 X,211）（nXX 1X,)(2nXD ,22121 ）（nXXD21)( XDX）（nXX 121 3. 相合性相合性 總體參數(shù)總體參數(shù)的估計量是樣本的函數(shù)，的估計量是樣本的函數(shù)，隨著樣本容量的增加，其值應該越來越

20、接近真值隨著樣本容量的增加，其值應該越來越接近真值,于于是有：是有：定義定義7.4 設是參數(shù)設是參數(shù)的一個估計的一個估計量，若依概率收斂于量，若依概率收斂于，即對任意的，即對任意的 0，有，有則稱是參數(shù)則稱是參數(shù)的相合估計量，或者一致估計量的相合估計量，或者一致估計量 1|lim Pn),(21nXXX ),(21nXXX 4.4.區(qū)間估計區(qū)間估計 前面，我們討論了參數(shù)點估計前面，我們討論了參數(shù)點估計. 它它是用樣本算得的一個值去估計未知參數(shù)是用樣本算得的一個值去估計未知參數(shù). 但是，但是，點估計點估計值僅僅是未知參數(shù)的一個值僅僅是未知參數(shù)的一個近似值。近似值。它它沒有沒有反映出這個近似值的誤

21、差范圍，反映出這個近似值的誤差范圍，還有可信度還有可信度. 區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個缺陷區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個缺陷 .點估計缺點點估計缺點 定義定義 設設X1,X2,Xn為總體為總體X的一個樣的一個樣本本,為總體為總體X的未知參數(shù)的未知參數(shù),對給定的對給定的(0,1),如如果有兩個統(tǒng)計量果有兩個統(tǒng)計量 和和 滿足滿足 則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是的一個區(qū)間估計或置信的一個區(qū)間估計或置信區(qū)間，區(qū)間， 分別稱作置信分別稱作置信下限下限、置信、置信上限上限， 1 稱為稱為置信水平置信水平或或置信度置信度.區(qū)間估計區(qū)間估計),(2111nXXX ),(2122nXXX ,121 P21, ),

22、(21 【例】【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中抽取批燈泡中抽取16只，測得其壽命（單位：小時）如只，測得其壽命（單位：小時）如下所示：下所示：1510 1450 1480 1460 1520 1480 1490 14601480 1510 1530 1470 1500 1520 1510 1470求該燈泡平均使用壽命求該燈泡平均使用壽命90%、95%及及99%的置信區(qū)的置信區(qū)間間. 解：解：用用X表示燈泡的壽命，設表示燈泡的壽命，設XN( ， 2)，由于由于 2未知未知,用用 計算計算 的置信區(qū)間的置信區(qū)間其中其中n=16,正態(tài)總體均值

23、的區(qū)間估計正態(tài)總體均值的區(qū)間估計 )1(2ntnSX ,1490161161 iixx 33.613116116122 iixxsMatlab命令命令X=1510 1450 1480 1460 1520 1480 1490 14601480 1510 1530 1470 1500 1520 1510 1470;正態(tài)總體均值的區(qū)間估計正態(tài)總體均值的區(qū)間估計muhat,sigmahat,muci,sigmci=nomfit(x,0.05)Muhat返回正態(tài)總體均值的點估計，返回正態(tài)總體均值的點估計，sigmahat返返回正態(tài)總體標準差的點估計，回正態(tài)總體標準差的點估計，muci返回其均值的返回其均

24、值的區(qū)間估計，區(qū)間估計，sigmci返回其標準差的區(qū)間估計，返回其標準差的區(qū)間估計，x表表示數(shù)據(jù)，示數(shù)據(jù)，1-0.05是置信度，是置信度，0.05是顯著性水平是顯著性水平假設檢驗的思想方法是：假設檢驗的思想方法是： (1) 提出假設；提出假設； (2) 在假設成立的條件下構造一個小概率事件；在假設成立的條件下構造一個小概率事件； (3) 由樣本數(shù)據(jù)判斷小概率事件是否發(fā)生了，由樣本數(shù)據(jù)判斷小概率事件是否發(fā)生了，如果小概率事件發(fā)生了，根據(jù)如果小概率事件發(fā)生了，根據(jù)“小概率原理小概率原理”，作出否定原假設的推斷作出否定原假設的推斷假設檢驗的思想方法化工產(chǎn)品的化工產(chǎn)品的數(shù)量和質(zhì)量數(shù)量和質(zhì)量反應溫度反應

25、溫度壓力壓力原料成分原料成分原料劑量原料劑量溶液濃度溶液濃度操作水平操作水平反應時間反應時間機器設備機器設備一、單因素試驗方差分析法方差分析方差分析根據(jù)試驗的結果進行分析根據(jù)試驗的結果進行分析,鑒別鑒別各個有關因素對試驗結果的影響程度各個有關因素對試驗結果的影響程度.試驗指標試驗指標試驗中要考察的指標試驗中要考察的指標.因素因素影響試驗指標的條件影響試驗指標的條件.因素因素可可 控控 因因 素素 不可控因素不可控因素水平水平因素所處的狀態(tài)因素所處的狀態(tài).單因素試驗單因素試驗在一項試驗中只有一個因素改變在一項試驗中只有一個因素改變.多因素試驗多因素試驗在一項試驗中有多個因素在改變在一項試驗中有多

26、個因素在改變.例例1設有三臺機器設有三臺機器, ,用來生產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄用來生產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄板板.取樣取樣,測量薄板的厚度精確至千分之一厘米測量薄板的厚度精確至千分之一厘米.得結得結果如下表所示果如下表所示.表表9.1鋁合金板的厚度鋁合金板的厚度機器機器機器機器機器機器0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.2610.2580.2640.2590.2670.262試驗指標試驗指標: 薄板的厚度薄板的厚度因素因素: 機器機器水平水平: 不同的三臺機器是因素的三個不同的水平不同的三臺機器是因素的三個不同的水平假定除機器這一因素外假定除

27、機器這一因素外, 其他條件相同其他條件相同, 屬于屬于單因素試驗單因素試驗.試驗目的試驗目的: 考察各臺機器所生產(chǎn)的薄板的厚度考察各臺機器所生產(chǎn)的薄板的厚度有無顯著的差異有無顯著的差異. 即考察機器這一因素對厚度有無即考察機器這一因素對厚度有無顯著的影響顯著的影響. 在每一個水平下進行獨立試驗在每一個水平下進行獨立試驗,結果是一結果是一個隨機變量個隨機變量.例例1表表9.1鋁合金板的厚度鋁合金板的厚度機器機器機器機器機器機器0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.2610.2580.2640.2590.2670.262問題分析問題分析將數(shù)據(jù)

28、看成是來自三個總體的樣本值將數(shù)據(jù)看成是來自三個總體的樣本值.,321 設總體均值分別為設總體均值分別為.,:,:32113210不全相等不全相等 HH 檢驗假設檢驗假設.,:,:32113210不全相等不全相等 HH 檢驗假設檢驗假設進一步假設各總體均為正態(tài)變量進一步假設各總體均為正態(tài)變量,且各總體的且各總體的方差相等方差相等,但參數(shù)均未知但參數(shù)均未知.問題問題檢驗同方差的多個正態(tài)總體均檢驗同方差的多個正態(tài)總體均值是否相等值是否相等.解決方法解決方法方差分析法方差分析法,一種統(tǒng)計方法一種統(tǒng)計方法. 數(shù)學模型數(shù)學模型 jAAAAsAjs(,21在在水水平平個個水水平平有有設設因因素素得得到到如如

29、下下表表次次獨獨立立試試驗驗進進行行下下,)2(,), 2 , 1 jjnns.的結果的結果表表觀察結果觀察結果水平水平樣本總和樣本總和樣本均值樣本均值總體均值總體均值1A2AsA11X21X11nX12X22X22nXsX1sX2snsX1 T2 TsT 1 X2 XsX 1 2 s 假設假設;),(), 2, 1(,), 2 , 1(. 1 22221均均未未知知與與的的正正態(tài)態(tài)總總體體均均值值分分別別為為來來自自具具有有相相同同方方差差下下的的樣樣本本各各個個水水平平 jjjjnjjjNsjXXXsjAj . 2下下的的樣樣本本之之間間相相互互獨獨立立不不同同水水平平jA),(2 jij

30、NX 因為因為)., 0(2 NXjij所所以以 可可寫寫成成那那么么表表示示隨隨機機誤誤差差記記ijijjijXX, 均未知均未知與與獨立獨立各各., 2, 1, 2, 1 , ), 0( ,22 jjijijijjijsjniNX單因素試驗方差分析的數(shù)學模型單因素試驗方差分析的數(shù)學模型需要解決的問題需要解決的問題.,:,:211210不全相等不全相等ssHH 1.檢驗假設檢驗假設.,. 2221 s估計未知參數(shù)估計未知參數(shù)數(shù)學模型的等價形式數(shù)學模型的等價形式.1,11 sjjjsjjnnnn 記記總平均總平均., 2 , 1,sjjj . 02211 ssnnn .,平均的差異平均的差異平

31、均值與總平均值與總下的總體下的總體表示水平表示水平應應的效的效水平水平jjAA 獨立獨立各各 . 0, 2, 1, 2, 1 , ), 0( ,12sjjjjijijijjijnsjniNX 均未知均未知與與獨立獨立各各., 2, 1, 2, 1 , ), 0( ,22 jjijijijjijsjniNX原數(shù)學模型原數(shù)學模型改寫為改寫為.,:,:211210不全相等不全相等ssHH 檢驗假設檢驗假設等價于等價于檢驗假設檢驗假設.,:, 0:211210不全為零不全為零ssHH sjniijjXnX111數(shù)據(jù)的總平均數(shù)據(jù)的總平均 sjniijTjXXS112)(總偏差平方和總偏差平方和（總變差總

32、變差） jniijjjXnX11下的樣本平均值下的樣本平均值水平水平jA二、平方和的分解 sjniijTjXXS112)( sjnijjijjXXXX112)()( sjnijsjnijijjjXXXX112112)()( sjnijjijjXXXX11)(20 sjnijsjnijijTjjXXXXS112112)()(AESS sjnijijEjXXS112)(誤差平方和誤差平方和 sjjjsjnijAXXnXXSj12112)()(212XnXnsjjj 效應平方和效應平方和),(),1(/,22220snSsSHEA為真時,0為真時為真時所以所以 H)., 1()()1(22snsFs

33、nSsSEA )()1(snSsSEA 檢驗假設檢驗假設.,:, 0:211210不全為零不全為零ssHH )., 1()()1(snsFsnSsSFEA 拒絕域為拒絕域為,獨立獨立與與EASS單因素試驗方差分析表單因素試驗方差分析表方差來源方差來源因素因素A誤差誤差總和總和平方和平方和自由度自由度 均方均方F比比ASESTS1 ssn 1 n1 sSSAAsnSSEE EASSF , 1,111 sjniijniijjjjXTsjXT記記,2112nTXSsjniijTj .ATESSS ,212nTnTSsjjjA 所以對給定顯著性水平所以對給定顯著性水平 (0, 1)，H0的拒絕的拒絕域

34、為：域為：計算得到計算得到F的觀測值為的觀測值為F0, 當當F0落入拒絕域時拒落入拒絕域時拒絕原假設絕原假設H0, 可以認為因素可以認為因素A對響應變量有顯著對響應變量有顯著影響；否則不能拒絕影響；否則不能拒絕H0，認為因素，認為因素A對響應變對響應變量無顯著影響量無顯著影響), 1()() 1(snsFsnSsSFeA10.2.3 方差分析的方法方差分析的方法例設有三臺機器例設有三臺機器,用來生產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄用來生產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄板板.取樣取樣,測量薄板的厚度精確至千分之一厘米測量薄板的厚度精確至千分之一厘米.得結得結果如下表所示果如下表所示.表表9.1鋁合金板的厚度鋁合金板的厚度

35、機器機器機器機器機器機器0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.2610.2580.2640.2590.2670.262.,: ,: ,05. 032113210不全相等不全相等檢驗假設檢驗假設取取 HH 解解,15, 5, 3321 nnnns.192000. 0,33053001. 0,33245001. 0 EATSSS方差分析表方差分析表方差來源方差來源因素因素A誤差誤差總和總和平方和平方和自由度自由度均方均方F比比0.0010533332.920.000526670.000016212140.0001920.00124533.89

36、. 3)12, 2(92.3205. 0 FF.05. 00H下拒絕下拒絕在水平在水平各機器生產(chǎn)的薄板厚度有顯著差異各機器生產(chǎn)的薄板厚度有顯著差異.在在MATLAB中的求解中的求解函數(shù)函數(shù):anova1格式格式:p=anova1(x)說明說明:對樣本對樣本X中的多列數(shù)據(jù)進行單因素方差分析中的多列數(shù)據(jù)進行單因素方差分析,比較各列的均值比較各列的均值,返回返回“零假設零假設”成立的概率值成立的概率值,如果如果概率值接近于零概率值接近于零,則零假設值得懷疑則零假設值得懷疑,表明各列的均表明各列的均值事實上是不同的值事實上是不同的.源程序源程序: x=0.236,0.238,0.248,0.245,0.243; 0.257,0.253,0.255,0.254,0.261; 0.258,0.264,0.259,0.267,0.262;p=anova1(x)程序運行結果程序運行結果 前面我們學習了隨機變量的數(shù)學期望前面我們學習了隨機變量的數(shù)學期望和方差，對于多維隨機變量，除了其數(shù)學和方差，對于多維隨機變量，除了其數(shù)學期望和方差外，我們還要研究反映各分量期望和方差外，我們還要研究反映各分量之間關系的數(shù)字特征，其中最重要的，就之間關系的數(shù)字特征，其中最重要的，就是現(xiàn)在要討論的是現(xiàn)在要討論的協(xié)方差和相關系數(shù)協(xié)方差和相關系數(shù)引引 言言 這里有兩個變量，一