高三數(shù)學(xué)有關(guān)圓錐曲線的經(jīng)典結(jié)論共8頁

1、有關(guān)解析幾何的經(jīng)典結(jié)論一、橢 圓1. 點p處的切線pt平分pf1f2在點p處的外角.2. pt平分pf1f2在點p處的外角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以焦點弦pq為直徑的圓必與對應(yīng)準線相離.4. 以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.6. 若在橢圓外 ，則過po作橢圓的兩條切線切點為p1、p2，則切點弦p1p2的直線方程是.7. 橢圓 (ab0)的左右焦點分別為f1，f 2，點p為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.8. 橢圓（ab0）的焦半徑公式：,( , ).9. 設(shè)過橢圓焦

2、點f作直線與橢圓相交 p、q兩點，a為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)ap 和aq分別交相應(yīng)于焦點f的橢圓準線于m、n兩點，則mfnf.10. 過橢圓一個焦點f的直線與橢圓交于兩點p、q, a1、a2為橢圓長軸上的頂點，a1p和a2q交于點m，a2p和a1q交于點n，則mfnf.11. ab是橢圓的不平行于對稱軸的弦，m為ab的中點，則，即。12. 若在橢圓內(nèi)，則被po所平分的中點弦的方程是.13. 若在橢圓內(nèi)，則過po的弦中點的軌跡方程是.二、雙曲線1. 點p處的切線pt平分pf1f2在點p處的內(nèi)角.2. pt平分pf1f2在點p處的內(nèi)角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長

3、軸的兩個端點.3. 以焦點弦pq為直徑的圓必與對應(yīng)準線相交.4. 以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：p在右支；外切：p在左支）5. 若在雙曲線（a0,b0）上，則過的雙曲線的切線方程是.6. 若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過po作雙曲線的兩條切線切點為p1、p2，則切點弦p1p2的直線方程是.7. 雙曲線（a0,bo）的左右焦點分別為f1，f 2，點p為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.8. 雙曲線（a0,bo）的焦半徑公式：( , 當(dāng)在右支上時，,.當(dāng)在左支上時，,9. 設(shè)過雙曲線焦點f作直線與雙曲線相交 p、q兩點，a為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)ap

4、 和aq分別交相應(yīng)于焦點f的雙曲線準線于m、n兩點，則mfnf.10. 過雙曲線一個焦點f的直線與雙曲線交于兩點p、q, a1、a2為雙曲線實軸上的頂點，a1p和a2q交于點m，a2p和a1q交于點n，則mfnf.11. ab是雙曲線（a0,b0）的不平行于對稱軸的弦，m為ab的中點，則，即。12. 若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則被po所平分的中點弦的方程是.13. 若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則過po的弦中點的軌跡方程是.橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-（會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）橢 圓1. 橢圓（abo）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于p1、p2時a1p1與a2p2交點的軌跡方程是.2. 過橢圓

5、(a0, b0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于b,c兩點，則直線bc有定向且（常數(shù)）.3. 若p為橢圓（ab0）上異于長軸端點的任一點,f1, f 2是焦點, , ，則.4. 設(shè)橢圓（ab0）的兩個焦點為f1、f2,p（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在pf1f2中，記, ,，則有.5. 若橢圓（ab0）的左、右焦點分別為f1、f2，左準線為l，則當(dāng)0e時，可在橢圓上求一點p，使得pf1是p到對應(yīng)準線距離d與pf2的比例中項.6. p為橢圓（ab0）上任一點,f1,f2為二焦點，a為橢圓內(nèi)一定點，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立.7. 橢圓與直線有公共點的充要條件是.8. 已知橢圓

6、（ab0），o為坐標(biāo)原點，p、q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|op|2+|oq|2的最大值為;（3）的最小值是.9. 過橢圓（ab0）的右焦點f作直線交該橢圓右支于m,n兩點，弦mn的垂直平分線交x軸于p，則.10. 已知橢圓（ ab0）,a、b、是橢圓上的兩點，線段ab的垂直平分線與x軸相交于點, 則.11. 設(shè)p點是橢圓（ ab0）上異于長軸端點的任一點,f1、f2為其焦點記，則(1).(2) .12. 設(shè)a、b是橢圓（ ab0）的長軸兩端點，p是橢圓上的一點，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .13. 已知橢圓（ ab0）的右準線與x軸相交于點，

7、過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于a、b兩點,點在右準線上，且軸，則直線ac經(jīng)過線段ef 的中點.14. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.15. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16. 橢圓焦三角形中,內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.）17. 橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.18. 橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項.雙曲線1.

8、雙曲線（a0,b0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于p1、p2時a1p1與a2p2交點的軌跡方程是.2. 過雙曲線（a0,bo）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于b,c兩點，則直線bc有定向且（常數(shù)）.3. 若p為雙曲線（a0,b0）右（或左）支上除頂點外的任一點,f1, f 2是焦點, , ，則（或）.4. 設(shè)雙曲線（a0,b0）的兩個焦點為f1、f2,p（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在pf1f2中，記, ,，則有.5. 若雙曲線（a0,b0）的左、右焦點分別為f1、f2，左準線為l，則當(dāng)1e時，可在雙曲線上求一點p，使得pf1是p到對應(yīng)準線距離d與pf2的比例中項

9、.6. p為雙曲線（a0,b0）上任一點,f1,f2為二焦點，a為雙曲線內(nèi)一定點，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且和在y軸同側(cè)時，等號成立.7. 雙曲線（a0,b0）與直線有公共點的充要條件是.8. 已知雙曲線（ba 0），o為坐標(biāo)原點，p、q為雙曲線上兩動點，且.（1）;（2）|op|2+|oq|2的最小值為;（3）的最小值是.9. 過雙曲線（a0,b0）的右焦點f作直線交該雙曲線的右支于m,n兩點，弦mn的垂直平分線交x軸于p，則.10. 已知雙曲線（a0,b0）,a、b是雙曲線上的兩點，線段ab的垂直平分線與x軸相交于點, 則或.11. 設(shè)p點是雙曲線（a0,b0）上異于實軸端點的任一點,f1、f

10、2為其焦點記，則(1).(2) .12. 設(shè)a、b是雙曲線（a0,b0）的長軸兩端點，p是雙曲線上的一點，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .13. 已知雙曲線（a0,b0）的右準線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于a、b兩點,點在右準線上，且軸，則直線ac經(jīng)過線段ef 的中點.14. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.15. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16. 雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點

11、的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點).17. 雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.18. 雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項.其他常用公式：1、連結(jié)圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來計算弦長，常用的弦長公式：2、直線的一般式方程：任何直線均可寫成(a,b不同時為0)的形式。3、知直線橫截距，常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為0的直線)與直線垂直的直線可表示為。4、兩平行線間的距離為。5、若直線與直線平行則 （斜率）且（在軸上截距） （充要條

12、件）6、圓的一般方程：，特別提醒：只有當(dāng)時，方程才表示圓心為，半徑為的圓。二元二次方程表示圓的充要條件是且且。 7、圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為。圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：；8、為直徑端點的圓方程切線長：過圓（）外一點所引圓的切線的長為（）9、弦長問題：圓的弦長的計算：常用弦心距，弦長一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來解：；過兩圓、交點的圓(公共弦)系為，當(dāng)時，方程為兩圓公共弦所在直線方程.?；馉t子下面是解立體幾何一些簡單的公式定例： 公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)。 （1）判定直線在平面內(nèi)的依據(jù) （2）判定點在

13、平面內(nèi)的方法 公理2：如果兩個平面有一個公共點，那它還有其它公共點，這些公共點的集合是一條直線 。 （1）判定兩個平面相交的依據(jù) （2）判定若干個點在兩個相交平面的交線上 公理3：經(jīng)過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。 （1）確定一個平面的依據(jù) （2）判定若干個點共面的依據(jù) 推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且僅有一個平面。 （1）判定若干條直線共面的依據(jù) （2）判斷若干個平面重合的依據(jù) （3）判斷幾何圖形是平面圖形的依據(jù) 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且僅有一個平面。 推論3：經(jīng)過兩條平行線，有且僅有一個平面。 立體幾何 直線與平面 空 間 二 直 線 平行直線 公理4：平行于同一

14、直線的兩條直線互相平行 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等。 異面直線 空 間 直 線 和 平 面 位 置 關(guān) 系 （1）直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點 （2）直線和平面相交有且只有一個公共點 （3）直線和平面平行沒有公共點 立體幾何 直線與平面 直線與平面所成的角 （1）平面的斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線與平面所成的角 （2）一條直線垂直于平面，定義這直線與平面所成的角是直角 （3）一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，定義它和平面所成的角是0度的角 三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂

15、直 三垂線逆定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直 空間兩個平面 兩個平面平行 判定 性質(zhì) （1）如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行 （2）垂直于同一直線的兩個平面平行 （1）兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面 （2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行 （3）一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面 相交的兩平面 二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的線，這兩個半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個面內(nèi)分另作垂直棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 兩平面垂直 判定 性質(zhì) 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直 （1）若二平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面 （2）