算術(shù)平均值的性質(zhì)一PPT學習教案

1、會計學1算術(shù)平均值的性質(zhì)一算術(shù)平均值的性質(zhì)一NXNXXXXNiiN121. 集中趨勢反映一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)所具有的共同趨勢，即資料中各數(shù)據(jù)聚集的位置。一、算術(shù)平均（也叫均值 ）第1頁/共47頁22X 2222解：解：第2頁/共47頁1()0NiiXX 算術(shù)平均值的性質(zhì)二：算術(shù)平均值的性質(zhì)二：觀察值與均值的離差平方觀察值與均值的離差平方和最小。和最小。 為任意數(shù)為任意數(shù)21120)()(NiiNiiXXXX0X 故用算術(shù)平均值來預測作為估計值，誤差平方和故用算術(shù)平均值來預測作為估計值，誤差平方和最小。最小。第3頁/共47頁數(shù)列數(shù)列:1,2,2,3 :1,2,2,3 平均數(shù)為平均數(shù)為2 2數(shù)列數(shù)列:

2、1,2,2,5 :1,2,2,5 平均數(shù)為平均數(shù)為2.52.5數(shù)列數(shù)列:1,2,2,7 :1,2,2,7 平均數(shù)為平均數(shù)為3 3均值的缺點：均值易受極端值的影響，某個極端大均值易受極端值的影響，某個極端大值或極端小值都會影響均值的代表性。同時還影響值或極端小值都會影響均值的代表性。同時還影響其對集中趨勢測度的準確性。其對集中趨勢測度的準確性。第4頁/共47頁1122111211.kiikKkiiikkikiiiiX fX fX fXffXXfffff 其中其中Xi 表示第表示第i 組的組中值，組的組中值，fi表示第表示第i組的次數(shù)。組的次數(shù)。第5頁/共47頁工人一周生產(chǎn)零件數(shù)工人一周生產(chǎn)零件數(shù)

3、工人數(shù)工人數(shù)fi組中值組中值xixifi60以下以下75538560-702165136570-802575187580-901985161590以上以上895760合計合計80-6000例：某單位80工人一周生產(chǎn)零件數(shù)的分組統(tǒng)計資料如下表：1 12211216000:7580kiikkikkiix fx fx fx fXffff則加權(quán)算術(shù)平均為第6頁/共47頁 將數(shù)據(jù)觀察值將數(shù)據(jù)觀察值x x1 1,x,x2 2,x,xn n按其變量值由小到按其變量值由小到大的順序排列，大的順序排列，處于數(shù)列中點位置的數(shù)值就是中位處于數(shù)列中點位置的數(shù)值就是中位數(shù)（數(shù)（M Me e）。 中位數(shù)的確定方法：中位數(shù)

4、的確定方法：如果數(shù)據(jù)個數(shù)為如果數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)奇數(shù)，則處于則處于（n+1)/2n+1)/2位置的位置的標志值是中位數(shù)。標志值是中位數(shù)。如果數(shù)據(jù)個數(shù)為如果數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)偶數(shù)，則處于則處于n/2n/2、n/2+1n/2+1的兩的兩個標志值的平均數(shù)為中位數(shù)。個標志值的平均數(shù)為中位數(shù)。第7頁/共47頁 中位數(shù)是中位數(shù)是n/2n/2位置上的數(shù)值，設落在第位置上的數(shù)值，設落在第i i組組, , L Li i是中位數(shù)所在組的下限，是中位數(shù)所在組的下限， f fi i是中位數(shù)所在組的次數(shù)。是中位數(shù)所在組的次數(shù)。 F Fi-1i-1是中位數(shù)所在組的前一組的累積次數(shù)是中位數(shù)所在組的前一組的累積次數(shù) U Ui i-L

5、-Li i是中位數(shù)所在組的組距是中位數(shù)所在組的組距 = =上限上限- -下限下限112()2()ieiiiiieiiiinFMLULfnFMUULf 向上累積向上累積向下累積向下累積第8頁/共47頁某單位80工人一周生產(chǎn)零件數(shù)分組統(tǒng)計資料如下：工人一周生工人一周生產(chǎn)零件數(shù)產(chǎn)零件數(shù)工人數(shù)工人數(shù)fi組中值組中值xixifi向上累計頻向上累計頻數(shù)數(shù)向下累計頻向下累計頻數(shù)數(shù)60以下75538578060-7021651365287370-8025751875535280-9019851615722790以上895760808合計80-6000-第9頁/共47頁11118040,28,27,70,80,

6、252240282()701074.82540272()801074.825iiiiiieiiiiieiiiinFFLUfnFMLULfnFMUULf 中位數(shù)是位置平均數(shù)，不受極端值的影響。各個數(shù)中位數(shù)是位置平均數(shù)，不受極端值的影響。各個數(shù)值相對其中位數(shù)的絕對離差之和為最小。值相對其中位數(shù)的絕對離差之和為最小。 不足：中位數(shù)確定時只與中間位置的相關(guān)數(shù)據(jù)有關(guān)，不足：中位數(shù)確定時只與中間位置的相關(guān)數(shù)據(jù)有關(guān)，而不考慮其它數(shù)值的大小，缺乏敏感性；計算復雜。而不考慮其它數(shù)值的大小，缺乏敏感性；計算復雜。第10頁/共47頁第11頁/共47頁10111011()()()()iiiiiiiiiiiiiiiif

7、fMLdffffffMUdffff 設眾數(shù)在第設眾數(shù)在第i i組，則組，則 L Li i是眾數(shù)所在組的下限，是眾數(shù)所在組的下限， U Ui i是眾數(shù)所在組的上限；是眾數(shù)所在組的上限； f fi i是眾數(shù)所在組的次數(shù)。是眾數(shù)所在組的次數(shù)。 d di i= U= Ui i-L-Li i是中位數(shù)所在組的組距是中位數(shù)所在組的組距 = =上限上限- -下限下限第12頁/共47頁某單位80工人一周生產(chǎn)零件數(shù)分組統(tǒng)計資料如下：工人一周生工人一周生產(chǎn)零件數(shù)產(chǎn)零件數(shù)工人數(shù)工人數(shù)fi組中值組中值xixifi向上累計頻向上累計頻數(shù)數(shù)向下累計頻向下累計頻數(shù)數(shù)60以下75538578060-70216513652873

8、70-8025751875535280-9019851615722790以上895760808合計80-6000-第13頁/共47頁1 2111011101125,19,70,80,10,()()2521701074(2521)(2519)()()2519801074(2521)(2519)iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiifffLUdffMLdffffffMUdffff 第14頁/共47頁第15頁/共47頁xMeMoxMeMoxMeMoXfXfXf(對稱分布對稱分布)正偏態(tài)分布（右）正偏態(tài)分布（右）負偏態(tài)分布負偏態(tài)分布(左）左）MexxxMeMeMoMoMo均值是數(shù)據(jù)分布的平衡點或

9、重心，中位數(shù)把這個分均值是數(shù)據(jù)分布的平衡點或重心，中位數(shù)把這個分布劃分為兩半，眾數(shù)正好是分布的頂端。布劃分為兩半，眾數(shù)正好是分布的頂端。第16頁/共47頁32MeMox 3(e)xMoxM23MoxMe 在偏斜不大時，中位數(shù)大約位于均值與眾數(shù)的在偏斜不大時，中位數(shù)大約位于均值與眾數(shù)的1/3處。處。 算術(shù)平均數(shù)適用于定距變量（或數(shù)值變量、算術(shù)平均數(shù)適用于定距變量（或數(shù)值變量、定量變量），中位數(shù)適用于定序變量，眾數(shù)則適用定量變量），中位數(shù)適用于定序變量，眾數(shù)則適用于定類變量（或定性變量）于定類變量（或定性變量）第17頁/共47頁1i/KKiiiiiNFLdf K Ki i表示第表示第i i個個K

10、K分位數(shù)；分位數(shù)； L Li i表示第表示第i i個個K K分位數(shù)所在組的下分位數(shù)所在組的下限；限；N N表示數(shù)據(jù)總個數(shù)；表示數(shù)據(jù)總個數(shù)；F Fi-1i-1表示第表示第i i個個K K分位數(shù)所在組的前一組分位數(shù)所在組的前一組的累積次數(shù)；的累積次數(shù)；f fi i是第是第i i個個K K分位數(shù)所在組的次數(shù)。分位數(shù)所在組的次數(shù)。d di i= U= Ui i-L-Li i是第是第i i個個K K分位數(shù)所在組的組距。分位數(shù)所在組的組距。 第18頁/共47頁1122nQ 位位置置LU434nQnQ 位位置置位位置置其中其中 表示中位數(shù)的位置取整。這樣計算出的四分位數(shù)表示中位數(shù)的位置取整。這樣計算出的四分

11、位數(shù)的位置，要么是整數(shù)，要么在兩個數(shù)之間的位置，要么是整數(shù)，要么在兩個數(shù)之間0.50.5的位置上的位置上四分位數(shù)的位置確定方法：四分位數(shù)的位置確定方法：方法方法1：定義算法：定義算法方法方法2：以中位數(shù)為中心，從兩端再計算中位數(shù)，公式：以中位數(shù)為中心，從兩端再計算中位數(shù)，公式：第19頁/共47頁L34nQ 位位置置314UnQ 位位置置 無論哪種算法，如果位置是整數(shù)，四分位數(shù)就無論哪種算法，如果位置是整數(shù)，四分位數(shù)就是該位置對應的值；如果是在是該位置對應的值；如果是在0.50.5的位置上，則取該的位置上，則取該位置兩側(cè)值的平均數(shù)；如果在位置兩側(cè)值的平均數(shù)；如果在0.250.25或或0.750.

12、75位置上，位置上，則四分位數(shù)等于該位置的下側(cè)值加上按比例分攤位則四分位數(shù)等于該位置的下側(cè)值加上按比例分攤位置兩側(cè)數(shù)值的差值。置兩側(cè)數(shù)值的差值。第20頁/共47頁【例例】：9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)(3種方法計算種方法計算) 原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù): 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排排 序序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位位 置置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9方法方法1：方法方法2：所以所以QL為從最小值數(shù)第為從最小值數(shù)第3個數(shù)值，即個數(shù)值，即850元；元； Qu為

13、從最為從最大值數(shù)第大值數(shù)第3個數(shù)值，即個數(shù)值，即1500元；元；LU93 92.256.7544QQ 位位置置位位置置L780(850780) 0.25797.5Q U1250(15001250) 0.751437.5Q 1911122322nQ位位置置第21頁/共47頁L393344nQ位位置置313*91744UnQ位位置置所以所以Q QL L為第為第3 3個數(shù)值，即個數(shù)值，即850850元；元； Q Qu u為為7 7個數(shù)值，即個數(shù)值，即15001500元；元； 可見三種方法計算的四分位數(shù)不完全相同。但對可見三種方法計算的四分位數(shù)不完全相同。但對他們的解釋是一樣的，即排序數(shù)據(jù)中，至少他們

14、的解釋是一樣的，即排序數(shù)據(jù)中，至少25%25%的數(shù)的數(shù)據(jù)小于等于據(jù)小于等于Q QL L，至少至少75%75%的數(shù)據(jù)小于等于的數(shù)據(jù)小于等于Q Qu u。原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù): : 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排排 序序: : 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位位 置置: : 1 2 3 4 5 6 7 8 9第22頁/共47頁12NgNMx xx 舉例：將一筆錢存入銀行，存期舉例：將一筆錢存入銀行，存期1010年，以復利計息年，以復利計息，1010年的利率分配是：第年的利率分配是：第1 1年至第年

15、至第2 2年為年為5%5%、第、第3 3年至年至5 5年為年為8%8%、第、第6 6年至第年至第8 8年為年為10%10%、第、第9 9年至第年至第1010年年12%12%，計算平均年利率。，計算平均年利率。第23頁/共47頁102332105%108%110%112%1108 77% 18 77% 平均年利率 注意：當觀測值有一項為注意：當觀測值有一項為0 0或負值時，不易計算或負值時，不易計算幾何平均數(shù)。幾何平均數(shù)。第24頁/共47頁HM11111HNNiiiiNMXXN （1 1）具有倒數(shù)性質(zhì)）具有倒數(shù)性質(zhì) 例如某人前例如某人前1010公里以時速公里以時速5050公里行駛，后公里行駛，后

16、1010公里公里以以3030公里時速行駛。這公里時速行駛。這2020公里花了公里花了0.5330.533小時，所以小時，所以平均時速平均時速10+10237.510101150305030H 第25頁/共47頁11111HNNiiiiiiNMffXXN（2 2）總體單位數(shù)未知時，例）總體單位數(shù)未知時，例4.114.11（7171）加權(quán)調(diào)和平均數(shù)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)第26頁/共47頁XMMgH第27頁/共47頁第28頁/共47頁maxminRxx 全距值越小，數(shù)據(jù)變動范圍越小，平均數(shù)的代表全距值越小，數(shù)據(jù)變動范圍越小，平均數(shù)的代表性越高；全距值越大，數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)變動范圍越大，平均性越高；全距值越大，數(shù)據(jù)數(shù)

17、據(jù)變動范圍越大，平均數(shù)的代表性越低。數(shù)的代表性越低。第29頁/共47頁1.niixxADn11.niiiniixx fADf分組數(shù)據(jù)分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)： 平均差越大，平均差越大，平均數(shù)代表性越低；平均數(shù)代表性越低； 平均差愈小，平均數(shù)代表性越高平均差愈小，平均數(shù)代表性越高第30頁/共47頁221()NiixxN 21()NiixxN 第31頁/共47頁2122)(XNXNiikiikiiiffXX1122)(總體方差的另一種表達方式：總體方差的另一種表達方式：21122)(XffXkiiNiii 總體方差愈大，數(shù)據(jù)的變動程度愈大，總體方總體方差愈大，數(shù)據(jù)的變動程度愈大，總體方差愈

18、小，數(shù)據(jù)的變動程度愈小。差愈小，數(shù)據(jù)的變動程度愈小。第32頁/共47頁221()1NiixxN 21()1NiixxN 第33頁/共47頁(,)xx(3 ,3 )xx(2 ,2 )xx第34頁/共47頁五、相對離中趨勢五、相對離中趨勢變異系數(shù)變異系數(shù)定義：變異系數(shù)又稱離散系數(shù)，是標準差與均值的定義：變異系數(shù)又稱離散系數(shù)，是標準差與均值的比值。比值。 公式：公式：對數(shù)據(jù)相對離散程度的測度對數(shù)據(jù)相對離散程度的測度消除了數(shù)據(jù)水平高低和計量單位的影響消除了數(shù)據(jù)水平高低和計量單位的影響用于對不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較用于對不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較.C Vx 第35頁/共47頁例例：C.V.甲3007.52.5%乙40092.25%x從從上看，甲的上看，甲的 更具代表性，通過更具代表性，通過C.V. ，乙不，乙不但但 高，而且各地塊產(chǎn)量比甲農(nóng)場穩(wěn)定，因此乙的高，而且各地塊產(chǎn)量比甲農(nóng)場穩(wěn)定，因此乙的 最具有代表性。最具有代表性。xxx第36頁/共47頁發(fā)揮比較穩(wěn)定的運動員是塞爾維亞的亞斯娜發(fā)揮比較穩(wěn)定的運動員是塞爾維亞的亞斯娜舍舍卡里奇和中國的郭文珺，發(fā)揮不穩(wěn)定的運動員是卡