數(shù)列的通項(xiàng)公式的幾種常用求法文科

1、1、 公式法：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法：若在已知數(shù)列中存在：（常數(shù)）或的關(guān)系，可采用求等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，確定數(shù)列的通項(xiàng)。2、非等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法。（1）觀察法：通過(guò)觀察數(shù)列中的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，找出項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系。（2）累差法： 若在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：的關(guān)系，可用“類差法”求通項(xiàng)。例、在數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：由已知，n取1，2，3，然后把(n-1)個(gè)等式相加。解：由已知得：。把上面（n-1）個(gè)等式相加得：（3）累積法： 若在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：的關(guān)系，可用“累積法”求通項(xiàng)。例、在數(shù)列中，且有：，共線，求數(shù)列的通項(xiàng) 分析：根據(jù)共線，得：，然

2、后利用累積法求通項(xiàng)。 解：由已知得： 。3：若在已知數(shù)列中存在：或的關(guān)系，可以利用求數(shù)列的通項(xiàng)。例、已知數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：根據(jù)已知條件：求出與n的關(guān)系式，再根據(jù)，求出數(shù)列的通項(xiàng)。解：由-（1）得：-（2）把代入（2）得：整理得：，易求得，由此可知：數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列。故，即而且n=1時(shí)，也滿足上式。· 對(duì)一切的，都有。例.數(shù)列前n項(xiàng)和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式.解：（1）由得：，于是 所以.（2）應(yīng)用類型4的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以·4 輔助數(shù)列法：對(duì)于遞推公式確定的數(shù)

3、列的求解，通?？梢酝ㄟ^(guò)遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。類型1 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。(2006.重慶.14）數(shù)列中，若，則通項(xiàng) 例. 已知數(shù)列中，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則, 所以.例、數(shù)列a滿足a=1，a=a+1（n2），求數(shù)列a的通項(xiàng)公式。解：由a=a+1（n2）得a2=（a2），而a2=12=1，數(shù)列 a2是以為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列a2=（） a=2（）變形.遞推式：解法：只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來(lái)

4、的差異例設(shè)數(shù)列：，求.解：設(shè)，將代入遞推式，得（）則,又，故代入（）得說(shuō)明：（1）若為的二次式，則可設(shè);(2)本題也可由 ,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.類型2形如:遞推式，考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有令則可歸為型。(取倒數(shù)法)例：解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，類型3 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)） 解法：該類型較類型3要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型3的方法解決。例. 已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,應(yīng)用例7解法得：所以例已知數(shù)列滿足， ，求解：將兩邊同除，得設(shè)，則令條件可化成，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的

5、等比數(shù)列因,類型4 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足，再應(yīng)用前面類型3的方法求解。例. 已知數(shù)列中，,，求。解：由可轉(zhuǎn)化為即或這里不妨選用（當(dāng)然也可選用，大家可以試一試），則是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,所以,應(yīng)用類型1的方法，分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即又，所以。類型5 雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例11. 已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當(dāng)時(shí)，,，求,.解：因所以即（1）又因?yàn)樗?即（2）由（1）、（2）得：， 2、通過(guò)分解系數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的形式求解。這種方法適用于型的遞推式，通過(guò)對(duì)系數(shù)p

6、的分解，可得等比數(shù)列：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得。例：已知數(shù)列滿足（i）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （ii）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；例、數(shù)列滿足=0，求數(shù)列a的通項(xiàng)公式。分析：遞推式中含相鄰三項(xiàng)，因而考慮每相鄰兩項(xiàng)的組合，即把中間一項(xiàng)的系數(shù)分解成1和2，適當(dāng)組合，可發(fā)現(xiàn)一個(gè)等比數(shù)列。解：由得即，且是以2為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列 利用逐差法可得 = = = = 例、數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得設(shè)比較系數(shù)得，解得或若取，則有是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列由逐差法可得=說(shuō)明：若本題中取，則有即得為常數(shù)列, 故可轉(zhuǎn)化為例13。例已知數(shù)列滿足,求解：設(shè)或則條件可以化為是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化

7、為利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)的問(wèn)題，解得點(diǎn)評(píng)：遞推式為（p、q為常數(shù)）時(shí)，可以設(shè)，其待定常數(shù)s、t由,求出，從而化歸為上述已知題型2、對(duì)于由遞推公式，例20：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一（待定系數(shù)迭加法）由，得，且。則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是。把代入，得，。把以上各式相加，得。六、構(gòu)造法 構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)條件與結(jié)論的充分剖析，有時(shí)會(huì)聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型，如某種數(shù)量關(guān)系，某個(gè)直觀圖形，或者某一反例，以此促成命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點(diǎn)就是“構(gòu)造”.若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，此類題通常較難，但使用構(gòu)造

8、法往往給人耳目一新的感覺(jué).1、構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然，對(duì)于一些遞推數(shù)列問(wèn)題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無(wú)疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.例： 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有等式：成立，求的通項(xiàng)an.解：， ，. 即是以2為公差的等差數(shù)列，且.例： 數(shù)列中前n項(xiàng)的和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：當(dāng)n2時(shí)， 令，則，且是以為公比的等比數(shù)列， .2、構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式.例： 設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，（nn*），求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：由題設(shè)得.，.例： 數(shù)列中，且，（nn*），求通項(xiàng)公式.解：（nn*）3、構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡(jiǎn)單方法.例： 數(shù)列中，前n項(xiàng)的和，求.解： ，4、構(gòu)造對(duì)數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)