2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤檢測10立體幾何大題含答案詳解

1、高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤檢測10立體幾何大題練如圖，已知平行四邊形abcd與emn所在的平面都與矩形bdef所在的平面垂直，且bad=60°，ab=mn=2ad=2，em=en，f為mn的中點(diǎn)(1)求證：mnad；(2)若直線ae與平面abcd所成的角為60°，求二面角m­ab­c的余弦值已知直角梯形abcd中，abcd，abad，cd=2，ad=，ab=1，如圖所示，將abd沿bd折起到pbd的位置得三棱錐p­bcd，如圖所示(1)求證：bdpc；(2)當(dāng)平面pbd平面pbc時(shí)，求二面角p­dc­b的大小如圖，在四棱錐p&

2、#173;abcd中，底面四邊形abcd內(nèi)接于圓o，ac是圓o的一條直徑，pa平面abcd，pa=ac=2，e是pc的中點(diǎn)，dac=aob.(1)求證：be平面pad；(2)若二面角p­cd­a的正切值為2，求直線pb與平面pcd所成角的正弦值如圖，在四棱錐e­abcd中，底面abcd為直角梯形，其中cdab，bcab，側(cè)面abe平面abcd，且ab=ae=be=2bc=2cd=2，動(dòng)點(diǎn)f在棱ae，且ef=fa.(1)試探究的值，使ce平面bdf，并給予證明；(2)當(dāng)=1時(shí)，求直線ce與平面bdf所成角的正弦值如圖，在多面體abcdef中，底面abcd是邊長為2的

3、菱形，bad=60°，四邊形bdef是矩形，平面bdef平面abcd，bf=3，h是cf的中點(diǎn)(1)求證：ac平面bdef；(2)求直線dh與平面bdef所成角的正弦值；(3)求二面角h­bd­c的大小如圖，在矩形abcd中，ab=4，ad=2，e是cd的中點(diǎn)，將ade沿ae折起，得到如圖所示的四棱錐d1­abce，其中平面d1ae平面abce.(1)設(shè)f為cd1的中點(diǎn)，試在ab上找一點(diǎn)m，使得mf平面d1ae；(2)求直線bd1與平面cd1e所成的角的正弦值如圖，三棱柱abc­a1b1c1中，acb=90°，cc1底面abc，ac=

4、bc=cc1=2，d，e，f分別是棱ab，bc，b1c1的中點(diǎn)，g是棱bb1上的動(dòng)點(diǎn)(1)當(dāng)為何值時(shí)，平面cdg平面a1de?(2)求平面a1bf與平面a1de所成的銳二面角的余弦值如圖，在四棱錐p­abcd中，e，f分別是pc，pd的中點(diǎn)，底面abcd是邊長為2的正方形，pa=pd=2，且平面pad平面abcd.(1)求證：平面aef平面pcd；(2)求平面aef與平面ace所成銳二面角的余弦值參考答案解：(1)證明：在abd中，bad=60°，ab=2，ad=1，由余弦定理可得bd2=ab2ad22ab·ad·cosbad=22122×2&

5、#215;1×cos 60°=3，所以bd=，ad2bd2=ab2，所以adbd.又平面abcd平面bdef，平面abcd平面bdef=bd，所以ad平面bdef.在emn中，em=en，f為mn的中點(diǎn)，所以mnef，又平面emn平面bdef，平面emn平面bdef=ef，所以mn平面bdef.所以mnad.(2)在矩形bdef中，edbd，又平面abcd平面bdef，平面abcd平面bdef=bd，所以ed平面abcd.所以ead為直線ae與平面abcd所成的角，故ead=60°.在rtead中，ed=adtanead=1×tan 60°=.

6、如圖，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以da，db，de所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則d(0,0,0)，a(1,0,0)，b(0，0)，e(0,0，)，f(0，)，m(1，)，=(0，)，=(1，0)因?yàn)閐e平面abcd，所以=(0,0，)為平面abcd的一個(gè)法向量設(shè)平面mab的法向量為n=(x，y，z)，所以即整理得令y=1，則x=，z=1，所以n=(，1，1)是平面mab的一個(gè)法向量所以cos ，n=.設(shè)二面角m­ab­c的大小為，由圖可知為鈍角，所以cos =cos，n=.解：(1)證明：在圖中，連接ac，交bd于點(diǎn)g，因?yàn)閏da=dab=90°，所以

7、tancad=，tandba=，所以cad=dba，因?yàn)閏adbag=90°，所以dbabag=90°，所以bdac.所以將abd沿bd折起到pbd的位置后，仍有bdpg，bdcg，如圖所示，又pgcg=g，所以bd平面pcg，又pc平面pcg，所以bdpc.(2)因?yàn)槠矫鎝bd平面pbc，pbpd，平面pbd平面pbc=pb，pd平面pbd，所以pd平面pbc，因?yàn)閜c平面pbc，所以pdpc，又bdpc，bdpd=d，所以pc平面pbd，所以bpcp.以p為坐標(biāo)原點(diǎn)，pc，pb，pd所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則p(0,0,0)，b(0,

8、1,0)，c(，0,0)，d(0,0，)，=(0，1，)，=(，1,0)，易知平面pcd的一個(gè)法向量為m=(0,1,0)，設(shè)n=(x，y，z)為平面bcd的法向量，則即令x=1，則y=，z=1，得n=(1，1)是平面bcd的一個(gè)法向量則cosm，n=，易知二面角p­dc­b為銳角，所以二面角p­dc­b的大小為45°.解：(1)證明：dac=aob，adob.e為pc的中點(diǎn)，o為圓心，連接oe，oepa，又oboe=o，paad=a，平面pad平面eob，be平面eob，be平面pad.(2)四邊形abcd內(nèi)接于圓o且ac為直徑，adcd，又p

9、a平面abcd，pacd，又paad=a，cd平面pad，cdpd，pda是二面角p­cd­a的平面角，tanpda=2，pa=2，ad=1，如圖，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，da所在的直線為x軸，dc所在的直線為y軸，過點(diǎn)d且垂直于平面abcd的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系d­xyz.pa=ac=2，ad=1，延長bo交cd于點(diǎn)f，boad，bfcd，bf=boof，bf=1=，又cd=，df=，p(1,0,2)，b，c(0，0)，=(1，2)，=(0，0)，設(shè)平面pcd的法向量n=(x，y，z)，即令z=1，則x=2，y=0.n=(2,0,1)是平面pcd的一個(gè)法向量，又

10、=，|cos，n|=，直線pb與平面pcd所成角的正弦值為.解：(1)當(dāng)=時(shí)，ce平面bdf.證明如下：連接ac交bd于點(diǎn)g，連接gf(圖略)，cdab，ab=2cd，=，ef=fa，=，gfce，又ce平面bdf，gf平面bdf，ce平面bdf.(2)如圖，取ab的中點(diǎn)o，連接eo，則eoab，平面abe平面abcd，平面abe平面abcd=ab，eo平面abcd，連接do，bocd，且bo=cd=1，四邊形bodc為平行四邊形，bcdo，又bcab，abod，則od，oa，oe兩兩垂直，以od，oa，oe所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系o­xyz，則o(0,0,

11、0)，a(0,1,0)，b(0，1,0)，d(1,0,0)，c(1，1，0)，e(0,0，)當(dāng)=1時(shí)，有=，f，=(1,1,0)，=(1,1，)，=.設(shè)平面bdf的法向量為n=(x，y，z)，則有即令z=，得y=1，x=1，則n=(1，1，)為平面bdf的一個(gè)法向量，設(shè)直線ce與平面bdf所成的角為，則sin =|cos，n|=，故直線ce與平面bdf所成角的正弦值為.解：(1)證明：四邊形abcd是菱形，acbd.又平面bdef平面abcd，平面bdef平面abcd=bd，且ac平面abcd，ac平面bdef.(2)設(shè)acbd=o，取ef的中點(diǎn)n，連接on，四邊形bdef是矩形，o，n分別為

12、bd，ef的中點(diǎn)，oned.ed平面abcd，on平面abcd.由acbd，得ob，oc，on兩兩垂直以o為原點(diǎn)，ob，oc，on所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系底面abcd是邊長為2的菱形，bad=60°，bf=3，a(0，0)，b(1,0,0)，d(1，0,0)，e(1,0,3)，f(1,0,3)，c(0，0)，h.ac平面bdef，平面bdef的法向量=(0,2，0)設(shè)直線dh與平面bdef所成角為，=，sin =|cos，|=，直線dh與平面bdef所成角的正弦值為.(3)由(2)，得=，=(2,0,0)設(shè)平面bdh的法向量為n=(x，y，z)，則令

13、z=1，得n=(0，1)由ed平面abcd，得平面bcd的法向量為=(0,0，3)，則cosn，=，由圖可知二面角h­bd­c為銳角，二面角h­bd­c的大小為60°.解：(1)如圖，取d1e的中點(diǎn)，記為l，連接al，fl，則flec，又ecab，flab，且fl=ab，m，f，l，a四點(diǎn)共面，且平面d1ae平面amfl=al，若mf平面d1ae，則mfal，四邊形amfl為平行四邊形，am=fl=ab.(2)取ae的中點(diǎn)o，過點(diǎn)o作ogab于g，ohbc于h，連接od1.ad1=d1e，d1oae，d1o平面abce，d1oog，d1ooh，

14、又易得ogoh，故og，oh，od1兩兩垂直，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，og，oh，od1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則b(1,3,0)，c(1,3,0)，e(1,1,0)，d1(0,0，)故=(1，3，)，=(1，3，)，=(0，2,0)設(shè)平面cd1e的一個(gè)法向量為m=(x，y，z)，則即取x=，得m=(，0，1)設(shè)直線bd1與平面cd1e所成的角為，則sin =|cosm，|=.即直線bd1與平面cd1e所成的角的正弦值為.解：(1)當(dāng)=，即g為bb1的中點(diǎn)時(shí)，平面cdg平面a1de.證明如下：因?yàn)辄c(diǎn)d，e分別是ab，bc的中點(diǎn)，所以deac且de=ac，又aca1c1，ac=a1

15、c1，所以dea1c1，de=a1c1，故d，e，c1，a1四點(diǎn)共面如圖，連接c1e交gc于h.在正方形cbb1c1中，tanc1ec=2，tanbcg=，故che=90°，即cgc1e.因?yàn)閍1c1平面cbb1c1，cg平面cbb1c1，所以decg，又c1ede=e，所以cg平面a1de，故平面cdg平面a1de.(2)由(1)知，當(dāng)g為bb1的中點(diǎn)時(shí)，平面a1de的一個(gè)法向量為.三棱柱abc­a1b1c1中，acb=90°，cc1底面abc，所以以c為原點(diǎn)，ca，cb，cc1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示因?yàn)閍c=bc=cc1=

16、2，d，e，f分別是棱ab，bc，b1c1的中點(diǎn)，所以c(0,0,0)，a1(2,0,2)，d(1,1,0)，e(0,1,0)，b(0,2,0)，f(0,1,2)，g(0,2,1)，=(2,2，2)，=(2,1,0)，=(0,2,1)由cd知為平面a1de的一個(gè)法向量設(shè)平面a1bf的法向量為n=(x，y，z)，則即令x=1得n=(1,2,1)，為平面a1bf的一個(gè)法向量設(shè)平面a1bf與平面a1de所成的銳二面角為，則cos =，所以平面a1bf與平面a1de所成的銳二面角的余弦值為.解：(1)證明：由題意知，pa=pd=ad，f為pd的中點(diǎn)，可得afpd，平面pad平面abcd，平面pad平面abcd=ad，cd平面abcd，cdad，cd平面pad.又af平面pad，cdaf，又cdpd=d，af平面pcd，又af平面