人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)圓知識(shí)點(diǎn)歸納及練習(xí)(含答案)

1、圓24.1.1圓知識(shí)點(diǎn)一圓的定義圓的定義： 第一種： 在一個(gè)平面內(nèi)， 線段 OA 繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)一周， 另一個(gè)端點(diǎn) A 所形成的圖形叫作圓。固定的端點(diǎn) O 叫作圓心，線段OA 叫作半徑。第二種：圓心為O ，半徑為 r 的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O 的距離等于定長(zhǎng) r 的點(diǎn)的集合。比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進(jìn)行描述的，第二種是運(yùn)用集合的觀點(diǎn)下的定義，但是都說明確定了定點(diǎn)與定長(zhǎng)，也就確定了圓。知識(shí)點(diǎn)二圓的相關(guān)概念（ 1） 弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫作直徑。（ 2） ?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每

2、一條弧都叫做半圓。（ 3） 等圓：等夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。（ 4）等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長(zhǎng)度相等的弧。垂直于弦的直徑知識(shí)點(diǎn)一圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸。知識(shí)點(diǎn)二垂徑定理（ 1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。如圖所示，直徑為CD， AB 是弦，且CDAB，AM=BM垂足為 MAC =BCAD=BDCMABD垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧如上圖所示，直徑CD 與非直徑弦

3、AB 相交于點(diǎn) M，CDAB AM=BMAC=BC AD=BD注意：因?yàn)閳A的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，否則結(jié)論不成立?；?、弦、圓心角知識(shí)點(diǎn)弦、弧、圓心角的關(guān)系（1） 弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。（ 2） 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余的各組量也相等。（ 3） 注意不能忽略同圓或等圓這個(gè)前提條件，如果丟掉這個(gè)條件，即使圓心角相等，所對(duì)的弧、弦也不一定相等，比如兩個(gè)同心圓中，兩個(gè)圓心角相同，但此時(shí)弧、弦不一定相等。圓周角知識(shí)點(diǎn)一圓周角定理（ 1）

4、 圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。（ 2） 圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)弦是直徑。（ 3） 圓周角定理揭示了同弧或等弧所對(duì)的圓周角與圓心角的大小關(guān)系?！巴』虻然　笔遣荒芨臑椤巴一虻认摇钡?，否則就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩類。知識(shí)點(diǎn)二圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)圓內(nèi)接多邊形：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。24.2 點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系24.2.1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)

5、一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)（ 1）三種。（ 2）用數(shù)量關(guān)系表示： 若設(shè) O 的半徑是 r ，點(diǎn) P 到圓的距離 OP=d，則有：點(diǎn)P在圓外d r ；點(diǎn) p 在圓上d=r ；點(diǎn) p 在圓內(nèi)dr 。知識(shí)點(diǎn)二過已知點(diǎn)作圓 （ 1） 經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)的圓（如點(diǎn)A ）以點(diǎn) A 外的任意一點(diǎn)（如點(diǎn)O）為圓心，以O(shè)A 為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數(shù)個(gè)。·O1A ·O2·O3（ 2） 經(jīng)過兩點(diǎn)的圓（如點(diǎn) A 、B）以線段 AB 的垂直平分線上的任意一點(diǎn)（如點(diǎn) O）為圓心，以 OA（或 OB）為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數(shù)個(gè)。A

6、B（ 3） 經(jīng)過三點(diǎn)的圓經(jīng)過在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，即經(jīng)過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作圓，且只能作一個(gè)圓。如經(jīng)過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A 、 B、 C 作圓，作法：連接AB、BC（或 AB、 AC 或 BC、 AC）并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點(diǎn)O，以點(diǎn) O 為圓心，以O(shè)A（或 OB、 OC）的長(zhǎng)為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓只能作一個(gè)。AOBC知識(shí)點(diǎn)三 三角形的外接圓與外心 （ 1） 經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。（ 2） 外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。知識(shí)點(diǎn)四 反證

7、法（ 1） 反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。（ 2） 反證法的一般步驟：假設(shè)命題的結(jié)論不成立；從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結(jié)論；由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原命題正確。直線和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系（ 1） 直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。（ 2） 直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示若設(shè) O 的半徑是r ，直線與圓心的距離為d ，則有：直線 l和 O 相交 d r ；直線 l和 O 相切 d = r；直線l和O 相離d r。

8、知識(shí)點(diǎn)二切線的判定和性質(zhì)（ 1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（ 2） 切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過（ 3） 切點(diǎn)；必過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。知識(shí)點(diǎn)三切線長(zhǎng)定理（ 1） 切線長(zhǎng)的定義：經(jīng)過園外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾（ 2） 角。注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的；

9、 切線長(zhǎng)是一條線段的長(zhǎng)，（ 3） 這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是在圓外一點(diǎn)，另一個(gè)是切點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)四三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心(1) 三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。(2) 三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。(3) 注意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時(shí)，過三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。圓和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一圓與圓的位置關(guān)系（1）圓與圓的位置關(guān)系有五種：如果兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，就說這兩個(gè)圓相離，包括外離和內(nèi)含兩種；如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，就說這兩個(gè)圓相切，包括內(nèi)切和外切兩種；如果兩個(gè)

10、圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，就說這兩個(gè)圓相交。（ 2）圓與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系來表示：若設(shè)兩圓圓心之間的距離為d ，兩圓的半徑分別是 r1r2, 且 r1 r，則有2兩圓外離d r +r2兩圓外切d=r+r2兩圓相交2-r d r+r2兩圓內(nèi)切d=r-r1兩 圓 內(nèi)11112含d r -r1224.3 正多邊形和圓知識(shí)點(diǎn)一正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成 n （n 是大于 2的自然數(shù)） 等份，順次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。正多邊形的半徑：外接圓的

11、半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識(shí)點(diǎn)二正多邊形的性質(zhì)（ 1）正 n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。（ 2） 所有的正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，每個(gè)正n邊形共有 n 條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都經(jīng)過正n 邊形的中心；當(dāng)正 n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)正n 邊形也是中心對(duì)稱圖形，正n邊形的中心就是對(duì)稱中心。(n 2)360（ 3）正 n邊形的每一個(gè)內(nèi)角180，中心角和外角相等，。等于n等于n24.4弧長(zhǎng)和扇形面積n R知識(shí)點(diǎn)一弧長(zhǎng)公式 l=180nnR在半徑為

12、R 的圓中，360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓的周長(zhǎng) C=2 R，所以 n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)36×2R1800的計(jì)算公式 l=。知識(shí)點(diǎn)二扇形面積公式n R 2在半徑為R 的圓中， 360°的圓心角所對(duì)的扇形面積就是圓的面積S= R2 ，所以圓心角為n°的扇形的面積為S扇形 =360。比較扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式發(fā)現(xiàn)：n Rn2R111lR,所以2S扇形360182R 2s扇=0形lR知識(shí)點(diǎn)三圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面積是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面展開，容易得到圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)s 圓錐側(cè)12 rl為 l ，

13、底面圓的半徑為r ，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2 r ，因此圓錐的側(cè)面積2rl 。圓錐的全面積為s 圓錐全s 圓錐側(cè)s 底rlr2。練習(xí)：一選擇題（共 10 小題）1下列說法，正確的是（）A 弦是直徑B 弧是半圓C半圓是弧D 過圓心的線段是直徑2如圖，在半徑為 5cm 的 O 中，弦 AB=6cm ，OCAB 于點(diǎn) C，則 OC=（）A 3cmB4cmC 5cm D6cm（2 題圖）（3 題圖）（4 題圖）（5 題圖）（8 題圖）3一個(gè)隧道的橫截面如圖所示，它的形狀是以點(diǎn)O 為圓心， 5 為半徑的圓的一部分， M 是 O 中弦 CD的中點(diǎn)， EM 經(jīng)過圓心 O 交 O 于點(diǎn) E若 C

14、D=6，則隧道的高（ ME 的長(zhǎng)）為（）A 4B6 C8 D94如圖， AB 是 O 的直徑， = ， COD=34°，則 AEO 的度數(shù)是（）A51°B56°C 68°D 78°5如圖，在 O 中，弦 AC半徑 OB， BOC=50°，則 OAB 的度數(shù)為（）A25°B50°C60°D 30°6 O 的半徑為 5cm，點(diǎn) A 到圓心 O 的距離 OA=3cm，則點(diǎn) A 與圓 O 的位置關(guān)系為（）A點(diǎn) A 在圓上B 點(diǎn)A在圓內(nèi)C點(diǎn) A 在圓外D 無法確定7已知 O 的直徑是 10，圓心 O 到直

15、線 l 的距離是 5，則直線 l 和 O 的位置關(guān)系是（）A 相離B相交C 相切D外切8如圖，正六邊形 ABCDEF 內(nèi)接于 O，半徑為 4，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM 和的長(zhǎng)分別為（）A2，B2 ，C，D2，9如圖，四邊形 ABCD 是 O 的內(nèi)接四邊形， O 的半徑為 2， B=135°，則的長(zhǎng)（）A 2B CD10如圖，直徑 AB 為 12 的半圓，繞 A 點(diǎn)逆時(shí)針旋 轉(zhuǎn) 60°，此時(shí)點(diǎn) B 旋轉(zhuǎn)到點(diǎn) B，則圖中陰影部分的面積是（）A 12B24C 6 D36二填空題（共10 小題）11如圖， AB 是 O 的直徑， CD 為 O 的一條弦， CDAB 于點(diǎn) E，已知

16、 CD=4，AE=1 ，則 O 的半徑為（9 題圖）12如圖，在 ABC（10 題圖）（ 11 題圖）（12 題圖）中， C =90°， A=25°，以點(diǎn) C 為圓心， BC 為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn) E，則的度數(shù)為13如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB為 O 的直徑，點(diǎn)C 為的中點(diǎn)若A=40°，則 B=度（13 題圖）（14 題圖）（15 題圖）（17 題圖）14如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，半徑為 2 的 P 的圓心 P 的坐標(biāo)為（軸正方向平移，使 P 與 y 軸相切，則平移的距離為15如圖，點(diǎn) O 是正五邊形 ABCDE 的中心，則 BAO

17、 的度數(shù)為3，0），將 P 沿x16已知一條圓弧所在圓半徑為9，弧長(zhǎng)為，則這條弧所對(duì)的圓心角是17如圖，在邊長(zhǎng)為4 的正方形 ABCD 中，先以點(diǎn) A 為圓心， AD 的長(zhǎng)為半徑畫弧，再以AB 邊的中點(diǎn)為圓心， AB 長(zhǎng)的一半為半徑畫弧，則兩弧之間的陰影部分面積是（結(jié)果保留 ）18已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長(zhǎng)為 5，則圓錐的全面積是19如果圓柱的母線長(zhǎng)為5cm，底面半 徑為 2cm，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是20半 徑為 R 的圓中，有一弦恰好等于半徑，則弦所對(duì)的圓心角為三解答題（共5 小題）21如圖，已知圓 O 的直徑 AB 垂直于弦 CD 于點(diǎn) E，連接 CO 并延長(zhǎng)交 AD 于點(diǎn) F，且

18、 CFAD （1）請(qǐng)證明： E 是 OB 的中點(diǎn)；（2）若 AB=8，求 CD 的長(zhǎng)22已知：如圖， C，D 是以 AB 為直徑的 O 上的兩點(diǎn)，且 OD BC求證： AD=DC 23如圖，在 ABC 中， AB=AC ，以 AB 為直徑的 O 分別與 BC，AC 交于點(diǎn) D， E，過點(diǎn) D 作 O 的切線 DF，交 AC 于點(diǎn) F（1）求證： DF AC ；（2）若 O 的半徑為 4， CDF=22.5°，求陰影部分的面積24如圖， OAB 中， OA=OB=4 ， A=30°，AB 與 O 相切于點(diǎn) C，求圖中陰影部分的面積 （結(jié)果保留 ）25一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖示的數(shù)據(jù)計(jì)算出該幾何體的表面積新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二十四章圓單元試題參考答案一選擇題（共10 小題）1C2B3D4A5A6B7C8D9B10B二填空題（共10 小題）1112 50°1370 141 或 51554°1650°172218241920 cm2060°三解答題（共5 小題）21（1）證明：連接AC ，如圖直徑 AB 垂直于弦 CD 于點(diǎn) E， AC=AD ，過圓心 O 的線 CF AD ， AF=DF ，即 CF 是 AD 的中垂線， AC=CD ，AC=AD=CD 即： ACD 是等邊三角形， FCD=30°，在