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1、 關于積分對稱性定理1、 定積分： 設在上連續(xù)，則2、 二重積分：若函數(shù)在平面閉區(qū)域上連續(xù)，則（1）如果積分區(qū)域關于軸對稱，為的奇（或偶）函數(shù)，即 （或），則二重積分 其中：為滿足上半平面區(qū)域。（2） 如果積分區(qū)域關于軸對稱，為的奇（或偶）函數(shù)，即（或），則二重積分 其中：為滿足的右半平面區(qū)域。（3）如果積分區(qū)域關于原點對稱，為的奇（或偶）函數(shù)，即（或）則二重積分 其中:為在上半平面的部分區(qū)域。（4）如果積分區(qū)域關于直線對稱,則二重積分 .（二重積分的輪換對稱性） (5)如果積分區(qū)域關于直線對稱,則有 利用上述性質(zhì)定理化簡二重積分計算時,應注意的是（1）（2）（3）中應同時具有積分域?qū)ΨQ及被積

2、函數(shù)具有奇偶性兩個特性。3、三重積分： (1)若為閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，空間有界閉區(qū)域關于坐標面對稱，為位于坐標面上側(cè)的部分區(qū)域，則有注：是的奇函數(shù)：是的偶函數(shù)：同樣，對于空間閉區(qū)域關于坐標面對稱也有類似的性質(zhì)。4、 曲線積分（第一類）（1）若分段光滑平面曲線關于軸對稱，且在上為連續(xù)函數(shù)，為位于軸右側(cè)的弧段，則 （2） 若分段光滑平面曲線關于軸對稱，且在上為連續(xù)函數(shù)，為位于軸上側(cè)的弧段，則 （3）若關于直線對稱，則 其中（3）式也稱為第一類曲線積分的輪換對稱性。 5、第二類曲線積分（1）設分段光滑的平面曲線關于軸對稱，且在軸的上半部分與在下半部分的方向相反，則 （2）設分段光滑的平面曲線關于軸對稱，且在軸的右半部分與在左半部分的方向相反則對于積分也有類似地結(jié)論。上述結(jié)論可推廣到空間曲線的情形.6、 第一類曲面積分：若曲面關于坐標面對稱，為上的連續(xù)函數(shù)，為位于上側(cè)的部分曲面，則曲面關于坐標平面對稱也有類似的性質(zhì)。 7、第二類曲面積分的對稱性設函數(shù)在分片光滑的曲面上連續(xù)， （1）設分片光滑的曲面關于坐標面對稱，且在上半空間的部分曲面取上側(cè)，在下半空間的部分曲面取定下側(cè)，則（2）設分片光滑的曲面關于坐標面對稱，且在前半空間的部分曲面取前側(cè)，在后半空間的部分曲面取后側(cè)，則（3）設分片光滑的曲面關于坐標面對稱，且在右半空間

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