九年級(jí)數(shù)學(xué)上第一章證明二11你能證明它們嗎4

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)（上冊(cè)）第一章 證明(二)1.你能證明它們嗎（4）等邊三角形的判定八仙過(guò)海w一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)便可成為等邊三角形？w與同伴交流你在探索思路的過(guò)程中的具體做法.開(kāi)啟 智慧acb600acb600acb600w你認(rèn)為有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證明你的結(jié)論嗎？w一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)便可成為等邊三角形？命題的證明命題的證明 我能行我能行w定理:有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形.證明:ab=ac, b=600(已知),c=b=600.(等邊對(duì)等角).a=600(三角形內(nèi)角和定理).a=b（等式性質(zhì)）. ac=cb（等角對(duì)等邊）.ab=bc=ac（等式

2、性質(zhì)）. abc是等邊三角形(等邊三角形意義).已知:如圖,在abc中ab=ac,b=600.求證:abc是等邊三角形.acb600幾何的幾何的三種語(yǔ)言三種語(yǔ)言 回顧反思回顧反思w定理:有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形.在abc中,ab=ac,b=600(已知).abc是等邊三角形(有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形).這又是一個(gè)判定等邊三角形的根據(jù)之一.acb600命題的證明命題的證明 我能行我能行w定理:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.證明:a=b (已知), bc=ac,(等角對(duì)等邊). 又b=c(已知), ab=ac,(等角對(duì)等邊). ab=bc=ac(等式性質(zhì)). a

3、bc是等邊三角形(等邊三角形意義).已知:如圖,在abc中,a=b=c.求證:abc是等邊三角形.acb幾何的幾何的三種語(yǔ)言三種語(yǔ)言 回顧反思回顧反思w定理:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.在abc中,a=b=c(已知),abc是等邊三角形(三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形).這又是一個(gè)判定靠邊三角形的根據(jù)之一.acb600600600命題的猜想命題的猜想 我能行我能行w1 操作:用兩個(gè)含有300角的三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形？能證明你的結(jié)論嗎？300300300300結(jié)論:在直角三角形中, 300角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.w能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.w由此你想到，在直

4、角三角形中, 300角所對(duì)的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？300300命題的證明命題的證明 我能行我能行w定理:在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.在abc中,acb=900,a=300(已知),b=600(直角三角形兩銳角互余).又 acb=900, (已知),acd=900(平角意義).在abc與adc中bc=dc（作圖）, acb=acd（已證）, ac=ac（公共邊）,abcadc（sas）.abd是等邊三角形(有一個(gè)角600是的等腰三角形是等邊三角形)bc= bd= ab(等式性質(zhì)).已知:如圖,在abc中,acb=900,a=300.求證:

5、bc= ab.2121300abc證明:如圖, 延長(zhǎng)bc至d,使cd=bc,連接ad.d21幾何的幾何的三種語(yǔ)言三種語(yǔ)言 回顧反思回顧反思這又是一個(gè)判定兩條線段成倍分關(guān)系的根據(jù)之一.w定理:在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.在abc中,acb=900,a=300.bc= ab.(在直角三角形中, 300角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).21abc300學(xué)無(wú)止境學(xué)無(wú)止境 例題欣賞例題欣賞這里有一個(gè)化歸的數(shù)學(xué)思想即把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)純數(shù)學(xué)問(wèn)題.分析:如圖,在abc中ab=ac=2a,b=acb=150,cdab于d.求:cd=?解:b=acb=150(已知)

6、,dac=b+acb= 150+150=300(三角形的一個(gè)外角,等于和不相鄰的兩內(nèi)角的和).cd= ac= 2a=a(在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).acbd1501502121例2.已知:如圖,等腰三角形的底角為150,腰長(zhǎng)為2a.求:腰上的高.含300角的直角三角形角的直角三角形 隋堂練習(xí)隋堂練習(xí)1.已知:如圖,在abc中,acb900,a=300,cdab于d.求證:bd=ab/4.分析:因?yàn)閍=300,所以bc=ab/2.要證明bd=ab/4,只要能使bd=bc/2即可,此時(shí)若bcd=300就可以了.而由“雙垂直三角形”即可求得.你能規(guī)

7、范地寫(xiě)出證明過(guò)程嗎？你的證題能力有所提高嗎?acbd三角形三角形, ,認(rèn)識(shí)認(rèn)識(shí)我嗎我嗎 隋堂練習(xí)隋堂練習(xí)2.已知:如圖,點(diǎn)p,q在bc上,且bp=ap=aq=qc=a,paq=600,ahbc于h.(1)求證:ab=ac;(2)試在圖中標(biāo)出各個(gè)角的度數(shù);(3)求出圖中各線段的長(zhǎng)度,并說(shuō)明理由.勝利屬于敢想敢干的人！你能與同學(xué)們交流探索證題的全過(guò)程嗎?abcpqh反過(guò)來(lái)怎么反過(guò)來(lái)怎么樣樣逆向思逆向思維維w命題:在直角三角形中, 如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對(duì)的銳角等于300.是真命題嗎?w如果是,請(qǐng)你證明它.心動(dòng) 不如行動(dòng)300abc已知:如圖,在abc中,acb=900,bc=ab/

8、2.求證:a=300.反過(guò)來(lái)怎么反過(guò)來(lái)怎么樣樣逆向思逆向思維維在abd中,acb=900(已知),ab=ad(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等).又bc=ab/2(已知), bc=bd/2(作圖),ab=bd(等量代換).ab=bd=ad(等式性質(zhì)）.abd是等邊三角形(等邊三角形意義).b=600(等邊三角形意義).a=300(直角三角形兩銳角互余).心動(dòng) 不如行動(dòng)300abcd證明:如圖, 延長(zhǎng)bc至d,使cd=bc,連接ad.幾何的幾何的三種語(yǔ)言三種語(yǔ)言 回顧反思回顧反思這是一個(gè)通過(guò)線段之間的關(guān)系來(lái)判定一個(gè)角的具體度數(shù)(300)的根據(jù)之一.w定理:在直角三角形中, 如果一條直角邊

9、等于斜邊的一半,那么它所對(duì)的銳角等于300.在abc中acb=900,bc=ab/2(已知),a=300(在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對(duì)的銳角等于300).abc300成功者的搖籃 試一試試一試p141.如圖(1):四邊形abcd是一張正方形紙片,e,f分別是ab,cd的中點(diǎn),沿著過(guò)點(diǎn)d的折痕將a角翻折,使得a落在ef上(如圖(2), 折痕交ae于點(diǎn)g,那么adg等于多少度?你能證明你的結(jié)論嗎?dacbefdacbef(1)(2)ga成功者的搖籃 試一試試一試p141.如圖(1):四邊形abcd是一張正方形紙片,e,f分別是ab,cd的中點(diǎn),沿著過(guò)點(diǎn)d的折痕將a角翻折

10、,使得a落在ef上(如圖(2)中a1),折痕交ae于點(diǎn)g,那么adg等于多少度?你能證明你的結(jié)論嗎?dacbef(2)ga1答:adg等于150. 證明:df=dc/2(中點(diǎn)意義),a1d=ad=cd(正方形各邊都相等),df=a1d/2(等量代換).da1f=300 (在直角三角形中, 如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對(duì)的銳角等于300).又adef(中點(diǎn)意義),a1da=da1f=300 (兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).adg=a1da/2=150(角平分線意義).300回味無(wú)窮n等邊三角形的判定:n定理:有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形.n定理:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

11、.n特殊的直角三角形的性質(zhì):n定理:在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.n定理:在直角三角形中, 如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對(duì)的銳角等于300.n老師提醒:n反證法還認(rèn)識(shí)你嗎?小結(jié) 拓展知識(shí)的升華獨(dú)立獨(dú)立作業(yè)作業(yè)p9習(xí)題1.3 1,2,3題.祝你成功！習(xí)題1.3 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)w1.已知:如圖,abc是等邊三角形,debc,分別交ab,ac于點(diǎn)d,e.求證: ade是等邊三角形. 證明1:abc等邊三角形(已知), ab=a600(已知), 又 debc(已知), 1=b=600,2=c=600 (兩直線平行,同位角相等). a =1=2

12、(等量代換). ade是等邊三角形 (三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形). becdaf12習(xí)題1.3 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)w2.房梁的一部分如圖所示,其中bcac,a=300,ab=7.4m,點(diǎn)d是ab的中點(diǎn),deac,垂足為e.w求:bc,de的長(zhǎng). 解:bcac,a=300,ab=7.4m(已知), bc=ab/2=7.423.7(在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半), 又 ad=ab/2=7.423.7(中點(diǎn)意義), de=ad/2=3.721.85(在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半). 答:bc=3.7m

13、,de=1.85m. 老師提示:對(duì)于含300角的直角三角形邊之間,角之間的關(guān)系要作為常識(shí)去認(rèn)可. becda300習(xí)題1.3 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)w1.已知:如圖,abc是等邊三角形,過(guò)它的三個(gè)頂點(diǎn)分別作對(duì)邊的平行線,得到一個(gè)新的def,def是等邊三角形嗎?你還能找到其它的等邊三角形嗎?請(qǐng)證明你的結(jié)論. 答:(1)def是等邊三角形;(2)abe,acf,bcd也是等邊三角形.證明(1):abc是等邊三角形(已知), 又efbc,deac(已知), e600(三角形內(nèi)角和定理). 同理,d=600,f600. becdaf12=3600(等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè) 角都等于600 ).42

14、1342600,51600(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等). 5 de=f600(等量代換). def是等邊三角形(三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形). 習(xí)題1.3 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)w1.已知:如圖,abc是等邊三角形,過(guò)它的三個(gè)頂點(diǎn)分別作對(duì)邊的平行線,得到一個(gè)新的def,def是等邊三角形嗎?你還能找到其它的等邊三角形嗎?請(qǐng)證明你的結(jié)論. 答:(1)def是等邊三角形; (2)abe,acf,bcd也都是等邊三角形.請(qǐng)同學(xué)們來(lái)證明(2)中的結(jié)論. becdaf42135習(xí)題1.3 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)w1.已知:如圖,abc是等邊三角形,過(guò)它的三個(gè)頂點(diǎn)分別作對(duì)邊的平行線,得到一個(gè)新的def,def是等邊三角形嗎?你還能找到其它的等邊三角形嗎?請(qǐng)證明你的結(jié)論. 答:(1)def是等邊三角形;(2)abe,acf,bcd也是等邊三角形.證明(1):abc是等邊三角形(已知), 又ef