同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式知識(shí)講解經(jīng)典實(shí)用

1、同角三角函數(shù)基本關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.借助單位圓，理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式: ，掌握已知一個(gè)角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的方法；2會(huì)運(yùn)用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求三角函數(shù)值、化簡三角式或證明三角恒等式?！疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：(2)商數(shù)關(guān)系：(3)倒數(shù)關(guān)系：，要點(diǎn)詮釋：(1)這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角(使得函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立；(2)是的簡寫；(3)在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對(duì)值的概念，應(yīng)注意“”的選取。要點(diǎn)二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形1平方關(guān)系式的變形：，2商數(shù)關(guān)系式的變形?！镜湫屠}

2、】類型一：已知某個(gè)三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值例1已知tan=2，求sin，cos的值。【思路點(diǎn)撥】先利用,求出sin=2cos，然后結(jié)合sin2+cos2=1，求出sin，cos?！窘馕觥?解法一：tan=2，sin=2cos。 又sin2+cos2=1， 由消去sin得(2cos)2+cos2=1，即。當(dāng)為第二象限角時(shí)，代入得。當(dāng)為第四象限角時(shí)，代入得。解法二：tan=20，為第二或第四象限角。又由，平方得。，即。當(dāng)為第二象限角時(shí)，。當(dāng)為第四象限角時(shí)，?！究偨Y(jié)升華】解答此類題目的關(guān)鍵在于充分借助已知角的三角函數(shù)值，縮小角的范圍。在解答過程中如果角所在象限已知，則另兩個(gè)三角函數(shù)值結(jié)果唯一；若

3、角所在象限不確定，則應(yīng)分類討論，有兩種結(jié)果，需特別注意：若已知三角函數(shù)值以字母a給出，應(yīng)就所在象限討論。舉一反三：【變式1】已知是的一個(gè)內(nèi)角，且，求【思路點(diǎn)撥】根據(jù)可得的范圍：再結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系式求解.【解析】為鈍角，由平方整理得例2已知cos=m（1m1），求sin的值?！窘馕觥浚?）當(dāng)m=0時(shí)，角的終邊在y軸上，當(dāng)角的終邊在y軸的正半軸上時(shí)，sin=1；當(dāng)角的終邊在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，sin=1。（2）當(dāng)m=±1時(shí)，角的終邊在x軸上，此時(shí)，sin=0。（3）當(dāng)|m|1且m0時(shí)，sin2=1cos2=1m2，當(dāng)角為第一象限角或第二象限角時(shí)，當(dāng)角為第三象限角或第四象限角時(shí)，?！究?/p>

4、結(jié)升華】 當(dāng)角的范圍不確定時(shí)，要對(duì)角的范圍進(jìn)行討論，切記不要遺漏終邊落在坐標(biāo)軸上的情況。類型二：利用同角關(guān)系求值例3已知：求：（1）的值；（2）的值；（3）的值；（4）及的值【思路點(diǎn)撥】同角三角函數(shù)基本關(guān)系是反映了各種三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，為三角函數(shù)式的恒等變形提供了工具與方法?！敬鸢浮浚?）（2）（3）0（4）或【解析】（1）由已知 （2）（3）（4）由，解得或【總結(jié)升華】本題給出了及三者之間的關(guān)系，三者知一求二，在求解的過程中關(guān)鍵是利用了這個(gè)隱含條件。舉一反三：【變式1】已知，求下列各式的值：（1）；（2）sin3+cos3?！窘馕觥?因?yàn)椋?，所以。?） （2）。【總結(jié)升華】 對(duì)于

5、已知sin±cos=m型的問題，常有兩種解法：一是兩邊平方，得±2sincos=m21，聯(lián)立以上兩個(gè)式子解出sin，cos的值，從而使問題得以解決；二是對(duì)所求式子進(jìn)行變形，化為sin±cos，sin·cos的形式代入求解，解題時(shí)注意正、負(fù)號(hào)的討論與確定。例4已知tan=3，求下列各式的值。（1）；（2）；（3）?！舅悸伏c(diǎn)撥】由已知可以求出，進(jìn)而代入得解，但過程繁瑣。在關(guān)于“齊次”式中可以使用“弦化切”，轉(zhuǎn)化成關(guān)于tan的式子，然后利用已知求解.【解析】（1）原式的分子分母同除以cos（cos0）得，原式。（2）原式的分子分母同除以cos2（cos20）得

6、，原式。（3）用“1”來代換，原式。【總結(jié)升華】 已知tan的值，求關(guān)于sin、cos的齊次式的值問題如（1）、（2）題，cos0，所以可用cosn（nn*）除之，將被求式轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan的表示式，可整體代入tan=m的值，從而完成被求式的求值；在（3）題中，求形如a sin2+b sincos+c cos2的值，注意將分母的1化為1=sin2+cos2代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan的表達(dá)式后再求值。舉一反三：【變式1】（1）已知tan=3，求sin23sincos+1的值；（2）已知，求的值。【解析】（1）tan=3，1=sin2+cos2，原式 。（2）由，得，解得：。類型三：利用同角關(guān)系化簡三角

7、函數(shù)式例5化簡：?！窘馕觥?解法一：原式 。解法二：原式 。解法三：原式 ?！究偨Y(jié)升華】以上三種解法雖然思路不同，但是主要都是應(yīng)用公式sin2+cos2=1，解法二和解法三都是順用公式，而解法一則是逆用公式，三種解法中，解法一最為簡單。這里，所謂逆用公式sin2+cos2=1，實(shí)質(zhì)上就是“1”的一種三角代換：“1=sin2+cos2”，1的三角代換在三角函數(shù)式的恒等變形過程中有著廣泛的應(yīng)用。舉一反三：【變式1】化簡（1）； （2）；（3）； （4）【答案】（1）1（2）（3）略（4）略【解析】（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式= = =，類型四：利用同角關(guān)系證明三角恒等式例6求證：。【思路點(diǎn)撥】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式對(duì)式子的左邊或右邊進(jìn)行化簡，使之與式子的另一邊相同。【解析】 證法一：右邊 =左邊。證法二：左邊，右邊，所以左邊=右邊，原等式成立。證法三：左邊，右邊，所以左邊=右邊，原等式成立。【總結(jié)升華】 本題主要考查三角恒等式的證明方法。就一般情況而言，證明三角恒等式時(shí)，可以從左邊推到右邊，也可以從右邊推到左邊，本著化繁就簡的原則，即從較繁的一邊推向較簡的一邊；還可以將左、右兩邊同時(shí)推向一個(gè)中間結(jié)果；有時(shí)候改證其等價(jià)命題更為方便。但是，不管采取哪一種方式，證明時(shí)都要“盯住目標(biāo)，據(jù)果變形”?；喿C明過程中常用的技巧有：弦切互化，運(yùn)用分式的基本性質(zhì)變形，分