普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)卷福建.文含詳解

1、2011福建文本試卷第i卷（選擇題）和第ii卷（非選擇題）兩部分，第i卷1至3頁，第ii卷4至6頁。滿分150分。注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名，考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)，姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致。2.第i卷每小題選出答案后，用2b鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，第ii卷用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效。3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回。參考公式：樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差 其中為樣本平均數(shù)柱體體積公式其中為底面面積，

2、為高錐體公式，其中為底面面積，為高球的表面積、體積公式，其中為球的半徑第i卷 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)項(xiàng)是符合題目要求的。 1若集合，則等于（） a b c d 【解】故選a 2是虛數(shù)單位等于（）. a b c d 【解】故選d3若，則“”是“”的（） a充分而不必要條件 b必要而不充分條件 c充要條件 d既不充分又不必要條件 【解】當(dāng)時(shí)，有所以“”是“”的充分條件，反之，當(dāng)時(shí)，所以“”不是“”的必要條件故選a 4某校選修乒乓球課程的學(xué)生中，高一年級(jí)有名，高二年級(jí)有名。現(xiàn)用分層抽樣的方法在這名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高一年級(jí)的學(xué)生中

3、抽取了名，則在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為（）a b c d【解】故選b5閱讀右圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是（）a b c d【解】運(yùn)行相應(yīng)的程序是第一步：，第二步：，輸出故選b6 若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）a b c d【解】因?yàn)殛P(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，解得或故選 7（同理 4）如圖，矩形中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，若在矩形內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)取自內(nèi)部的概率等于（） a b c d【解】因?yàn)?，則點(diǎn)取自內(nèi)部的概率故選c8已知函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值等于（）a b c d【解】因?yàn)椋瑒t由得，于是，故選a9若，且，則的值等于（）a b c d 【解】由

4、得，所以，即，因?yàn)?，所以，于是，所以故選d10若，且函數(shù)在處有極值，則的最大值等于（ ）a bc d【解】，因?yàn)樵谔幱袠O值，則，于是，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立此時(shí)，因此是一個(gè)極值點(diǎn)所以的最大值等于故選d11（同理7）設(shè)圓錐曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若曲線上存在點(diǎn)滿足，則曲線的離心率等于（）a或 b或 c或 d或【解】因?yàn)?，所以設(shè)，若為橢圓，則所以若為雙曲線，則所以故選a12.在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，給出如下四個(gè)結(jié)論：；整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）a bc d【解】，所以正確；，所以不正確；，正確；若整數(shù)屬于同一“類”，則，則，

5、所以正確由以上，正確，故選c第ii卷（非選擇題 共90分） 注意事項(xiàng)：用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分把答案填在題中橫線上。13.若向量，則等于_【解】14若的面積為，則邊的長(zhǎng)度等于_【解】，所以，又，所以是等邊三角形，于是15如圖，正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則線段的長(zhǎng)度等于_【解】因?yàn)椋移矫媾c平面的交線為，所以，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以，因?yàn)?，為正方形，所以，所?6.商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格，及根據(jù)商品的最低銷售限價(jià)，最高銷售限價(jià)（）以及常數(shù)（）確定實(shí)際銷售價(jià)格，這

6、里，被稱為樂觀系數(shù)經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂觀系數(shù)恰好使得是和的等比中項(xiàng)，據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)的值等于_【解】由得，設(shè)，則由題設(shè)，則，即，于是，因?yàn)椋匀?、解答題：本大題共6小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或驗(yàn)算步驟.17.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列中，（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列的前項(xiàng)和，求的值【解】（）設(shè)等差數(shù)列的公差，則，由題設(shè)，所以（）因?yàn)?，所以，解得或因?yàn)?，所?8.（本小題滿分12分）如圖，直線與拋物線相切于點(diǎn)（）求實(shí)數(shù)的值；（）求以點(diǎn)為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程【解】（）解法1由得，因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，解得解法2設(shè)切點(diǎn)，由得，所以切線在點(diǎn)處的斜率為

7、，因?yàn)榍芯€的斜率為，則，又在拋物線上，所以，于是的坐標(biāo)為，因?yàn)樵谥本€s上，所以，（）由（），則由解得，于是的坐標(biāo)為，設(shè)以點(diǎn)為圓心的圓的方程為，拋物線的準(zhǔn)線為，而圓與拋物線的準(zhǔn)線相切則，所以圓的方程為19.（本小題滿分12分）某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)依次為現(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)抽取件，對(duì)其等級(jí)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下：（）若所抽取的件日用品中，等級(jí)系數(shù)為的恰有件，等級(jí)系數(shù)為的恰有件，求的值；（）在（）的條件下，將等級(jí)系數(shù)為的件日用品記為，等級(jí)系數(shù)為的2件日用品記為，現(xiàn)從這件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的

8、等級(jí)系數(shù)恰好相等的概率【解】（）由頻率分布表得，即因?yàn)樗槿〉募沼闷分?，等?jí)系數(shù)為的恰有件，所以，又因?yàn)樗槿〉募沼闷分?，等?jí)系數(shù)為的恰有件，所以，于是所以，（）從件日用品中任取兩件，所有可能的結(jié)果為：，所以所有可能的結(jié)果共個(gè)。設(shè)事件表示“從這件日用品中任取兩件，等級(jí)系數(shù)恰好相等”則包含的事件為，共個(gè)，所以所求的概率為20.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，點(diǎn)在線段上，且（）求證：；（）若，求四棱錐的體積【解】因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以又，所以（）由（），在中，又因?yàn)椋瑒t，又，所以四邊形為矩形四邊形為梯形因?yàn)?，所以，于是四棱錐的體積為21（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，其中角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，

9、始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，且（）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值；（）若點(diǎn)為平面區(qū)域，上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定角的取值范圍，并求函數(shù)的最小值和最大值【解】（）因?yàn)榈淖鴺?biāo)為，則（）作出平面區(qū)域，則為圖中的的區(qū)域，其中，因?yàn)?，所以，則，所以，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且最大值為；當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，且最小值為22.（本小題滿分14分）已知為常數(shù)，且，函數(shù)，（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（）求實(shí)數(shù)的值；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)和（），使得對(duì)每一個(gè)，直線與曲線都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)和最大的實(shí)數(shù)；若不存在，說明理由【解】由，得；（）由（），定義域?yàn)閺亩?，因?yàn)?，所?1) 當(dāng)時(shí)，由得，由得；(2) 當(dāng)時(shí)，由得，由得；因而，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減