行列式的計(jì)算及應(yīng)用畢業(yè)論文

1、綏化學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）行列式的計(jì)算及應(yīng)用學(xué)生姓名： 張 萍 學(xué) 號(hào)： 201051037 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí)： 2010級(jí) 指導(dǎo)教師： 付 麗 講 師 suihua university graduation paper calculating methods of determinant and its applicationstudent name zhang ping student number 201051037 major mathematics and applied maths supervising teacher fu li suihua univers

2、ity摘 要行列式理論是代數(shù)學(xué)的重要組成部分, 并成為一種重要的學(xué)習(xí)工具，不僅用來(lái)計(jì)算高等代數(shù)問(wèn)題，還可以用來(lái)解決初等數(shù)學(xué)中的一些重點(diǎn)難點(diǎn)問(wèn)題，因此懂得解行列式就非常重要本文總結(jié)了行列式的幾種計(jì)算方法，并對(duì)每種方法進(jìn)行例題跟蹤，并敘述了行列式在初中代數(shù)和解析幾何等幾個(gè)方面的應(yīng)用，以便更好的運(yùn)用行列式解決實(shí)際的問(wèn)題關(guān)鍵詞：線性方程組; 行列式; 初中代數(shù)；解析幾何abstractthe determinant is an important component of the theory of algebra , and become an important mathematical tool

3、, so it is very important to know the solution determinant. this paper summarizes eleven methods of calculating the determinant, and each method are examples of tracking. also describes the determinant in the application of the two aspects of junior high school algebra and analytic geometry, to solv

4、e series of problems in several aspects, in order to better use the determinant to solve practical problems.key words: linear equations; determinant; junior high school; algebra analytic geometry目 錄摘 要.iabstract.ii第1章 行列式的計(jì)算方法1第1節(jié) 利用行列式定義與性質(zhì)計(jì)算.1第2節(jié) 化三角形法.3第3節(jié) 降階法.4第4節(jié) 遞推公式法及數(shù)學(xué)歸納法.5第5節(jié) 利用范德蒙行列.7第6節(jié) 行

5、列式的特殊計(jì)算法.8第2章 行列式的應(yīng)用.11第1節(jié) 行列式在代數(shù)中的應(yīng)用.11第2節(jié) 行列式在幾何中的應(yīng)用.12第3節(jié) 行列式在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用.14結(jié) 論.16參考文獻(xiàn).17致 謝.18 iii綏化學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)論文第章 行列式的計(jì)算方法第1 節(jié) 利用行列式定義與性質(zhì)計(jì)算定義11 對(duì)任何階方陣，其行列式記為 其中是數(shù)組1，2， 的全排列，表示對(duì)關(guān)于這些全排列的項(xiàng)(共有 項(xiàng))全體求和 性質(zhì)1 行列互換，行列式不變，即.性質(zhì)1表明，行列式中行與列的地位是對(duì)稱的，所以凡是有關(guān)行的性質(zhì)，對(duì)列同樣成立性質(zhì)2 對(duì)換行列式兩行的位置，行列式反號(hào)性質(zhì)3 若行列式有兩行相同，則行列式等于0性質(zhì)4

6、用一個(gè)數(shù)乘以行列式的某一行，等于用這個(gè)數(shù)乘以這個(gè)行列式，或者說(shuō)某一行的公因式可以提出來(lái)，即.推論1 若行列式某行（列）元素都是0，則行列式等于0推論2若一個(gè)行列式的任兩行成比例，則行列式值為0性質(zhì)5 行列式具有分行相加性，即 =+.性質(zhì)6 把行列式的某一行的若干倍加到另一行，行列式值不變，即.例11計(jì)算行列式.解 展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是.顯然，如果，那么，從而這個(gè)項(xiàng)都等于零因此只需考慮的那些項(xiàng)；同理，只需考慮，這些列指標(biāo)的項(xiàng)這就是說(shuō)行列式不為零的項(xiàng)只有這一項(xiàng)，而這一項(xiàng)前面的符號(hào)應(yīng)該是正的，所以.例22 計(jì)算級(jí)行列式.解 這個(gè)行列式的特點(diǎn)是每一行有一個(gè)元素是，其余個(gè)是. 根據(jù)性質(zhì)6，把行列式第二

7、列加到第一列，行列式不變，再把第三列加到第一列，行列式不變，直到第列也加到第一列，即得=.把第二行到第行都分別加上第一行的-1倍，就有 .根據(jù)例1得 .把行列式的某一行（或列）的元素寫(xiě)成兩數(shù)和的形式，然后利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫(xiě)成兩行列式之和, 進(jìn)而使行列式簡(jiǎn)化以便計(jì)算例3 計(jì)算行列式.解 =.第2節(jié) 化三角形法化三角形法是將原行列式化為上(下)三角形行列式或?qū)切涡辛惺接?jì)算的一種方法，這是計(jì)算行列式的重要方法之一. 利用行列式的定義容易求得上(下)三角形行列式或?qū)切涡辛惺綄?duì)于各行（或各列）之和相等的行列式，將其各行（或列）加到第1行（或第1列）或第行（或第列），然后再化簡(jiǎn)例 計(jì)算行列式

8、 .解 =.原則上，每個(gè)行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式但對(duì)于階數(shù)高的行列式，在一般情況下，計(jì)算往往較繁，因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作某種保值變形，再化為三角形行列式例2 計(jì)算行列式.解 它的特點(diǎn)是各列元素之和為，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出，得將第一行乘以分別加到其余各行，化為三角形行列式，則 =.第3節(jié) 降階法 降階法是按某一行（或一列）展開(kāi)行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便，往往是先利用行列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，使行列式中有較多的零出現(xiàn)，然后再展開(kāi)例1 計(jì)算行列式.解 .第4節(jié) 遞推公式法及數(shù)學(xué)歸納法

9、應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個(gè)階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，階或階與階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式根據(jù)遞推關(guān)系式及某個(gè)低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給階行列式的值，這種計(jì)算行列式的方法稱為遞推法使用遞推方法首先要利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想的證明但給定一個(gè)行列式要猜想其值是比較困難的，因此數(shù)學(xué)歸納法一般直是用來(lái)證明行列式等式例1 計(jì)算階行列式解 按第一列展開(kāi)于是有=，及 =從上兩式削去，得對(duì)于形如的所謂三角行列式，可直接展開(kāi)得兩項(xiàng)遞推公式，然后采用如下方法求解方法1 如果較小，則直接遞推計(jì)算方法2 用第二數(shù)學(xué)

10、歸納法：即驗(yàn)證時(shí)結(jié)論成立，設(shè)結(jié)論成立，若可證明出時(shí)結(jié)論也成立，則對(duì)任意自然數(shù)結(jié)論也成立方法3 將變形為，其中，由韋達(dá)定理知和是一元二次方程的兩個(gè)根確定和后，令，利用遞推求出，再由遞推求出方法4 設(shè)，代入，得，因此有（稱為特征方程），求出根和（假設(shè)），則這里,可通過(guò)取和來(lái)確定 例2 求階行列式的值.解 按第一行展開(kāi)得，即作特征方程解得，則 當(dāng)時(shí)，代入式得當(dāng)時(shí)，代入得 聯(lián)立求解得，故例3 計(jì)算階行列式解 用數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng)時(shí)=.假設(shè)時(shí)，有.則當(dāng)時(shí)，把按第一列展開(kāi)，得=.第5節(jié) 利用范德蒙行列式范德蒙行列式具有逐行元素方冪遞增的特點(diǎn)，因次遇到具有逐行（或列）元素方冪遞增或者遞減的行列式時(shí)，可以考慮將其

11、轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式并利用相應(yīng)的結(jié)果求值定義 1 范德蒙行列式例1 計(jì)算行列式 解 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此類推直到把新的第行的1倍加到第行，便得范德蒙行列式 =，其中“”表示連乘號(hào) 第6節(jié) 計(jì)算行列式雜例計(jì)算某些行列式有時(shí)特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行計(jì)算，這種計(jì)算行列式的方法叫做加邊法當(dāng)然，加邊后要保證行列式的值不變，并且要使所得的高一階行列式容易計(jì)算要根據(jù)需要和原行列式的特點(diǎn)選取所加的行和列加邊法適用于某一行（列）有一個(gè)相同的字母的行列式，也可用于其列（行）的元素分別為個(gè)元素的倍數(shù)的情況例13 計(jì)算行列式解 給原行列式加邊=例23 計(jì)算行列式解 由行列

12、式定義知為的4次多項(xiàng)式,當(dāng)時(shí)，行相同，有，所以為的根；當(dāng)時(shí)，行相同，有, 所以為的根故有4個(gè)1次因式：，設(shè)，令，則，即，所以所以當(dāng)行列式各行(列)和相等，且除對(duì)角線外其余元素都相同可采用如下步驟(1)在行列式的各元素中加上一個(gè)相同的元素,使新行列式除主對(duì)角線外,其余元素均為0；(2)計(jì)算的主對(duì)角線各元素的代數(shù)余子式；(3) 例 33 求行列式的值解 在上的各個(gè)元素上加上（-1）后又，其它的是零，所以以上是行列式計(jì)算常用的方法，在實(shí)際計(jì)算中，不同的方法適應(yīng)于具有不同特征的行列式，如定義法一般適用于0比較多的行列式當(dāng)某行或某列含有較多的零元素，可采用降階的方法每一種方法都有其各自的優(yōu)點(diǎn)及其獨(dú)特之處

13、，因此研究行列式的解法有非常重要的意義 第2章 行列式的應(yīng)用第1節(jié) 行列式在代數(shù)中的應(yīng)用 2.1 用行列式解線性方程組如果線性方程組 ，的系數(shù)行列式, 那么，這個(gè)方程組有解，并且解是唯一的，可表示為例14 求一個(gè)二次多項(xiàng)式，使，解 設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為，則有 ，可求得系數(shù)行列式 ，所以可用克拉默法則求解，又， ， 解得 ,于是所求的二次多項(xiàng)式為2.2 用行列式證明恒等式我們知道，把行列式的某一行（列）的元素乘以同一數(shù)后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上，行列式不變；如果行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么這個(gè)行列式等于零，利用行列式的這些性質(zhì)，我們可以構(gòu)造行列式來(lái)證明等式例2 已知，求證證明 令

14、，則，命題得證第2節(jié) 行列式在幾何中的應(yīng)用 利用行列式我們可以解決集合中的一些問(wèn)題，例如求平面三角形面積，在解析幾何中用行列式表示直線的方程，以及三線共點(diǎn)和三點(diǎn)共線的幾何問(wèn)題，接下來(lái)我們就來(lái)討論一下行列式在這幾方面的應(yīng)用15 用行列式表示三角形的面積以平面內(nèi)三點(diǎn)，為頂點(diǎn)的的面積是證明 將平面,三點(diǎn)擴(kuò)充到三維空間，其坐標(biāo)分別為，其中為任意常數(shù), 由此可得，面積為=.例1 （2001年全國(guó)高考試題）設(shè)拋物線（）的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且軸，求證經(jīng)過(guò)原點(diǎn)證明 設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)為、，由于點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且軸，則，由拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)，得，故 ，所以經(jīng)過(guò)原點(diǎn)25

15、用行列式表示直線方程直線通過(guò)兩點(diǎn)和的直線方程為 證明 由兩點(diǎn)式，直線方程為 將上式展開(kāi)并化簡(jiǎn)，得，此式可進(jìn)一步變形為 ，此式為行列式按第三行展開(kāi)所得結(jié)果，原式得證36 三線共點(diǎn)平面內(nèi)三條互不平行的直線相交于一點(diǎn)的充要條件是46 三點(diǎn)共線平面內(nèi)三點(diǎn)，在一直線的充要條件是第3節(jié) 行列式在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用實(shí)系數(shù)二元二次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域內(nèi)是否可以分解因式，是初等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要問(wèn)題，它不僅關(guān)系到因式分解，而且關(guān)系到判別方程表示曲線的類型及解二元二次方程，能簡(jiǎn)單明了地判定二元二次多項(xiàng)式的可分解性例17 求證證明 左邊 結(jié) 論 本文對(duì)行列式的計(jì)算方法進(jìn)行了概括和總結(jié)，主要從階行列式的特點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)例題的形式

16、列舉了行列式的幾種主要計(jì)算方法不僅較完滿地解決了一些較難的求解問(wèn)題，而且解決了代數(shù)，解析幾何等方面的問(wèn)題，從數(shù)形結(jié)合方面又開(kāi)辟了新的思考途徑，使得行列式的作用不僅限于對(duì)方程組的研究，在初等數(shù)學(xué)的各個(gè)方面也看到了行列式的妙用參考文獻(xiàn)1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組，高等代數(shù)(第三版) m,北京: 高等教育出社, (2003)：27-382 胡喬林，關(guān)于行列式的定義及其計(jì)算方法 j,科技信息,2007(25)：3 萬(wàn)廣龍，行列式的計(jì)算方法與技巧 j，china's foreign trade ，2011(04) 4 梁 波，例談行列式的幾個(gè)應(yīng)用 j，畢節(jié)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，(4)：27-285 湯茂林，行列式在初等代數(shù)中的巧用 j，廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，(3)：9-106 周立仁，行列式在初等數(shù)學(xué)中的幾個(gè)應(yīng)用 j，湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，(4