圓心角、弦、弧關(guān)系

1、圓心角、弦、弧之間的關(guān)系回顧 1.圓是 對稱圖形，它的對稱中心是 2._叫做圓心角3、垂徑定理：圓心圓心 弧弧 弦弦 弦心距之間的關(guān)系弦心距之間的關(guān)系知識要點歸納知識要點歸納 1. 圓不但是軸對稱圖形，而且也是中心對稱圖形，實際上圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，都能夠與原來的圖形重合。 2. 圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。從圓心到弦的距離叫做弦心距。 3. 定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。 4. 推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。 注意：要正確理解和使用圓心角

2、定理及推論。 （1）不能忽略“在同圓或等圓中”這個前提條件，若沒有這一條件雖然圓心角相等，但所對的弧、弦、弦心距不一定相等。 如圖，同心圓，雖然，但，而且，弦心 AOBCODABCDABCD距也不相切。OCABD （2）要結(jié)合圖形深刻理解圓心角、弧、弦、弦心距這四個概念與“所對”一詞的含義，從而正確運用上述關(guān)系。下面舉四個錯例：若 中，則，OACDBCEFDCEADFB 這兩個結(jié)論都是錯誤，首先 CE、FD 不是弦，CEA、BFD 不是圓心角，就不可以用圓心角定理推論證明。OBDACEF （3）同一條弦對應兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，同時在本定理和推論中的“弧”是指同為劣弧或優(yōu)弧，一般

3、選擇劣弧。 （4）在具體運用定理或推論解決問題時可根據(jù)需要，選擇有關(guān)部分，比如“等弧所對的圓心角相等” ，在“同圓中，相等的弦所對的劣弧相等”等。 5. 1的弧：因為同圓中相等的圓心角所對的弧相等，所以整個圓也被等分成 360 份，我們把每一份這樣的弧叫做 1的弧。 一般地，N的圓心角對著 N的弧，N的弧對著 N的圓心角，也就是說，圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等。 注意：這里說的相等是指角的度數(shù)與弧的度數(shù)相等。而不是角與弧相等，在書寫時要防止出現(xiàn)“”之類的錯誤。因為角與弧是AOBAB兩個不能比較變量的概念。相等的弧一定是相同度數(shù)的弧，但相同度數(shù)的弧卻不一定是相等的弧。 6. 圓中弧、圓心角

4、、弦、弦心距的不等關(guān)系 （1）在同圓或等圓中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距較小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距較小時，則弦較大。 當弦為圓中的最大弦（直徑）時，弦心距縮小為零；當弦逐步縮小時，趨近于零時，弦心距逐步增大，趨近于半徑。OOBACOBACDEF （2）在同圓或等圓中，如果弧不等，那么弧所對的弦、圓心角也不等，且大弧所對的圓心角較大，反之也成立。 注意：不能認為大弧所對的弦也較大，只有當弧是劣弧時，這一命題才能成立，半圓對的弦最大，當弧為優(yōu)弧時，弧越大，對的弦越短。 7. 輔助線方法小結(jié)： （1）有弦的中點時，常連弦心距，進而可利用垂徑定理或圓心角、弦、弧、弦心距關(guān)系

5、定理；另外，證明兩弦相等也常作弦心距。 （2）在計算弧的度數(shù)時，或有等弧的條件時，或證等弧時，常作弧所對的圓心角。（3）有弧的中點或證弧的中點時，常有以下幾種引輔助線的方法： （I）連過弧中點的半徑；（II）連等弧對的弦；（III）作等弧所對的圓心角。【學海導航學海導航】1. 如圖，將圓心角AOB 繞圓心 O 旋轉(zhuǎn)到AOB的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？相等的弦： ；相等的?。?理由： 結(jié)論結(jié)論：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的 相相等，所對的弦也等，所對的弦也 表達式：表達式： 同樣，還可以得到：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的在同圓或等圓中，

6、如果兩條弧相等，那么它們所對的 相等，相等， 所對的弦也所對的弦也 表達式：表達式： 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角 ， 所對的所對的 也相等也相等表達式：表達式： 注：同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對注：同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應的其余各組量也應的其余各組量也 。5、在圓心角、弧、弦這三個量中，角的大小可以用度數(shù)刻畫，弦的大小可以用長度刻畫，那么如何來刻畫弧的大小呢？弧的大?。簣A心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等例

7、1、如圖，AB、AC、BC 都是O 的弦，AOC=BOCABC 與BAC 相等嗎？為什么？例題 2、已知：如圖，AB 是O 的直徑，點 C、D 在O 上，CEAB 于 E，DFAB 于 F，且 AE=BF，AC 與 BD 相等嗎？為什么？如圖,在O 中, = ,1=30,則2=_一條弦把圓分成 1：3 兩部分，則劣弧所對的圓心角為_。4. O 中，直徑 ABCD 弦，60度數(shù)AC，則BOD=_。5. 在O 中，弦 AB 的長恰好等于半徑，弦 AB 所對的圓心角為 6.如圖，AB是直徑，Error!Error!Error!，BOC40，AOE 的度數(shù)是 。ACBD典型例題：典型例題：例例 1 1

8、如圖，在O 中，AB=AC，AOB=60 ，求證AOB=BOC=AOC 例例 2. 如圖，在O 中，AB、CD 是兩條弦，OEAB 于點 E，OFCD 于點 F，（1）如果AOB=COD,那么 OE 與 OF 的大小有什么關(guān)系？為什么？（2）如果 OE=OF，那么的大小有什么關(guān)系？為什么？AB 與 CD 的大小有什么關(guān)系？為什么？AOB 與COD 呢？歸納：歸納： 。 【演練反饋演練反饋】1.如果兩個圓心角相等，那么（ ） A這兩個圓心角所對的弦相等; B這兩個圓心角所對的弧相等 C這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等; D以上說法都不對2下列說法中，正確的是（ ）A等弦所對的弧相等 B等弧所對的

9、弦相等 C圓心角相等，所對的弦相等 D弦相等所對的圓心角相等3.如圖，AB 是O 的直徑， COD=35，求AOE 的度數(shù)。,BC CDDE二、探究新知（1）探究：我們把頂點在圓心的角叫做圓心角。 （可以出題讓學生判斷）將圓心角AOB 繞圓心 O 旋轉(zhuǎn)到AOB的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？你能證明嗎？ 得出：（2）在等圓中，是否也能得出類似的結(jié)論呢？做一做：在紙上畫兩個等圓，畫AOB=AOB，連結(jié) AB 和 AB ，則弦 AB 與弦 AB ，弧 AB 與弧 AB還相等嗎？為什么？請學生動手操作，在實踐中發(fā)現(xiàn)結(jié)論依舊成立。（3）說一說嘗試將上述結(jié)論用數(shù)學語言表達出來。（4）思考：在同圓或

10、等圓中，如果兩條弧相等，你能得到什么結(jié)論？在同圓或等圓中，如果兩條弦相等呢？在同圓或等圓中，如果兩條弦心距相等呢？學生小組討論，歸納得出：ABCOCABDEFOOABEDCBAABB(B)OOA(A)A三、例題講解例：如圖，在O 中，弧 AB=弧 AC，ACB=60，求證：AOB=BOC=AOC。四、鞏固練習1. 判斷題，下列說法正確嗎？為什么？（1）如圖所示：因為AOB=AOB，所以=. （2）在O 和O中，如果弦 AB=AB，那么=。2. 已知：如圖所示，AD=BC。求證：AB=CD。變式練習 1：已知：如圖所示，AB=CD。求證：AD=BC。變式練習 2：已知：如圖所示，=。求證：AB=

11、CD。變式練習 3：已知：如圖所示，AB=CD。求證：=。3.在圓 O 中，AC=DB，求證： BFAE。4.D、E 是圓 O 的半徑 OA、OB 上的點，CDOA、CEOB，CD=CE，則CA與CB的關(guān)系是？變式練習：已知 AB 為圓 O 直徑，M、N 分別為 OA、OB 中點，CMAB，DNAB。求證： BDAC。5.小林根據(jù)在一個圓中圓心角、弦、弧三個量之間的關(guān)系認為在如圖中已知AOB=2 COD,則有 弧 AB=2弧 CD ,AB=2CD,你同意他的說法嗎?【典型例題典型例題】 例 1. 已知：如圖，在O 中，弦 AB、CD 的延長線交于 P 點，PO 平分APC。 求證：（1）ABC

12、D；（2）PAPCDAO1 2CBEAMOBCDNAEFBCDOOAPCMNDB12 分析：分析：要證明兩弦相等，可利用弧、圓心角、弦心距之中的一種相等來證，由于已知角平分線 PO 過圓心，利用弦心距相等可以解決。 證明：證明：（1）過 O 點作 OMAB 于 M，ONCD 于 N PO 平分APC OMON ABCD（在同圓中，相等的弦心距所對的弦相等） 此題還有幾種變式圖形，道理是一樣的。 弦 AB、DC 的交點在圓上，即 B、P、D 三點重合。 若 PO 平分APC，求證：PAPC。OAPC 弦 AB、CD 交于 P 點（P 點在圓內(nèi)） PO 平分APC，求證：ABCD。OBADCP 此

13、題還可將題設與結(jié)論交換一下，即已知 ABCD，求證：PO 平分APC，證法與上面一樣，利用弦心距等。 （2）在 RTPOM 和 RTPON 中， 12OMPONPOPOP POMPONAAS() PMPN AMABCNCDABCD1212， AMCN PMAMPNCN 即 PAPC例 2. 如圖，在O 中，AB2CD，那么（ ）OBADC A ABCDB ABCDC ABCDD ABCD.2222與的大小關(guān)系不可能確定 分析：分析：要比較與的大小，可以用下面兩種思路進行：ABCD2（ ）把的一半作出來，然后比較與的大小；112ABABCD （ ）把作出來，變成一段弧，然后比較與的大小。222C

14、DCDAB 解法一：解法一： 過 點作于 ，則，OOF ABEAFFBABAEEBAB1212 ABCDAECDAB212， AFFBAFFB，（等弧對等弦） 在中，AFBAFFBABAFAB2 AFCD 222AFCDABCD，即 故選 A。 解法二：解法二： 如圖，作弦，連結(jié)，則DECDCEDECDCE12 在中，有CDECDDECE 2CDCE ABCDABCE2， ABCEABCD，2例 3. 如圖，為 的弦，、交于 、 。CDOACBDOAOBCDFE 求證：OEOF 證法一：證法一：連結(jié) OC、OD OCODCD ， ACBDCOABOD ，（等弧所對的圓心角相等） COFDOE

15、OEOF 證法二：證法二：過 O 點作 OMCD 于 N 交O 于 M CMMD 又，CABDAMMB AOMBOM 又， FNOENOONON90 OFNOEN OFOE例 4. 如圖，O 中 AB 是直徑，COAB，D 是 CD 的中點，DEAB。 求證： ECEA2分析：分析：在同圓中，要證，考慮分別求出和的度數(shù)，而弧的ECEAECEA2度數(shù)又等于它們所對的圓心角的度數(shù)，則關(guān)鍵是求出COE、AOE 的度數(shù)。 證明：證明：連結(jié) OE EDABCO AB/ /， ED CO DCO是中點 OEOCODOEDEO，1230 EOD903060 EC的度數(shù)是60 EOADEO30 AE 的度數(shù)是

16、30 ECEA2例 5. 如圖，是等邊三角形，是 直徑，、ABCABOAEEFFBCECF交 AB 于 M、N。 求證：AMMNNB 解析一：解析一：由于 、 是半圓的三等分點，故連結(jié)，知，因而也為等邊三角形。所以，即，則，可求得，知是直徑的三等分之一，同理，也是的三分之一，故問題得證。EFAEBOEAOEAOEEABCBAAEBCAMEBMCAMBMAMABBNAB 6012/ 證法一：證法一：連結(jié) OE、AE，設等邊ABC 的邊長為 2a ABOAEEFFB為 直徑， EOAAEB等于的度數(shù)13 EOAAOEOa1318060 ， AOE為等邊三角形 AEAOa 又， EAOCBAAEBC

17、60/ AMEBMC AMBMAEBCaa212 AMAB13 同理，BNAB13 MNABABAB2313 AMMNNB 解析二：解析二： 連結(jié)，易知，也可求得，進而可求得與半徑的比。OEOEACAMMOAM/ 證法二：證法二： 如圖，連結(jié) OE，設 AC2a，則 ACAB2OE2a CAMAOEACOE60 ，/ OMAMOEACaa212 OMAMAMAMOA3223，即 故AMAB13 31ABBN同理， AMMNNB 解析三：解析三： 要證 AMMNNB，即證 AM：MO2：1，故聯(lián)想到三角形的重心性質(zhì)，若能證明 M 是ACG 的重心，問題得證。 （三角形的重心即為三角形三條中線的交

18、點到頂點的距離等于交點到對邊中點距離的 2 倍）證明三：證明三： 連結(jié) AE，并延長交 CO 的延長線于 G 設 AC2a，則有 AEOAa（證法一中已證明AOE 為等邊三角形） ACBC，AOOB AOCG，CABGAO60，AOAO AOCAOG OCOG，且 AGAC2a AEa，AEEGa 即 E 為 AG 中點，O 為 CG 中點 M 為ACG 的重心 AMAOaAB232313 同理，NBAB13 AMMNNB BACEDOBACEDOFBACEDO圓心角、弦、弧之間的關(guān)系圓心角、弦、弧之間的關(guān)系2013-9-12013-9-1 1500862070815008620708（李老師

19、）（李老師） 姓名：姓名： 【課后作業(yè)課后作業(yè)】1、下列三個命題：圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；垂直于弦的直徑平分弦； 相等的圓心角所對的弧相等在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么弦也相等。其中真命題的是（ ）AB C D 2如果兩個圓心角相等，那么（ ）A這兩個圓心角所對的弦相等; B這兩個圓心角所對的弧相等C這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等; D以上說法都不對3如圖 1，如果 AB 為O 的直徑，弦 CDAB，垂足為 E，那么下列結(jié)論中，錯誤的是（ ） ACE=DE B弧 BC=弧 BD CBAC=BAD DACAD4在同圓中，圓心角AOB=2COD，則兩條弧 AB 與 CD 關(guān)系是（

20、 ） A弧AB=2 弧 CD B弧 AB2 弧 CD C弧 AB2 弧 CD D不能確定5 題 6 題 7 題 9 題5、如圖,已知O 中,弧 AB=弧 BC,且弧 AB：弧 AMC=3:4,則AOC=_.6、如圖，已知 AB,CD 是O 的直徑，CE 是弦，且 ABCE,C=，則弧 BE 的035度數(shù)為 7如圖，AB 為O 直徑，E 是弧 BC 中點，OE 交 BC 于點 D，BD=3，AB=10，則AC=_8、P 為O 內(nèi)一點，OP=3cm，O 半徑為 5cm，則經(jīng)過 P 點的最短弦長為_；最長弦長為_9如圖，OE、OF 分別為O 的弦 AB、CD 的弦心距，如果 OE=OF，那么_（只需

21、寫一個正確的結(jié)論）10.在O 中，圓心角AOB=90，點 O 到弦 AB 的距離為 4，則O 的直徑的長為（ ）A42 B82 C24 D1611.如圖，在中，是互相垂直的兩條弦，OABAC、于點，于點，且ODABDOEACE，那么的半徑長_8cm6cmABAC，OOA12.如圖，的兩條弦、互相垂直，垂足為，且 ABCD，已OABCDE知 CE=1，ED=3 則的半徑是 O13. 半徑為 4cm，120的圓心角所對的弦長為（ ） A. B. C. D. 5cm4 3cm6cm3 3cm14. 在O 中，圓心角AOB90，點 O 到弦 AB 的距離為 4，則O的直徑的長為（ ） A. B. C. 24D. 164 28 215. 如圖，AB 為O 的直徑，C、D 是O 上的兩點，BAC=20，弧 AD=弧 CD，則DAC 的度數(shù)是（ ）A. 70 B. 45C. 35D. 3016. 一條弦把圓分成 1：3 兩部分，則劣弧所對的圓心角的度數(shù)為_。17. 一條弦等于其圓的半徑，則弦所對的優(yōu)弧的度數(shù)為_。18. 在半徑為 R 的圓中，垂直平分半徑的弦長等于_。19. 在O 中，弦 CD 與直徑 AB 相交于 E，且AEC30，AE1cm，BE5