2024年江蘇南京金陵中學(xué)特長生選拔考試數(shù)學(xué)試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024年金陵中學(xué)特長生選拔考試數(shù)學(xué)試題【綜合部分】1．若，則2．方程的整數(shù)解共有對3．若1、2、3、4、x的方差與3、4、5、6、7的方差相等，則4．求關(guān)于對稱的函數(shù)表達(dá)式．5．如圖，正方形邊長為6，若，則四邊形的面積為6．如圖，與相交于A．B兩點，若在y軸有點C，滿足，則C點坐標(biāo)為

7．如圖，三棱錐的每條邊均為整數(shù)，若，，，，則的長為8．若函數(shù)與x軸相交于、，且，則a的取值范圍是9．如圖(1)求證：；(2)在數(shù)軸上用尺規(guī)畫出表示的點．10．已知矩形的對角線長為x，設(shè)矩形面積為S．(1)若，求S的最大值；(2)若矩形的周長為12，求：①x的取值范圍；②S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．11．（1）若為的角平分線，求證：；（2）已知，，，，求證：．

12．如圖，已知，，，，．(1)求證：；(2)若M是上一點，P為內(nèi)一點，則的最小值為______．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．1【分析】本題考查高次方程的求解，因式分解的應(yīng)用，先將分解為，求解出x的值，即可解答．【詳解】解：，，，，，，故答案為：1．2．2【分析】此題考查了方程的解，解題的關(guān)鍵是將原方程正確變形．首先將變形為，然后根據(jù)x，y都是整數(shù)求解即可．【詳解】∵∴∴∵x，y都是整數(shù)∴當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴方程的整數(shù)解共有2對．故答案為：2．3．0或5【分析】本題考查了方差的計算公式，解一元二次方程，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)方差的計算公式建立方程，解一元二次方程即可．【詳解】解：3、4、5、6、7的平均數(shù)為：，則方差為：，1、2、3、4、x的平均數(shù)為：，∴由題意得，，化簡得，，解得或，故答案為：0或5．4．【分析】本題考查了一次函數(shù)的解析式，關(guān)于直線對稱的點坐標(biāo)，在上取兩點和關(guān)于對稱后點的坐標(biāo)為，根據(jù)兩點確定一條直線，用待定系數(shù)法即可解答．【詳解】解：在上取兩點和，直線是一、三象限的角平分線，和關(guān)于直線對稱的點坐標(biāo)為，設(shè)關(guān)于對稱的函數(shù)表達(dá)式為，則，解得：，關(guān)于對稱的函數(shù)表達(dá)式為，故答案為：．5．##【分析】連接，過點F作于點H，交于點K，證明四邊形為矩形，得出，，證明，得出，求出，證明，得出，求出，，即可得出答案．【詳解】解：連接，過點F作于點H，交于點K，如圖所示：則，∵四邊形為正方形，∴，，∵，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)．6．或【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，勾股定理，已兩點求距離，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．先聯(lián)立直線表達(dá)式和反比例函數(shù)解析式求出點，設(shè)，借助于兩點間距離公式和勾股定理建立方程求解即可．【詳解】解：由題意得，解得：或，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，解得：或，∴或，故答案為：或．7．5【分析】本題考查兩點間的距離及三角形三邊關(guān)系，掌握構(gòu)成三角形的條件是解題的關(guān)鍵．分別在和中根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”列不等式組并求解即可．【詳解】解：∵在中，，，∴，即∴；∵在中，，，∴，即∴；∴∵三棱錐的每條邊均為整數(shù)，∴．故答案為：5．8．或【分析】本題考查二次函數(shù)圖形的性質(zhì)及二次函數(shù)與不等式，根據(jù)與x軸交點的分布，利用數(shù)形結(jié)合的思想建立不等式組求解即可．【詳解】解：，函數(shù)與x軸相交于、，即有兩個根，且，，解得：或，故答案為：或．9．(1)見解析(2)圖見解析【分析】（1）利用作差法和分式的加減混合運算法則求解即可；（2）以為直徑畫圓，以為圓心，1為半徑畫圓，兩圓交于點，過點作數(shù)軸，則點表示的數(shù)即為【詳解】（1）證明：由題意得，，由數(shù)軸可得，，∴，，∴，∴，∴；（2）解：以為直徑畫圓，以為圓心，1為半徑畫圓，兩圓交于點，過點作數(shù)軸，則點表示的數(shù)即為，如圖：由作圖可知：，，，∵為直徑，∴，∴，∵，∴，∴，即：，∴，即點表示的數(shù)即為．【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，異分母分式的加減運算，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，尺規(guī)作圖—作垂線，作圓，熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．10．(1)18(2)①；②【分析】本題考查了二次函數(shù)與幾何的實際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，勾股定理．（1）設(shè)，根據(jù)得到，矩形的面積，即，即可解答；（2）①設(shè)矩形的一邊長為a，則另一邊長為，列出x與a的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；②根據(jù)結(jié)合①中x與a的關(guān)系式即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)，，，，，，，，，當(dāng)最小時，即為0時，有最大值324，的最大值為18；（2）解：①設(shè)矩形的一邊長為a，則另一邊長為，，，，，；②，由①得，，即．11．（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）作，作于，則與的面積比既等于，也等于，從而得出結(jié)論；（2）作，，先證明四邊形內(nèi)接于，設(shè)的半徑為，求得，再作，，證明，得到，設(shè)，求得，據(jù)此即可證明結(jié)論成立．【詳解】證明：（1）如圖，作于，作于，

平分，，，，；（2）作，，垂足分別為，

∴，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴四邊形內(nèi)接于，設(shè)的半徑為，則，，∵，∴，，，∵，∴，∴，作，，垂足分別為，

∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，設(shè)，則，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．12．(1)見解析(2)【分析】（1）過點交于點E，證明四邊形是平行四邊形，再證明是直角三角形，即可證明結(jié)論；（2）如圖，以為邊構(gòu)造等邊和等邊，連接，過點F作于點，設(shè)交于點Q，形成手拉手全等，得，所以，又因為M為上一動點，所以當(dāng)時，取得最小值，等于．【詳解】（1）解：證明：過點交于點E，，四邊形是平行四邊形，，，，，，在中，，，是直角三角形，即，；（2）解：如圖，以為邊構(gòu)造等邊和等邊，連接，過點F作于點，設(shè)交于點Q