數(shù)學語言及其教學研究

1、數(shù)學語言及其教學研究邵光華，劉明海（曲阜師范大學數(shù)學科學學院，山東曲阜273165）摘要：數(shù)學語言是表達數(shù)學思想的專門語言，具有抽象性、準確性、簡約性和形式化等特點。加強數(shù)學語言教學對提高數(shù)學閱讀能力、數(shù)學表達及交流能力具有重要作用。數(shù)學語言分為符號語言、文字語言和圖表語言，三類語言之間的相互轉(zhuǎn)換在數(shù)學語言學習中占有重要地位。在應用和理解方面，數(shù)學語言有其自身特點，深層結(jié)構(gòu)常重于表面內(nèi)容，句法分析常先于語義理解。在數(shù)學教學方面，要加強數(shù)學語言的意義理解和表達，注意數(shù)學語言的語義轉(zhuǎn)換、數(shù)學語言符號引入的自然性，以及數(shù)學語言句法特點分析等。關鍵詞：數(shù)學語言；數(shù)學交流；語義轉(zhuǎn)換；教學策略中圖分類號：

2、G633.6  文獻標識碼：C作者簡介：邵光華（1964），山東單縣人，曲阜師范大學教授，博士，主要從事數(shù)學課程與教學研究；劉明海（1967），山東濰坊人，曲阜師范大學副教授，主要從事數(shù)學史與數(shù)學教育研究。一、加強數(shù)學語言學習的重要性誠如斯托利亞爾所說：“數(shù)學教學也就是數(shù)學語言的教學”，1(224)學習數(shù)學在一定程度上可以說就是學習數(shù)學語言，學習數(shù)學的過程也就是數(shù)學語言不斷內(nèi)化、不斷形成、不斷運用的過程。學生準確靈活地掌握了數(shù)學語言，就等于掌握了進行數(shù)學思維、數(shù)學表達和交流的工具。數(shù)學作為一種語言，已經(jīng)不只是描述自然科學的語言工具，也成為描述社會科學、管理科學等門類的語言工具。掌握好

3、數(shù)學語言，就等于掌握了描述科學和生產(chǎn)實踐活動中的實際問題的工具，即數(shù)學化的手段。中學許多課程中都使用了數(shù)學語言（如向量、統(tǒng)計表、統(tǒng)計圖、幾何圖形等），數(shù)學語言的掌握直接關系到這些學科的學習。如果數(shù)學語言不過關，將難以閱讀和交流，難以準確表達自己的思想，難以聽懂、看懂別人用數(shù)學語言表達的觀點，如可能不知“翻一番”“增長一倍”“降水概率為0.6”“同比增長10%”等所云。如果在數(shù)學語言表達（即數(shù)學化）方面能力缺乏，學生可能就只會死記硬背文字表達的概念定義、定理、法則，而不能將其符號化、形式化，不能把自然語言形式轉(zhuǎn)化為符號語言或數(shù)學表示形式，將概念法則與公式溝通。如有的學生盡管知道并能夠敘述物理學中

4、的加速度的概念“是表示速度變化快慢的物理量，具體說，是單位時間內(nèi)速度的變化量”，但卻不能寫出公式，甚至還錯誤地認為。學生智力發(fā)展的診斷研究也表明，學生的“數(shù)學語言”的特點及掌握數(shù)學術語的水平，是衡量其智力發(fā)展和接受能力的重要指標。2學生能否準確、迅速地理解課堂上教師用數(shù)學語言所闡述的數(shù)學內(nèi)容、思想、方法，是衡量學生數(shù)學課堂學習效率高低的重要標準。數(shù)學語言發(fā)展水平低的學生，課堂上對數(shù)學語言信息的敏感度差，語言之間的轉(zhuǎn)換不流暢，思維顯得緩慢，從而造成數(shù)學知識接受、處理困難。教學實踐也表明，數(shù)學語言發(fā)展水平低的學生的數(shù)學理解力也差，理解問題時常發(fā)生困難和錯誤。所以，數(shù)學思維的發(fā)展是離不開數(shù)學語言的同

5、步發(fā)展的，豐富數(shù)學語言系統(tǒng)，提高數(shù)學語言水平，對發(fā)展數(shù)學思維、培養(yǎng)數(shù)學能力和素質(zhì)有著重要的現(xiàn)實意義。事實上，關于數(shù)學語言學習目標，現(xiàn)行數(shù)學課程大綱中已有明確要求。2000年頒布的全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱（試驗修訂版）中將“會使用數(shù)學語言表達問題、進行交流，形成用數(shù)學的意識”作為“解決實際問題能力”內(nèi)涵的一部分，3(2)并把發(fā)展“用數(shù)學語言進行交流的能力”作為改進教學方法的一個目標。3(24)2001年頒布的全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）要求“在與他人交流的過程中，能運用數(shù)學語言合乎邏輯地進行討論與質(zhì)疑”。42003年頒布的普通高中數(shù)學課程標準（實驗）也指出：“數(shù)學語言具有精確、簡約

6、、形式化等特點，能否恰當?shù)剡\用數(shù)學語言及自然語言進行表達與交流也是評價的重要內(nèi)容”；5(114)要注意“提高數(shù)學表達和交流的能力”。5(11)所以，數(shù)學教學必須加強數(shù)學語言的教學。二、數(shù)學語言及其分類為有效地加強數(shù)學語言的教學，加深對數(shù)學語言的理解和認識是必要的。數(shù)學語言是伴隨著數(shù)學自身的發(fā)生和發(fā)展而逐漸成長起來的，是儲存、傳承和加工數(shù)學思想信息的工具。數(shù)學語言與日常語言不同，“日常語言是習俗的產(chǎn)物，也是社會和政治運動的產(chǎn)物，而數(shù)學語言則是慎重的、有意的而且經(jīng)常是精心設計的”，是一種高度抽象的專業(yè)語言，是一種以符號表達為主的特殊語言。具體可分為符號語言、文字語言和圖表語言三類。符號語言是數(shù)學中

7、通用的、特有的簡練語言，是在人類數(shù)學思維長期發(fā)展過程中形成的一種語言表達形式?！皵?shù)學的效能來自數(shù)學符號?！?按感知規(guī)律，數(shù)學符號分為三種：象形符號、縮寫符號、約定符號。象形符號是由數(shù)學對象的空間位置結(jié)構(gòu)或數(shù)量關系經(jīng)抽象概括得到的各種數(shù)學圖形或圖式，再經(jīng)縮小或改造而形成的一類數(shù)學符號。如幾何學中的符號、等都是原形的壓縮改造，屬于象形符號。縮寫符號是由數(shù)學概念的西文詞匯縮寫或加以改造而成的符號，比如函數(shù)f（function）,極限lim（limit）、正弦sin（sine）、最大max（maximal）、最小min（minimal）、存在（exist）、任意（any）等符號均為此類。約定符號是數(shù)學

8、共同體約定的，具有數(shù)學思維合理性、流暢性的數(shù)學符號，如運算符號+、×、，全等，相似，大于，小于，等均屬此類。由各種符號按照數(shù)學的邏輯意義和規(guī)則而組合建立起來的各種符號串或式子則構(gòu)成數(shù)學式語言或數(shù)學句子，這里的邏輯意義和規(guī)則是指數(shù)學中的一些規(guī)定或原理法則，如a+bc遵循的是運算次序、略寫法則等。數(shù)學中的文字語言是數(shù)學化了的自然語言，或者稱為自然語言中的數(shù)學語言。自然語言常具有模糊性，而數(shù)學是嚴謹?shù)?，容不得含糊。所以，?shù)學中的文字語言不是自然語言文字的簡單移植或組合，而是經(jīng)過一定的加工、改造、限定、精確化而形成的，并且，這些語言具有數(shù)學學科特指的確定的語義，常以數(shù)學概念、術語的形式出現(xiàn)。

9、如數(shù)學中的“直線”“全等”“連續(xù)”“區(qū)間”“組合”“相似”“極限”“軌跡”等都是自然語言的精確化；“絕對值”“正值”“中線”“中位線”“有理”“無理”等都是對自然語言中的文字進行限定的結(jié)果；“增加幾倍”“擴大幾倍”“概率”“正弦”“可微”“可積”等都是具有特定含義的數(shù)學文字語言。有些數(shù)學語言本身還具有比喻或象形意義，如扇形、補角、射影、倒數(shù)、銳角、鈍角、參數(shù)、行列式等數(shù)學詞語，似乎能給人一種語言直觀，使人較為自然、容易地領會和理解。自然語言是數(shù)學文字語言形成與發(fā)展的基礎，數(shù)學文字語言不僅借用了自然語言中的文字，沿用了自然語言中的語法規(guī)則，而且在大多數(shù)情況下兩種語言的語義也是一致的。圖表語言是指

10、包含一定數(shù)學信息的各種圖或表，可細分為圖形語言（幾何圖形、統(tǒng)計分析圖、集合維恩圖等）、圖象語言（函數(shù)圖象或統(tǒng)計線圖等）和格表語言（統(tǒng)計數(shù)據(jù)表、分析表、框圖等），它們是數(shù)學形象思維的載體和中介，也是數(shù)學思維的重要材料和結(jié)果，而且還是進行抽象思維的一個重要工具。我們必須確認，圖表也是一種數(shù)學語言，是數(shù)學的一種直觀性語言，是對其他兩種語言的補充，它與數(shù)學概念、術語、符號與式子等一起構(gòu)成數(shù)學語言系統(tǒng)。尤其在當今信息化社會，人們會經(jīng)常地在各種媒體上看到或閱讀到某種載有一定數(shù)學意義的圖形、圖象或格表，這些圖形、圖象或格表作為信息傳遞的一種形式具有同文字信息形式相同的功能，但比文字信息更直觀。所以，掌握圖表

11、語言是現(xiàn)代社會的要求，學生必須學會讀圖，掌握圖表語言，要能夠從圖形、圖象和格表中讀出蘊涵的信息來。三種數(shù)學語言各有優(yōu)勢與不足：文字語言通俗、易懂，但描述起來是線性的，不易表露知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)；數(shù)學符號雖然抽象，但十分簡潔，描述起來給人以結(jié)構(gòu)感；圖表語言比文字語言和一般符號語言更具直觀性，容易形成表象。為了使數(shù)學內(nèi)容不那么難懂，能夠借助母語理解，在實際表述數(shù)學思想內(nèi)容的時候，常結(jié)合自然語言的表述，所以，一種數(shù)學思想內(nèi)容的表達常是數(shù)學符號語言、文字語言、圖表語言和自然語言的優(yōu)勢互補和有機融合。三、數(shù)學語言的特點由前文可以看出，數(shù)學語言是一種非日常和非自然語言，其中一部分是被規(guī)定或定義的，用來表示理想

12、化的數(shù)學對象，正如美國數(shù)學家萊克斯（A.Lax）和格羅特（G.Groat）說的那樣：“它（數(shù)學）所用的是一些特殊的非口語的語言：一些新的符號被定義，一些老的字符被重新定義而限制或改變其意義。這種精細的、外延的語言很少聯(lián)系到課堂外的生活?！?另一部分是自然語言按照下面三個方向被改進的結(jié)果：（1）按簡化自然語言的方向；（2）按克服自然語言中含糊不清的毛病的方向；（3）按擴大它表達范圍的方向。1(221)事實上，數(shù)學中每個詞語（概念、符號、術語等）都有其精確的含義，沒有外延模糊或內(nèi)涵不清的概念詞語，不允許有似是而非、模棱兩可的斷言。數(shù)學語言的表達形式與它的含義之間都有著確定的關系（盡管有時不是一一對

13、應的），詞序不同或一字之差就可能導致意義截然不同，如“軸對稱”與“對稱軸”，與，意義都是完全不同的。所以，數(shù)學語言既具有抽象性、簡約性，又具有精確性等特點。數(shù)學語言的精確性還表現(xiàn)在自身不存在歧義。所謂歧義現(xiàn)象，就是一個句子可以作兩種或兩種以上不同意義的理解，或者可以作兩種或兩種以上的結(jié)構(gòu)分析。盡管數(shù)學中的句子有時可以作兩種或兩種以上的意義理解，不過這些理解在一定意義上都是等價的（故不稱為歧義），可以看做等價轉(zhuǎn)換或同義轉(zhuǎn)換，而這還是數(shù)學解題的一種重要策略。8(45-47)從這個意義上講，我們希望學生能夠靈活作出語義轉(zhuǎn)換。如“”的基本語義為、滿足的一個等式，但它又可轉(zhuǎn)義為“是方程的一個根”，還可轉(zhuǎn)

14、義為“是方程的一個根”，這些意義在解題中沒有任何沖突或矛盾。只是應注意，在語言轉(zhuǎn)換方面，不能以偏概全，如“不大于”不能轉(zhuǎn)換為“小于”。數(shù)學語言的另一個突出特點是它的符號化、形式化特點。形式化的一個主要表現(xiàn)是“變元的使用”，由于使用了各種變元，數(shù)學語言能夠很好地表達一般規(guī)律。用數(shù)學語言表示形式，在這個形式中可以填進各種內(nèi)容。當然這些形式并不是沒有任何內(nèi)容的，它是從個別的、具體的內(nèi)容中抽象出來的，保留了它們的共同的東西。數(shù)學語言的這種形式化特點，常常造成在數(shù)學語義理解不透徹的情況下數(shù)學語言的形式與內(nèi)容脫節(jié)，造成學習上的形式主義。數(shù)學語言與一般語言相比，第三個特點是：在應用上有不同。如公式語言的應用

15、與一般詞語應用的形式是不同的，像“豐富多彩”這個詞，一個學生會根據(jù)情境造“昨天的電視節(jié)目豐富多彩”“學校學生生活變得豐富多彩了”這樣的句子，基本表明他掌握了這個詞語的用法。一個優(yōu)美的句子可以不加變化地嵌套在一段描寫中，使用起來是一種鑲嵌式的；數(shù)學語言的應用不完全是鑲嵌式的，像三角函數(shù)誘導公式語言sin（180°+）=-sin是不能鑲嵌在一個語句中的，是變形或代入式的，只有能夠計算諸如sin210°=sin（180°+30°）=-sin30°=-等，才表明一個學生基本會應用這個公式了（才可以說掌握住了這個“公式語言”的用法）。又如對余弦定理，只有

16、根據(jù)三角形具體情況如b=8,c=3,A=60°，能具體寫出2=82+32-2×8×3×cos60°來才能說一個學生基本會應用余弦定理了?！柏S富多彩”是一個形容詞，要想認識它，通過定義不太容易，須讓學生感受；而數(shù)學中的概念是定義式的，公式是推理式的，直觀感受只是輔助，應從理論上把握。數(shù)學語言與一般語言相比的第四個特點表現(xiàn)在理解要求層次不同。比如，作為語言學中的三角形概念，只知道它的形狀就可以了，而不必知道它的更深層次的性質(zhì)；而數(shù)學中學習它，就不僅要從直觀層面上清楚它的形狀，而且重點要從抽象層面上知道它的內(nèi)涵和性質(zhì)特征，語句中一出現(xiàn)“三角形ABC”

17、或“ABC”就會聯(lián)想到內(nèi)角和、邊角關系等。可以說，數(shù)學語言的學習面臨的是語言發(fā)展和思維發(fā)展的雙重任務。數(shù)學語言的理解常需要更多的判斷、推理，語言中蘊涵的推理、判斷的理由、依據(jù)須清楚明白；否則，即便語言中的概念清楚，意義明白，也不能達到數(shù)學上的理解。如“已知函數(shù)f（x）是0，5x,2x-4,2-x中的最大值，求f（x）的最小值”，從字面意義上學生都能夠理解其意義，知道說的是什么意思；但是，對整個問題卻不知怎樣下手解決，原因是不能理解“f（x）是0，5x,2x-4,2-x中的最大值”的深層意義，不能對其進行進一步的語義轉(zhuǎn)換和重新表達。這表明，數(shù)學語言僅靠字面含義理解是不夠的。第五個特點：數(shù)學語言的

18、理解常是句法分析先于語義理解。根據(jù)心理學的研究，“學會了語言和閱讀的人，都具有一個心理詞典。”所謂心理詞典就是詞的意義在人的心理上的表征，通常我們說認知一個詞，就是在心理詞典中找出與這個詞相對應的詞條。在每個詞條中都包括了與這個詞條相對應的詞的語音與寫法方面的表征以及詞的意義的表征。數(shù)學學習的結(jié)果是在學習者內(nèi)部形成一個數(shù)學心理詞典，利用這個詞典可以解釋外部輸入的數(shù)學信息。一個詞的特征在心理詞典中被呈現(xiàn)的形式常常被設想為一種網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，通過這個語義網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，可以找到一個詞的特征集合，即詞義。9按照語義學理論，句子是表達完整思想的具有一定語法特征的、最基本的言語單位。語言學習的中心應該是學習句子，先

19、理解句子，再造出句子?！熬渥拥睦斫饩褪菑臅嫖淖种衼斫?gòu)意義?！彼^建構(gòu)意義，就是從書面詞的序列中建造起具有層次安排的命題。建構(gòu)意義通?？梢圆捎脙煞N策略：語義策略和句法策略。語義策略是指在閱讀一個句子的時候，通過識別句中詞的意義和對句中的詞進行意義搭配來確定這句話的含義的策略。如在一個句子中看到了“紅、小孩、蘋果、吃”這幾個詞，即便沒有任何其他的句法信息，讀者也能建立起下面兩個命題（意義）：小孩吃蘋果，蘋果是紅的。這里，讀者使用了語義策略。句法策略是指把句子切分為構(gòu)成成分進行分析，考察這個語言的內(nèi)部構(gòu)造，弄清這些構(gòu)成成分是怎樣相互聯(lián)系起來的，從而建立起句子的底層結(jié)構(gòu)意義。句法就是指對句子中的構(gòu)

20、成成分的“系統(tǒng)安排”，它為人們提供了一種編碼，使人們能夠利用詞的序列去傳遞思想。而句法結(jié)構(gòu)使同樣的一個詞在不同的句子中起著不同的句法作用，從而使句子具有不同的意義。如“與的平方和”“與和的平方”，兩個句子都由同樣的詞組成，差異在詞的序列不同，正是這種詞序的不同，才使它們具有完全不同的意義。在自然語言句子的加工中，語義的聯(lián)系常常統(tǒng)治著理解，而句法的分析則是在必需的時候才起到證實和去歧義的作用。所以，讀者首先是按照句子的意義來進行加工，其次才是按照它的句法來進行整理。然而，根據(jù)數(shù)學語言表達的特點，學生對數(shù)學語言的理解更多的是句法結(jié)構(gòu)理解，直接深入到語言材料內(nèi)部，尋找關系，探明結(jié)構(gòu)，根據(jù)結(jié)構(gòu)關系，進

21、行數(shù)學處理。如解題者對問題“2元紙幣的數(shù)目是5角紙幣數(shù)目的7倍，5角紙幣的總幣值比2元紙幣的總幣值多3.60元，列方程求解2元紙幣、5角紙幣的數(shù)目”的加工結(jié)果就表明了這一點，解題者一般是先從結(jié)構(gòu)入手，分析和提取出問題表述中涉及的量及其關系：2元紙幣（將這種對象視做x，用它也表示這種對象的數(shù)目），5角紙幣（將這種對象視做y，將對象與對象的數(shù)目視為一體），它們的數(shù)目以及關系（x是y的7倍），總幣值（各為2x元，5y角）及其關系（5y角比2x元多3.60元），通過上述的理解，將關系數(shù)學化為方程：x=7y,5y-2x=3.60或50y-200x=360。10而較少先進行語義理解，考察問題的意義是否現(xiàn)實

22、。事實上，數(shù)學應用問題的數(shù)學建模就是要明晰材料中的數(shù)量關系和空間結(jié)構(gòu)，而多不需要理解問題語言描述的背景意義，這就要求搞清楚材料中涉及的對象（量）之間的結(jié)構(gòu)。而關系的分析只能靠句法分析，為此，就要從句法結(jié)構(gòu)分析入手。其實，數(shù)學作為一種處理現(xiàn)實問題的工具，首先是對一個現(xiàn)實問題進行一般性的描述，再進行具體描述，然后進行數(shù)學化描述，進一步用符號化語言表達、求解，對求出的解加以檢驗，看是否符合現(xiàn)實問題或是否具有現(xiàn)實意義。數(shù)學處理問題的過程中，將意義的問題擱置在了最后（作為檢驗環(huán)節(jié)），而不是過程中?？梢哉f，數(shù)學語言的理解常是句法分析先于語義理解。四、數(shù)學語言教學策略根據(jù)數(shù)學語言的特點和分類特征，我們認為，

23、數(shù)學語言教學應該注意以下策略的運用。（一）加強數(shù)學語言詞匯意義的理解教學由于數(shù)學語言的準確性特點，當一個學生閱讀理解一段數(shù)學文字如一個概念、定理或其證明時，必須了解其中出現(xiàn)的每個數(shù)學術語和每個數(shù)學符號的準確含義，不能忽視或略去任何一個不理解的數(shù)學詞匯。所以，數(shù)學語言學習中準確理解數(shù)學語言詞匯非常重要。那么，在數(shù)學語言教學中，一定要注意數(shù)學語言詞匯內(nèi)涵的揭示，尤其是最具數(shù)學特性的數(shù)學符號語言和圖表語言。教學中既要注意語義解釋，又要注意句法分析，強調(diào)數(shù)學語言的形式與所表達內(nèi)容的正確聯(lián)系，避免形式與內(nèi)容脫節(jié)，防止數(shù)學學習上的形式主義。例如，函數(shù)符號f（x）可以從以下幾個方面引導學生進行意義理解。第一

24、，理解基本含義。f（x）是以x為自變量的一個函數(shù)，表示的是一個映射或?qū)P系f:xf（x）。如當f（x）=x2-2x-3（xR），x=af（a）=a2-2a-3。f（a）是函數(shù)在a處的函數(shù)值。第二，增強對“對應”的理解。f（x）表示的是括號中的對象與對應對象的一種對應關系，不管括號中的對象（自變量）取什么值，與其對應的都是在對應關系結(jié)構(gòu)（如果關系是可以用數(shù)學式子表示的）中用這個值代替對象而得的值。如“x+1”對應的不是f（x）+1，而是f（x+1）=（x+1）2-2（x+1）-3。第三，進一步加深對f（x）意義的理解?？梢酝ㄟ^諸如“已知f（x+1）=x2+x-3，求f（x）”等問題的思考、討論

25、而獲得。（二）注意數(shù)學語言的語義轉(zhuǎn)換訓練加強三種數(shù)學語言及其自然語言之間的相互轉(zhuǎn)換溝通是提高數(shù)學語言表達能力的正確途徑。數(shù)學中每一個符號所表示的不是學生已經(jīng)知道的日常觀念，而是一個確定的數(shù)學概念，它來源于現(xiàn)實世界，但經(jīng)過了多次抽象，對學生來說，心理距離還是較遠的。自然語言是學生熟悉的，用這些語言來表達的事物，學生感到親近，也容易理解。所以，數(shù)學教師應注意以自然語言為解釋語言系統(tǒng)來指導學生學習數(shù)學語言，即將數(shù)學語言譯為自然語言，也即通常說的“通俗化”，以幫助學生更好地理解、內(nèi)化。另一方面，學習數(shù)學語言是為了更好地應用數(shù)學語言解決問題，為此，又應注意將自然語言譯為數(shù)學語言，即通常說的“數(shù)學化”練習

26、，數(shù)學建模可謂是最好的練習項目。8(50)不同領域可以說有不同領域類型的語言，將一種語言表達從一個領域轉(zhuǎn)換為另一個領域的語言形式，可以溝通知識之間的聯(lián)系，簡化問題解決。例如，已知“x+2y=5,求x2+y2的最小值”，可以轉(zhuǎn)譯為“求直線x+2y=5上的點到原點的距離的最小值”，進一步再轉(zhuǎn)換為“求原點到直線x+2y=5的距離”的語言表達形式，這既溝通了代數(shù)與解析幾何的聯(lián)系，又使問題變得更簡單易求。所以，數(shù)學教學應注意數(shù)學語言之間的轉(zhuǎn)換練習，充分發(fā)揮各種數(shù)學語言的優(yōu)勢，在轉(zhuǎn)化中加深對數(shù)學知識的理解。如把一個用抽象表述方式闡述的問題轉(zhuǎn)化成用具體的或不那么抽象的表達方式表述的問題；把用符號或圖表形式表

27、示的關系轉(zhuǎn)化為文字語言的形式，以及把文字語言形式表述的關系轉(zhuǎn)化成符號或圖表形式；用自己更清楚的語言形式表述正規(guī)定義或定理，“用你自己的語言來闡述問題”；等等。數(shù)學中常在概念和定理之后敘述一段“幾何意義”，其實就是將文字語言或符號語言轉(zhuǎn)換為圖表語言，以利用圖表語言比文字語言或符號語言有更強的直觀表現(xiàn)力使讀者更好地理解概念和定理。在圖表語言學習中，一個注意點是，既要充分利用圖表語言的直觀性，又要防止過度依賴使用圖表，因為圖表語言有時會給人們錯覺。例如，如圖，一電工沿著豎立的梯子LN往上爬，當他爬到中點M處時，由于地面太滑，梯子沿墻面與地面滑下，則M點的軌跡是：由于梯子滑行的直覺表象，讀者常會選A。

28、而實際上，根據(jù)直角三角形“斜邊中點到直角頂點距離是斜邊長的一半”，其軌跡是以原點O為圓心、為半徑的圓弧，應選C。（三）注意數(shù)學語言符號引入的自然性數(shù)學符號語言是最具數(shù)學特征的語言，在數(shù)學符號語言教學中，要注意符號引入的必要性和自然性。英國數(shù)學教育家豪森（A.G.Howson）指出：“沒有必要引入任何符號或縮寫，除非學生自己已經(jīng)深深感到了這樣做的必要性，以至于他們自己提出這方面的建議。或者至少，當教師提供給他們時，他們能夠充分體會到它的優(yōu)越性?！?所以，新的數(shù)學符號引入之前要注意創(chuàng)設一種“自然”“必要”的情境，引入之后，還應讓學生體會其優(yōu)越性。（四）注意數(shù)學語言學習的審美情趣由于作為學習主體的個

29、體，身心特性天然地具有一種趨美沖動，所以，學習中不斷展示學科美，體驗美的感受，對提高學習效率將有極大的促進作用。數(shù)學可謂處處充滿美的花朵，正如羅素所說：“數(shù)學，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美?！痹跀?shù)學學習中，數(shù)學帶給學習者的絕不只是冰冷的符號，而應當是一個有著各種新穎獨特的美點綴成的五彩繽紛的萬花筒。數(shù)學語言學習應充分展現(xiàn)數(shù)學圖表語言的對稱美、動態(tài)美，數(shù)學符號語言的簡潔美、優(yōu)雅美，讓學生感悟數(shù)學語言系統(tǒng)的內(nèi)在美，以喚起學習主體的生命激情和自由感受，獲得審美情趣。（五）注意分析數(shù)學句法特點和語言表達訓練數(shù)學語言的簡約性使得數(shù)學中的句子呈現(xiàn)簡約的特點，用較少的詞語刻畫所描述的對象、法則和性質(zhì)，使用嵌套關系縮短表達。如“a,b兩數(shù)的倒數(shù)和”“a,b兩數(shù)和的倒數(shù)”這樣的表達，幾乎簡約到不能再簡約的地步了；“a的平方與b的和的倒數(shù)”“a的平方與b的倒數(shù)的和”這樣的嵌套關系結(jié)構(gòu)復雜、易混，但表達簡約。簡約可能會給學生學習理解和轉(zhuǎn)換為形式化的語言或式子帶來困難，所以，初步學習時教師應使用自然語言作出相應的補充、解釋。嵌套關系不易分析、理解，這要求數(shù)學語言學習要注意熟悉數(shù)學句法