特殊數(shù)列求和一類教資

1、1蒼柏課資 .) 1(212)(:n. 1:.11ndnnnaaansann項(xiàng)和的前等差數(shù)列公式法一) 1(11)1 () 1(s:n. 2111nqqqaaqqaqnann項(xiàng)和等比數(shù)列前) 1(21:. 31nnnksnk正整數(shù)數(shù)列的求和) 12)(1(61:. 412nnnnksnk正整數(shù)平方和公式222113n) 1(41)(:. 5nnkksnknk正整數(shù)立方和公式2蒼柏課資數(shù)列求和的方法之一:倒序相加法例1. 求和：.110108339221011222222222222 對(duì)某些前后具有對(duì)稱性的數(shù)列，可運(yùn)用倒序相加法求其前n項(xiàng)和.即：如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)

2、之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.3蒼柏課資 111222121211421211221*m,.xnmmnfxpxypxyfxp ppaafafmmmmafafmnammms練習(xí)：已知函數(shù)點(diǎn)是函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為 ，求證：點(diǎn) 的縱坐標(biāo)為定值.在數(shù)列中，若求數(shù)列的前項(xiàng)和3112m=ms4蒼柏課資數(shù)列求和的方法之二:分組求和法分組法求和:將已知數(shù)列的每一項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱趾笤俜纸M，可組成幾個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，進(jìn)行求和.22222n)1()1()1(:nnxxxxxxs求和思考提示:通過(guò)分析通項(xiàng),分組選用公式求和,但要注意分x1和x=1兩種情況討論.211 111

3、1111.1, , , .n例 求數(shù)列， 的前 項(xiàng)和5蒼柏課資練習(xí):求下列各數(shù)列前n項(xiàng)的和sn：(1)1(2)1,1 2,1 2 4,1 2 42 ,n 22122nnnnsnsn221n1111234248161,，6蒼柏課資數(shù)列求和的方法之三:并項(xiàng)求和法在數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的和是同一常數(shù)或有規(guī)律可循時(shí)，采用并項(xiàng)求和法.3121.,.nnnnaanns 例 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為求其前 項(xiàng)和,=, nn nsnn為奇數(shù)為偶數(shù)7蒼柏課資 11223,.nnnnnaaaanans練習(xí)：已知數(shù)列滿足求數(shù)列的前 項(xiàng)和2232362, ,nnnnsnnn為偶數(shù)為奇數(shù)8蒼柏課資111(2)12231nn

4、例4. 求和：111(1)11212312n典型例題1n2n11n9蒼柏課資數(shù)列求和的方法之四:裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法求和：將數(shù)列的通項(xiàng)分解成兩項(xiàng)之差，從而在求和時(shí)產(chǎn)生相消為零的項(xiàng)的求和方法.10蒼柏課資351.(1)(2); 2.41 (2)312(2)nnnnnnnn，(1)11111 32 43 52+ +n n(2)44 77 10(32) 3111111+ +n-n1.求和：21232.,nnnnaannans數(shù)列通項(xiàng)公式為求數(shù)列的前項(xiàng)和11蒼柏課資12蒼柏課資數(shù)列求和的方法之五:錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法:主要運(yùn)用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積.13蒼柏課資 解： 例5.設(shè)數(shù)列為,求此數(shù)列前n項(xiàng)

5、和。 na1324 ,3 ,2 , 1nnxxxx0 xnnnnxxnxxxxs1321321324321nnnxxxxsnnnnxxxxsx1211nnnnxxxsxx1111時(shí)，當(dāng)xnxxnnn111121111xnxxnsnnn2143211nnnsxn時(shí)，當(dāng)(錯(cuò)位相減法) 14蒼柏課資(1)122438n2n=n13572n1(2)248162n 1(n-1).2+2求和：我也會(huì)做!n13 (2n3( )2）15蒼柏課資設(shè)an為等比數(shù)列,tnna1+(n一一1)a2+2an-1+an， 已知t11，t24(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列tn的通項(xiàng)公式n 1nn 1n(1)2(2

6、)t2n2a能力提升16蒼柏課資01114,( ,)(, ,)( ).nnxnnnnansnnn sybr bbb rna1.等比數(shù)列的前 項(xiàng)和為已知對(duì)任意的點(diǎn)在函數(shù)是常數(shù) 的圖象上求r的值(2)當(dāng)b=2時(shí),記b =,求數(shù)列b 的前n項(xiàng)和高考題選：17蒼柏課資2.已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的nn*滿足關(guān)系式2sn3an3.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)公式是bn前n項(xiàng)和為tn,求證:對(duì)于任意的正數(shù)n,總有tn1.133loglog1nnaa18蒼柏課資3.設(shè)數(shù)列 an n 滿足a1 13 3a2 23 32 2a3 33 3n n1 1an n

7、， nnnn* *. .(1)求數(shù)列 an n 的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)b bn n ，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn. .n3nna19蒼柏課資【解析解析】(1)(1)a1 13 3a2 23 32 2a3 33 3n n1 1an n 當(dāng)當(dāng)n2n2時(shí)，時(shí)，a1 13 3a2 23 32 2a3 33 3n n2 2an n1 1 得得3 3n n1 1an n ，an n . .在中，令在中，令n n1 1，得，得a1 1 ，適合，適合an n ，an n . .n3n-1313n1313n13n1320蒼柏課資(2)b(2)bn n ，b bn nn n3 3n n. .ssn n3 32 23

8、32 23 33 33 3n n3 3n n 3s3sn n3 32 22 23 33 33 33 34 4n n3 3n n1 1 得2s2sn nn n3 3n n1 1(3(33 32 23 33 33 3n n) )，即即2s2sn nn n3 3n n1 1 ，s sn n nnan3(1-3 )1-3n 1(2n1)33.4421蒼柏課資4.已知數(shù)列 an n 的前n項(xiàng)和為sn, ,滿足s sn n=2=2an n-2n-2n, ,(1)求證:數(shù)列 an n+2+2為等比數(shù)列；(2)若數(shù)列 b bn n 滿足b bn n=log=log2 2( (an n+2),t+2),tn n

9、為數(shù)列 的前n項(xiàng)和,求證:tn .nn+2ba1222蒼柏課資【自主解答自主解答】(1)(1)當(dāng)nn*時(shí),s,sn n=2=2an n-2n -2n 則當(dāng)n2,nn*時(shí),s,sn-1n-1=2=2an-1n-1-2(n-1) -2(n-1) -，得an n=2=2an n-2-2an-1n-1-2-2，即an n=2=2an-1n-1+2,+2,an n+2=2(+2=2(an-1n-1+2), =2,+2), =2,當(dāng)n=1時(shí)，s s1 1=2=2a1 1-2,-2,則a1 1=2.=2.an n+2+2是以a1 1+2=4+2=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.nn-1+2+2aa23蒼柏課資24蒼柏課資25蒼柏課資課堂小結(jié)課堂小結(jié):(1)公式法:直接運(yùn)用等差數(shù)列,等比數(shù)列求和公式;(2)分組轉(zhuǎn)化法:將已知數(shù)列的求和問題化為等差數(shù)列,等比數(shù)列求和問題；(3)倒序相加法:對(duì)前后項(xiàng)有對(duì)稱性的數(shù)列求和；(4)錯(cuò)位相減法:等比數(shù)列與等差數(shù)列組合數(shù)列求和(5)裂項(xiàng)求和法:將數(shù)列的通項(xiàng)分解成兩項(xiàng)之差,從 而在求和