第三章 點(diǎn)線面的投影

1、第三章 點(diǎn)、線、面的投影3-1 點(diǎn)的投影 點(diǎn)是構(gòu)成立體表面最基本的幾何要素。為了正確地畫出物體的三視圖，必須首先掌握點(diǎn)的投影規(guī)律。返回返回O點(diǎn)點(diǎn)A A的水平投影的水平投影 a 點(diǎn)點(diǎn)A A的正面投影的正面投影 a 點(diǎn)點(diǎn)A A的側(cè)面投影的側(cè)面投影 a Ha aa VWXOZYWYHaaaA 一、點(diǎn)的三面投影ayHaxazaxwazaxay點(diǎn)的投影規(guī)律點(diǎn)的投影規(guī)律返回返回二、點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo) 1、 aaz = aay =Aa = xA 2、 aax = aaz =Aa =yA 3、 aax =aay = Aa=zA VXZYWOayaxazxyzaaaAa a a151710例題一：已知點(diǎn)A（17

2、，10，15），求A點(diǎn)的三面投影。ZXYWYHOa例題二：例題二： 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A A的正面與側(cè)的正面與側(cè)面投影，求面投影，求水平投影。水平投影。三、兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的左、右左、右位置，由X坐標(biāo)差確定，X坐標(biāo)值大者在左 ；兩點(diǎn)的前、后前、后位置，由Y坐標(biāo)差確定，Y坐標(biāo)值大者在前 ；兩點(diǎn)的上、下上、下位置，由Z坐標(biāo)差確定，Z坐標(biāo)值大者在上。 例題一：判斷A、B兩點(diǎn)的相對(duì)位置。兩點(diǎn)中兩點(diǎn)中x值大的點(diǎn)值大的點(diǎn) B B 在左；在左；兩點(diǎn)中兩點(diǎn)中y 值大的點(diǎn)值大的點(diǎn) A A 在前；在前； 兩點(diǎn)中兩點(diǎn)中z 值大的點(diǎn)值大的點(diǎn) A A 在上。在上。a a ab b bBAa a a985例題二：例題二： 已

3、知已知點(diǎn)點(diǎn)A A在點(diǎn)在點(diǎn)B B之前之前5 5毫毫米，之上米，之上9 9毫米，毫米，之右之右8 8毫毫米，求點(diǎn)米，求點(diǎn)A A的投影。的投影。各種位置點(diǎn)的投影各種位置點(diǎn)的投影返回返回返回返回 直線是構(gòu)成立體表面的基本要素之一，掌握直線的投影規(guī)律是學(xué)習(xí)立體投影的基礎(chǔ)。3-2 3-2 直線的投影直線的投影一、直線的三面投影 1）直線的投影一般仍為直線。 2）線的投影可由直線上兩點(diǎn)的同面投影（即同一投影面上的投影）來確定。因空間一直線可由直線上的兩點(diǎn)來確定，所以直線的投影也可由直線上任意兩點(diǎn)的投影來確定。返回返回二、直線上點(diǎn)的投影 直線上的點(diǎn)的投影具有以下特性： 1）點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的投影必在該直線的同

4、面投影上，且符合點(diǎn)的投影規(guī)律。反之，如果點(diǎn)的各投影均在直線的各同面投影上，且符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則點(diǎn)必在該直線上 。 2) 直線上的點(diǎn)分割直線之比與其投影分割直線投影之比保持不變。 cacX XabcY YY YbO OaZ ZbcAH HacaV VbBabcCbW W例例1：判斷點(diǎn)：判斷點(diǎn)C是否在線段是否在線段AB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b c aa b c bc不在不在應(yīng)用定比定理應(yīng)用定比定理另一判斷法另一判斷法?cc 例例2 2：已知線段：已知線段ABAB的投影圖，試將的投影圖，試將ABAB分成分成2 21 1兩段，兩段， 求分點(diǎn)求分點(diǎn)C C的投影的投

5、影c c、c c 。例例3 3：已知點(diǎn)：已知點(diǎn)C C在線段在線段ABAB上，求點(diǎn)上，求點(diǎn)C C 的正面投影。的正面投影。cccabc返回返回三、各種位置直線的投影1、投影面平行線、投影面平行線2、投影面垂直線、投影面垂直線 3、一般位置直線、一般位置直線1、投影面平行線 （1）水平線aababb Xa b ab baOzYHYWAB投影特性：1、ab OX ; ab OYW； 2、 ab=AB； 3、反映、 角的真實(shí)大小。（2）正平線aababbXabab baOZYHYWAB 投影特性： 1 ab OX ; a b OZ； 2 a b=AB； 3 反映、角的真實(shí)大小。aa b a bbAB投

6、影特性： 1、 ab OZ ; ab OYH； 2、 ab =AB； 3、反映 、 角的真實(shí)大小。XZa b bbaOYHYWa（3）側(cè)平線b a(b)a abZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：1、 a b 積聚 成一點(diǎn)； 2、 a bOX ; a b OYW ； 3、 a b = a b = AB。AB（1 1）鉛垂線）鉛垂線2 2、投影面垂直線、投影面垂直線bababa投影特性： 1、 ab 積聚 成一點(diǎn)； 2、 ab OX ; ab OZ； 3、 ab = ab =AB。ABzXab baOYHYWab（2）正垂線投影特性： 1、 ab 積聚 成一點(diǎn)； 2、 ab OYH ;

7、ab OZ； 3、 ab = ab =AB。ABbaababZXabbaOYHYWab（3）側(cè)垂線ABbbabaaZXabaOYYabb投影特性：1、 a b、 ab、a b均小于實(shí)長(zhǎng)； 2、a b、ab、a b均傾斜于投影軸； 3、不反映 、 、 實(shí)角。3、一般位置直線四、兩直線的相對(duì)位置1、兩直線平行、兩直線平行2、兩直線相交、兩直線相交3、兩直線交叉、兩直線交叉 空間兩直線的相對(duì)位置有三種：平行、相交和交叉。 1、若空間兩直線相互平行，則它們的同名投影必然相互平行。反之，、若空間兩直線相互平行，則它們的同名投影必然相互平行。反之，如果兩直線的各個(gè)同名投影相互平行，則此兩直線在空間也一定相

8、互平行。如果兩直線的各個(gè)同名投影相互平行，則此兩直線在空間也一定相互平行。 2、平行兩線段之比等于其投影之比。、平行兩線段之比等于其投影之比。baadbbccXbaabdcdc1、兩直線平行 空間相交的兩直線，它們的同面投影也一定相交，交點(diǎn)為兩直線的共有空間相交的兩直線，它們的同面投影也一定相交，交點(diǎn)為兩直線的共有點(diǎn)，且應(yīng)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。反之，如果兩直線的各組同面投影都相交，且點(diǎn)，且應(yīng)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。反之，如果兩直線的各組同面投影都相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則可判定這兩直線在空間也一定相交。交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則可判定這兩直線在空間也一定相交。bXaabkcddck2、兩直線相交3、

9、兩直線交叉 凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。 b Xa abc d dc11 (2 )2返回返回2-5 平面的投影返回返回一、平面的表示法 平面在投影圖上可由下列任何一組幾何要素的投影來表示。 1）不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)； 2）一直線和直線外一點(diǎn)； 3）相交兩直線； 4）平行兩直線； 5）平面圖形，如三角形、四邊形和圓等； 6）用跡線表示。 用（用（1）（5）幾何元素表示平面）幾何元素表示平面baacbcbaacbcaabcbcabcabcddPPVPHPVPHQVQHQHQVQ用跡線表示平面用跡線表示平面返回返回二、各種位置平面的投影1、投影面平行面、投影面平行面2、投影面垂直面、

10、投影面垂直面3、一般位置平面、一般位置平面 平面對(duì)投影面的相對(duì)位置有三種：與投影面平行、與投影面垂直和與三個(gè)投影面都傾斜。前兩種又稱為特殊位置平面。 1、投影面平行面（1）水平面）水平面（2）正平面）正平面（3）側(cè)平面）側(cè)平面（1）水平面投影特性： （1） abc、 abc積聚為一條線，具有積聚性； （2） 水平投影 abc反映 ABC實(shí)形。 CABabcbacabccabbbaacc（2）正平面 投影特性：投影特性： （1） abc 、 a b c 積聚為一條線，具有積聚性；積聚為一條線，具有積聚性； （2） 正平面投影正平面投影 a b c 反映反映 ABC實(shí)形。實(shí)形。 cabbacbca

11、bacabcbcaCBA投影特性： （1） abc 、 abc 積聚為一條線，具有積聚性； （2） 側(cè)平面投影 abc 反映 ABC實(shí)形 。 （3）側(cè)平面abbbacccabcbacabcCABa2、投影面垂直面（1）鉛垂面）鉛垂面（2）正垂面）正垂面（3）側(cè)垂面）側(cè)垂面投影特性： （1） abc積聚為一條線； （2） abc、 abc為ABC的類似形； （3） abc與OX、 OY的夾角反映、角的真實(shí)大小。 PPH（1）鉛垂面ABCacbabab bab cccQQV （2）正垂面 投影特性 ： (1) abc 積聚為一條線； (2) abc、 abc為 ABC的類似形； (3) abc與O

12、X、 OZ的夾角反映、 角的真實(shí)大小。 AcCabBbababacccSWS （3）側(cè)垂面投影特性： （1） abc積聚為一條線； （2） abc、 abc為 ABC的類似形； （3） abc與OZ、 OY的夾角反映、角的真實(shí)大小 。 CabABcbababaccc3、一般位置平面投影特性： （1） abc 、 abc 、 abc 均為 ABC的類似形； （2）不反映、 的真實(shí)角度。 abccabbaaabbccbacABC返回返回三、平面上的點(diǎn)和直線 點(diǎn)和直線在平面上的幾何條件是： 1）若點(diǎn)從屬于平面上的任一直線，則點(diǎn)從屬于該平面。 2）若直線通過屬于該平面的兩個(gè)點(diǎn)，或通過平面上的一個(gè)點(diǎn)，且平行于屬于該平面的任一直線，則直線屬于該平面。例一：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。baca k b c 利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解通過在面內(nèi)作輔助線求解kd dabca b k k c k例題二：已知ABC給定一平面，試判斷點(diǎn)D是否屬于該平面。ddeeb b例題三：已知點(diǎn)E 在ABC平面上，且點(diǎn)E距離H面15，距離V 面 10，試求點(diǎn)E的投影。mnmnrsrs1015ee例題四：完成四邊形的水平投影。返回返回bckada d b c k b解法一解法一:解法二解法二:cada d b c 已知已知ACAC為正