考研數(shù)學(xué)三必背知識(shí)點(diǎn)微積分

1、微積分必考知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)、極限與連續(xù)性1、無窮小量（假設(shè)：）(1)若，則為的高階無窮小量，記為(2)若，則為的低階無窮小量(3)若，則為的同階無窮小量(4)若，則為的等價(jià)無窮小量，記為2、常見無窮小等價(jià)代換（時(shí)）2、極限存在準(zhǔn)則(1) 夾逼準(zhǔn)則：若，且，則有(2) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限(3) 兩個(gè)重要極限：3、間斷點(diǎn)(1) 第一類間斷點(diǎn)：都存在，當(dāng)時(shí)為可去間斷點(diǎn)，時(shí)為跳躍間斷點(diǎn)。(2) 第二類間斷點(diǎn)：其中一個(gè)不存在。4、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)定理(1) 零點(diǎn)定理：設(shè)在上連續(xù)，則必有使得(2) 介值定理：設(shè)在上連續(xù)，且有c介于之間，則必有使得(3) 最值定理：設(shè)在上連續(xù)，分別為最大最小值，且，則必有使

2、得二、一元函數(shù)微分學(xué)1、導(dǎo)數(shù)(1) 導(dǎo)數(shù)的概念當(dāng)，則(2) 左右導(dǎo)數(shù)2、常用基本求導(dǎo)公式3、導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算：4、微分中值定理(1) 羅爾中值定理：如果滿足在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則在有(2) 拉格朗日中值定理：如果滿足在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在有(3) 柯西中值定理：如果滿足在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在有(4) 泰勒公式(的麥克勞林公式)：5、洛必達(dá)法則：當(dāng)時(shí)，函數(shù)都趨于零或者趨于無窮大，則注意：洛必達(dá)法則只適用于“”“”型極限，而其它類型極限需要變形和化簡為此二類極限。6、函數(shù)單調(diào)性和凹凸性：若對(duì)于任意的符號(hào)在內(nèi)的符號(hào)在內(nèi)單增凹單減凸7、函數(shù)極值：設(shè)在點(diǎn)可導(dǎo)，且時(shí)符號(hào)時(shí)符號(hào)的符號(hào)極值點(diǎn)的判斷為極大值

3、點(diǎn)為極小值點(diǎn)兩側(cè)同號(hào)，則不是極值點(diǎn)判別法失效8、漸近線漸近線名稱約束條件漸近線公式水平漸近線鉛直漸近線斜漸近線三、一元函數(shù)積分學(xué)1、不定積分(1) 三角換元法：形如則，用，則原積分化為(2) 分部積分法：或者選取分部積分的原則：等式右邊積分中的求導(dǎo)很簡單且有利于簡化計(jì)算2、定積分(1) 定積分存在定理：若在內(nèi)連續(xù)，則定積分存在若在內(nèi)有界且有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則定積分存在(2) 定積分中值定理：如果在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則在上至少有一點(diǎn)使得(3) 牛頓-萊布尼茨公式：設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且為一個(gè)原函數(shù)，則有(4) 對(duì)稱區(qū)間上的定積分：當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，(5) 周期函數(shù)定積分：當(dāng)為以t為周期時(shí)，總有(6

4、) 定積分分部積分公式：3、反常積分(1) 無窮區(qū)間的反常積分收斂性若或者存在，則或者收斂，反之則發(fā)散。若和都收斂，則收斂，反之則發(fā)散。當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。(2) 無界函數(shù)的反常積分收斂性若或者存在，則收斂，反之則發(fā)散。若和都存在，則收斂，反之則發(fā)散。當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。4、定積分應(yīng)用定積分應(yīng)用計(jì)算公式平面圖形面積曲線圍成的圖形旋轉(zhuǎn)體體積曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的體積曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積四、多元函數(shù)微積分學(xué)1、全微分若在區(qū)域d內(nèi)可微分，則在d內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)，所對(duì)應(yīng)的全微分為2、復(fù)合函數(shù)微分法(1) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處，有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)有對(duì)x與y的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且有對(duì)

5、應(yīng)鏈?zhǔn)椒▌t(2) 其他特殊情況：函數(shù)形式對(duì)x和y求的偏導(dǎo)3、一階微分形式不變性：4、隱函數(shù)微分法(1) 若由方程確定，且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則有(2) 若由方程確定，且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有5、無條件極值(1) 必要條件：設(shè)在點(diǎn)處有偏導(dǎo)數(shù)，且該點(diǎn)為極值點(diǎn)，則(2) 充分條件：設(shè)在點(diǎn)處有連續(xù)一、二階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，且，記，則有：約束條件極值點(diǎn)判斷是極值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)不是極值點(diǎn)判別法失效6、條件極值：求在條件下的極值基本步驟：(1) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)(2) 聯(lián)立偏導(dǎo)方程組，解出駐點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)實(shí)際情況判斷是否為極值點(diǎn)。7、二重積分(1) 性質(zhì)：被積函數(shù)相加減等于分別積分再加減。積分區(qū)域可以進(jìn)行加減。

6、積分區(qū)域的面積(2) 直角坐標(biāo)系：(3) 極坐標(biāo)系：，其中(4) 對(duì)稱區(qū)間上的二重積分若為x的奇函數(shù)，在關(guān)于y軸對(duì)稱的區(qū)域d上當(dāng)函數(shù)連續(xù)時(shí)，有若為x的偶函數(shù)，在關(guān)于y軸對(duì)稱的區(qū)域d上當(dāng)函數(shù)連續(xù)時(shí)，有(5) 二重積分定限口訣：后積先定限，限內(nèi)劃條線，先交下限寫，后交上限見。五、無窮級(jí)數(shù)1、級(jí)數(shù)的性質(zhì)(1)收斂級(jí)數(shù)乘以系數(shù)k后收斂性不變。(2)級(jí)數(shù)收斂則通項(xiàng)式極限(3)收斂級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)=收斂級(jí)數(shù)；發(fā)散級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)=發(fā)散級(jí)數(shù)；發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)=收斂性未知2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法(1) 比較法：若時(shí)，收斂則收斂；發(fā)散則發(fā)散。(2) 比值法：若，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)是判別法無效。(3) 根值法：

7、若，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)是判別法無效。3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂判別法（萊布尼茨定理）若交錯(cuò)級(jí)數(shù)有且，則級(jí)數(shù)收斂，級(jí)數(shù)和，其余項(xiàng)絕對(duì)值4、絕對(duì)收斂和條件收斂(1) 若收斂則絕對(duì)收斂。 (2) 若發(fā)散而收斂，則條件收斂。5、常見標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù)(1) 幾何級(jí)數(shù)：當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散(2) 級(jí)數(shù)：當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散；時(shí)為調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散。6、冪級(jí)數(shù)（注：此時(shí)級(jí)數(shù)為“不缺項(xiàng)”情況）(1) 收斂半徑r：若，則有，當(dāng)時(shí)，(2) 收斂區(qū)間：在內(nèi)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，在外級(jí)數(shù)發(fā)散。(3) 收斂域：分別驗(yàn)證收斂區(qū)間端點(diǎn)的收斂性，即時(shí)的收斂性，以確定區(qū)間的閉合度。(4) 和函數(shù)：即通過逐項(xiàng)微積分，并比照標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù)展開式反應(yīng)用，最后求出的

8、具體值。7、標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù)的泰勒展開式展開公式取值范圍注意事項(xiàng)的影響；和時(shí)的不同表達(dá)式從開始注意：展開式的無窮性六、常微分方程與差分方程1、一階非線性微分方程(1) 可分離變量方程：將形如的方程寫成形式，即可通過積分求解。(2) 齊次微分方程：將形如的方程令則可以寫成形式，再積分求解。2、一階線性微分方程(1) 時(shí)，即方程為齊次方程，此時(shí)通解為(2) 時(shí)，方程為非齊次方程，此時(shí)有通解3、二階常系數(shù)齊次線性微分方程它的特征方程為可解出方程根的形式通解形式，4、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(1) 若，即時(shí)，先求解對(duì)應(yīng)的齊次方程，則可得和齊次通解，則對(duì)應(yīng)特解為，其中與最高次同為m次。約束條件的取值特解形式且且(2) 若，即時(shí)，同樣的可以設(shè)特解為，其中次。約束條件的取值特解形式5、一階常系數(shù)線性齊次差分方程.利用對(duì)應(yīng)的特征方程可得，則通解為6、一階常系數(shù)線性非齊次差分方程基本情況對(duì)應(yīng)特解若，即若時(shí)，對(duì)應(yīng)特解為若時(shí)，對(duì)應(yīng)特解為若，即若時(shí)，對(duì)應(yīng)特解為若時(shí)，對(duì)應(yīng)特解為若，特別若時(shí)，有若時(shí)，對(duì)應(yīng)特解為若時(shí)，對(duì)應(yīng)特解為若，特別若時(shí)，有若時(shí)，,對(duì)應(yīng)特解為若時(shí)，,對(duì)應(yīng)特解為七、