三角形全等之倍長(zhǎng)中線(含答案和練習(xí))

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載三角形全等之倍長(zhǎng)中線1. 如圖， AD 為 ABC 的中線（1）求證： AB+AC >2AD（2）若 AB=5，AC=3，求 AD 的取值范圍B2. 如圖，在 ABC 中， AD 平分 BAC，且 BD=CD求證： AB=ACB3. 如圖， CB 是 AEC 的中線， CD 是 ABC 的中線，且 AB=AC求證： CE=2CD； CB 平分 DCEE4. 如圖，在 ABC 中，D 是 BC 邊的中點(diǎn)，E 是 AD 上一點(diǎn)，BE=AC， BE 的延長(zhǎng)線交 AC 于點(diǎn) FADCADCCBDAAFE求證： AEF=EAFBDC5.如圖，在 ABC 中， AD 交 BC 于

2、點(diǎn) D，點(diǎn) E 是 BC 的中點(diǎn)， EF AD 交 CA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交 AB 于點(diǎn) G， BG=CF求證： AD 為 ABC 的角平分線FFAAGGBEDCBAEDDC6.如圖，在四邊形 ABCD 中，ADBC，點(diǎn) E 在 BC 上，點(diǎn) F 是FBEC優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載CD 的中點(diǎn)，且 AFAB，已知 AD=2.7， AE=BE=5，求 CE 的長(zhǎng)7. 如圖，在正方形 ABCD 的邊 CB 的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) E，F(xiàn)EB 為等腰直角三角形， FEB=90°，連接 FD ，取 FD 的中點(diǎn) G，連接 EG， CG求證： EG=CG 且 EG CGADGFEBC【參考答案】?jī)?yōu)秀學(xué)習(xí)

3、資料歡迎下載1. （ 1）證明：如圖，A2B1 DCE延長(zhǎng) AD 至 E，使 DE=AD，連接 BE， AE=2AD AD 是 ABC 的中線 BD=CD在 BDE 和 CDA 中BDCD1 2 ED AD BDE CDA（SAS） BE=AC在 ABE 中， AB+BE>AE AB+AC>2AD（ 2）解：由可知AE=2AD，BE=AC在 ABE 中，AB BE<AE<AB+BE AC=3，AB=5 5 3<AE<5+3 2<2AD<8 1<AD<42.證明：如圖，延長(zhǎng)AD 到 E，使 DE=AD，連接 BE優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載A1

4、 23BC4DE在 ADC 和 EDB 中CDBD3 4 AD ED ADC EDB（SAS） AC=EB， 2=E AD 平分 BAC 1= 2 1= E AB=BE AB=AC3. 證明：如圖，C451EB 32 DAF延長(zhǎng) CD 到 F，使 DF=CD，連接 BF CF=2CD CD 是 ABC 的中線 BD=AD在 BDF 和 ADC 中BDAD2 1 DF DC BDF ADC（SAS） BF=AC， 3=A CB 是 AEC 的中線優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載 BE=AB AC=AB BE=AC BE=BF CBE 是 ABC 的一個(gè)外角 CBE= BCA+A=BCA+3 AC=AB BC

5、A= CBA CBE= CBA+3= CBF在 CBE 和 CBF 中CBCBCBECBFBEBF CBE CBF（SAS） CE=CF，4=5 CE=2CDCB 平分 DCE4. 證明：如圖，延長(zhǎng) AD 到 M，使 DM=AD，連接 BMAFEBCDM D 是 BC 邊的中點(diǎn) BD=CD在 ADC 和 MDB 中CDBDADCMDBADMD ADC MDB （SAS） CAD= M，AC=MB BE=AC BE=MB M=BEM CAD= BEM優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載 AEF=BEM CAD= AEF即 AEF=EAF5. 證明：如圖，延長(zhǎng) FE 到 M，使 EM=EF，連接 BMFAG 1

6、23BEDCM點(diǎn) E是BC的中點(diǎn) BE=CE在 CFE 和 BME 中FEMECEFBEMCEBE CFE BME（SAS） CF=BM， F=M BG=CF BG=BM 3= M 3= F AD EF 2=F，1=3 1= 2即 AD 為 ABC 的角平分線6. 解：如圖，延長(zhǎng) AF 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) GA D35 41 F 2BECG AD BC 3= G點(diǎn)F是CD的中點(diǎn) DF=CF優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載在 ADF 和 GCF 中3 G1 2 DF CF ADF GCF（AAS ） AD=CG AD=2.7 CG=2.7 AE=BE 5= B AB AF 4+ 5=90°B+

7、G=90° 4= G EG=AE=5 CE=EG CG=5 2.7=2.37. 證明：如圖，延長(zhǎng) EG，交 CD 的延長(zhǎng)線于 MMADGFEBC由題意， FEB=90°， DCB=90° DCB+ FEB=180° EF CD FEG= M點(diǎn)G為FD 中點(diǎn) FG=DG在 FGE 和 DGM 中FEGMFGEDGMFGDG FGE DGM （ AAS ） EF=MD ，EG=MG FEB 是等腰直角三角形 EF=EB優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載 BE=MD在正方形 ABCD 中， BC=CD BE+BC=MD+CD即 EC=MC ECM 是等腰直角三角形 EG=M

8、G EG CG， ECG=MCG=45° EG=CG全等三角形之倍長(zhǎng)中線每日一題1. （4 月 21 日）已知：如圖，在梯形 ABCD 中， ADBC，AB=AD+BC， E 是 CD 的中點(diǎn)求證： AEBEADEBC2. （4 月 22 日）已知：如圖， ABC 與 BDE 均為等腰直角三角形， BAAC，EDBD，垂足分別為 A，D，連接 EC，F(xiàn) 為 EC 中點(diǎn)，連接 AF，DF ，猜測(cè) AF， DF 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由AEDFBC優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載3. （4 月 23 日）已知：如圖， D 為線段 AB 的中點(diǎn)，在 AB 上任取一點(diǎn) C（不與點(diǎn) A，B，D 重

9、合），分別以 AC，BC 為斜邊在 AB 同側(cè)作等腰 Rt ACE 與等腰 RtBCF，AEC=CFB=90°，連接DE，DF，EF求證： DEF 為等腰直角三角形FEACDBA4. （4 月 24 日）已知：如圖，在四邊形 ABCD 中， ABDC，E為 BC 邊的中點(diǎn)， BAE=EAF，AF 與 DC 的延長(zhǎng)線相交于D點(diǎn) F試探究線段 AB 與 AF，CF 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由 BECF【參考答案】1.證明：延長(zhǎng) AE 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載A DEBCF AD BC D=DCF，DAE=F E是 CD 的中點(diǎn) DE=CE在 ADE 和 FCE 中

10、D FCEDAEFDECE ADE FCE（AAS ） AD=FC，AE=FE AB=AD+BC AB=CF+BC=BF在 ABE 和 FBE 中ABFBBEBEAEFE ABE FBE（ SSS） AEB=FEB=90°即 AEBE2. 解： AFDF ，AF=DF ，理由如下：延長(zhǎng) DF 交AC于點(diǎn) P.AEPDFBC優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載 BA AC， ED BD BAC= EDA= 90° DE AC DEC= ECA F為 EC中點(diǎn) EF=CF在 EDF 和 CPF 中DEFPCFEFCF EFD CFP EDF CPF（ASA ） DE=CP，DF=PF ABC

11、與 BDE 均為等腰直角三角形 AB=AC，DE=BD AB BD=AC DE=AC CP即 AD=AP在 DAF 和 PAF 中DFPFAFAFADAP DAF PAF（ SSS） DFA=PFA=90°， DAF=PAF=45° AF DF， AF=DF3. 證明：延長(zhǎng) ED 到點(diǎn) G，使 DG=DE，連接 BG，F(xiàn)GFEACDBG D 為線段 AB 的中點(diǎn) AD=BD在 EDA 和 GDB 中EDGD EDA GDB DA DB優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載 EDA GDB（SAS） EA=GB， A=GBD ACE 與 BCF 是等腰直角三角形 AE=CE=BG， CF=FB

12、， A=ECA=FCB=FBC=45° ECF=90°， GBF=GBD+FBD =90°在 ECF 和 GBF 中ECGB ECF GBF CF BF ECF GBF（SAS） EF=GF， EFC=GFB CFB= CFG+GFB=90° EFG= EFC+CFG=90°在 EFD 和 GFD 中EFGFFDFDEDGD EFD GFD （SSS） EDF= GDF=90°， EFD=GFD=45° DE=DF DEF 為等腰直角三角形4. 解： AB=AF+CF，理由如下：延長(zhǎng) AE 交 DF 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) GADBE

13、CFG E 為 BC 邊的中點(diǎn) BE=CE AB DC B=BCG， BAG= G在 ABE 和 GCE 中 B GCE BAE G BE CE優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載 ABE GCE（AAS ） AB=GC BAE=EAF G=EAF AF=GF GC=GF+FC AB=AF+CF三角形全等之倍長(zhǎng)中線（隨堂測(cè)試）1.在 ABC 中， AC=5，中線 AD=4，則邊 AB 的取值范圍是 _2. 已知：如圖，在 ABC 中， ABAC，D，E 在 BC 上，且 DE=EC，過 D 作 DF AB 交 AE 于點(diǎn)F，DF=AC求證： AE 平分 BACAFBDEC【參考答案】1. 3<AB<

14、;132. 證明略（提示：延長(zhǎng) AE 到點(diǎn) G，使 EG=EF，連接 CG，證明 DEF CEG）優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載三角形全等之倍長(zhǎng)中線（作業(yè)）1. 已知：如圖，在 ABC 中，AB=4，AC=2，點(diǎn) D 為 BC 邊的中點(diǎn)，且 AD 是整數(shù)，則 AD=_ABDC2. 已知：如圖， BD 平分 ABC 交 AC 于 D，點(diǎn) E 為 CD 上一點(diǎn)，且 AD=DE， EF BC 交 BD 于F求證： AB=EFADFEBC3. 已知：如圖，在 ABC 中， AD 是 BC 邊上的中線，分別以 AB，AC 為直角邊向外作等腰直角三角形求證： EF=2ADEAFBDC4. 如圖，在 ABC 中， AB >AC， E 為 BC 邊的中點(diǎn)， AD 為 BAC 的平分線，過 E 作 AD 的平行線，交 AB 于 F，交 CA 的延長(zhǎng)線于 G求證： BF=CG優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載GAFBEDC5. 如圖，在四邊形 ABCD 中，ADBC，點(diǎn) E 在 BC 上，點(diǎn) F 是 CD 的中點(diǎn)，連接 AF，若 DAF= EAF，求證： AFEFADFBEC【參考答案】1. 22.