高中奧林匹克物理競賽解題方法—極限法湖南課件

1、高中奧林匹克物理競賽解題方法極限法方法簡介極限法是把某個物理量推向極端，即極大和極小或極左和極右，并依此做出科學(xué)的推理分析，從而給出判斷或?qū)С鲆话憬Y(jié)論。極限法在進行某些物理過程的分析時，具有獨特作用，恰當應(yīng)用極限法能提高解題效率，使問題化難為易，化繁為簡，思路靈活，判斷準確。因此要求解題者，不僅具有嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰?，而且具有豐富的想象能力，從而得到事半功倍的效果。賽題精講例1：如圖51所示， 一個質(zhì)量為m的小球位于一質(zhì)量可忽略的直立彈簧上方h高度處，該小球從靜止開始落向彈簧，設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，則物塊可能獲得的最大動能為 。解析：球跟彈簧接觸后，先做變加速運動，后做變減速運動，據(jù)此推理，小

2、球所受合力為零的位置速度、動能最大。所以速最大時有mg=kx 圖51由機械能守恒有 聯(lián)立式解得 例2：如圖52所示，傾角為的斜面上方有一點O，在O點放一至斜面的光滑直軌道，要求一質(zhì)點從O點沿直軌道到達斜面P點圖52的時間最短。求該直軌道與豎直方向的夾角。解析：質(zhì)點沿OP做勻加速直線運動，運動的時間t應(yīng)該與角有關(guān)，求時間t對于角的函數(shù)的極值即可。由牛頓運動定律可知，質(zhì)點沿光滑軌道下滑的加速度為 該質(zhì)點沿軌道由靜止滑到斜面所用的時間為t，則 所以 由圖可知，在OPC中有 所以 將式代入式得 顯然，當時，上式有最小值.所以當時，質(zhì)點沿直軌道滑到斜面所用的時間最短。此題也可以用作圖法求解。例3：從底角

3、為的斜面頂端，以初速度水平拋出一小球，不計圖53空氣阻力，若斜面足夠長，如圖53所示，則小球拋出后，離開斜面的最大距離H為多少？解析：當物體的速度方向與斜面平行時，物體離斜面最遠。以水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，則由：，解得運動時間為該點的坐標為 由幾何關(guān)系得：解得小球離開斜面的最大距離為 。這道題若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐標軸，求解則更加簡便。例4：如圖54所示，一水槍需將水射到離噴口的水平距離為3.0m的墻外， 從噴口算起， 墻高為4.0m。 若不計空氣阻力，取圖54，求所需的最小初速及對應(yīng)的發(fā)射仰角。解析：水流做斜上拋運動，以噴口O為原點建立如圖所示的直角坐標，本

4、題的任務(wù)就是水流能通過點A（d、h）的最小初速度和發(fā)射仰角。根據(jù)平拋運動的規(guī)律，水流的運動方程為 把A點坐標（d、h）代入以上兩式，消去t，得：令 上式可變?yōu)榍易钚〕跛?例5：如圖55所示，一質(zhì)量為m的人，從長為l、質(zhì)量為M的鐵板的一端勻加速跑向另一端，并在另一端驟然停止。鐵板和水平面間摩擦因數(shù)為，人和鐵板間摩擦因數(shù)為圖55，且>>。這樣，人能使鐵板朝其跑動方向移動的最大距離L是多少？解析：人驟然停止奔跑后，其原有動量轉(zhuǎn)化為與鐵板一起向前沖的動量，此后，地面對載人鐵板的阻力是地面對鐵板的摩擦力f，其加速度。由于鐵板移動的距離越大，L越大。是人與鐵板一起開始地運動的速度，因此人應(yīng)以不

5、會引起鐵板運動的最大加速度奔跑。 人在鐵板上奔跑但鐵板沒有移動時，人若達到最大加速度，則地面與鐵板之間的摩擦力達到最大靜摩擦，根據(jù)系統(tǒng)的牛頓第二定律得： 所以 哈設(shè)、分別是人奔跑結(jié)束及人和鐵板一起運動時的速度因為 且并將、代入式解得鐵板移動的最大距離 例6：設(shè)地球的質(zhì)量為M，人造衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球的半徑為R0，人造衛(wèi)星環(huán)繞地球做圓周運動的半徑為r。試證明：從地面上將衛(wèi)星發(fā)射至運行軌道，發(fā)射速度 ，并用該式求出這個發(fā)射速度的最小值和最大值。（取R0=6.4×106m），設(shè)大氣層對衛(wèi)星的阻力忽略不計，地面的重力加速度為g）解析：由能量守恒定律，衛(wèi)星在地球的引力場中運動時總機械能為一常量

6、。設(shè)衛(wèi)星從地面發(fā)射的速度為，衛(wèi)星發(fā)射時具有的機械能為 進入軌道后衛(wèi)星的機械能為 由E1=E2，并代入解得發(fā)射速度為 又因為在地面上萬有引力等于重力，即：把式代入式即得：（1）如果r=R0，即當衛(wèi)星貼近地球表面做勻速圓周運動時，所需發(fā)射速度最小為.（2）如果，所需發(fā)射速度最大（稱為第二宇宙速度或脫離速度）為 例7：如圖56所示，半徑為R的勻質(zhì)半球體，其重心在球心O點正下方C點處，OC=3R/8， 半球重為G，半球放在水平面上，在半球的平面上放一重為G/8的物體，它與半球平在間的動摩擦因數(shù)， 求無滑動時物體離球心 圖56O點最大距離是多少？解析：物體離O點放得越遠，根據(jù)力矩的平衡，半球體轉(zhuǎn)過的角度

7、越大，但物體在球體斜面上保持相對靜止時，有限度。 設(shè)物體距球心為x時恰好無滑動，對整體以半球體和地面接觸點為軸，根據(jù)平衡條件有：得 可見，x隨增大而增大。臨界情況對應(yīng)物體所受摩擦力為最大靜摩擦力，則： .例8：有一質(zhì)量為m=50kg的直桿，豎立在水平地面上，桿與地面間靜摩擦因數(shù)，桿的上端固定在地面上的繩索拉住，繩圖57與桿的夾角，如圖57所示。（1）若以水平力F作用在桿上，作用點到地面的距離為桿長），要使桿不滑倒，力F最大不能越過多少？（2）若將作用點移到處時，情況又如何？解析：桿不滑倒應(yīng)從兩方面考慮，桿與地面間的靜摩擦力達到極限的前提下，力的大小還與h有關(guān)，討論力與h的關(guān)系是關(guān)鍵。桿的受力如

8、圖57甲所示，由平衡條件得圖57甲 另由上式可知，F(xiàn)增大時，f相應(yīng)也增大，故當f增大到最大靜摩擦力時，桿剛要滑倒，此時滿足：解得：由上式又可知，當時對F就沒有限制了。（1）當，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入的表達式得 （2）當無論F為何值，都不可能使桿滑倒，這種現(xiàn)象即稱為自鎖。例9：放在光滑水平面上的木板質(zhì)量為M，如圖58所示，板上有質(zhì)量為m的小狗以與木板成角的初速度（相對于地面）由A點跳到B點，已知AB間距離為s。求初速度的最小值。 圖58解析：小狗跳起后，做斜上拋運動，水平位移向右，由于水平方向動量守恒，木板向左運動。小狗落到板上的B點時，小狗和木板對地位移的大小之和，是小狗對木板的水平位移。由于水平方向

9、動量守恒，有 小狗在空中做斜拋運動的時間為 又 將、代入式得 當有最小值，。例10：一小物塊以速度沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到頂部水平的高臺上，并由高臺上飛出，如圖59圖59所示， 當高臺的高度h多大時，小物塊飛行的水平距離s最大？這個距離是多少？（g取10m/s2）解析：依題意，小物塊經(jīng)歷兩個過程。在脫離曲面頂部之前，小物塊受重力和支持力，由于支持力不做功，物塊的機械能守恒，物塊從高臺上飛出后，做平拋運動，其水平距離s是高度h的函數(shù)。設(shè)小物塊剛脫離曲面頂部的速度為，根據(jù)機械能守恒定律， 小物塊做平拋運動的水平距離s和高度h分別為： 以上三式聯(lián)立解得：當時，飛行距離最大，為。例11：軍

10、訓(xùn)中，戰(zhàn)士距墻s，以速度起跳，如圖510所示，再用腳蹬墻面一次，使身體變?yōu)樨Q直向上的運動以繼續(xù)升高，墻面與鞋底之間的靜摩擦因數(shù)為。求能使人體重心有最大總升高的起跳角。 圖510解析：人體重心最大總升高分為兩部分，一部分是人做斜上拋運動上升的高度，另一部分是人蹬墻所能上升的高度。如圖510甲，人做斜拋運動，圖510甲 重心升高為 腳蹬墻面，利用最大靜摩擦力的沖量可使人向上的動量增加，即 ，所以人蹬墻后，其重心在豎直方向向上的速度為，繼續(xù)升高，人的重心總升高H=H1+H2=時，重心升高最大。例12：如圖511所示，一質(zhì)量為M的平頂小車，以速度沿水平的光滑軌道做勻速直線運動?，F(xiàn)將一質(zhì)量為m的小物塊無

11、圖511初速地放置在車頂前緣。已知物塊和車頂之間的滑動摩擦因數(shù)為。（1）若要求物塊不會從車頂后緣掉下，則該車頂最少要多長？（2）若車頂長度符合（1）問中的要求，整個過程中摩擦力共做多少功？解析：當兩物體具有共同速度時，相對位移最大，這個相對位移的大小即為車頂?shù)淖钚￠L度。設(shè)車長至少為l，則根據(jù)動量守恒 根據(jù)功能關(guān)系 解得 ，摩擦力共做功 例13：一質(zhì)量m=200kg，高2.00m的薄底大金屬桶倒扣在寬廣的 水池底部，如圖512所示。桶的內(nèi)橫截面積S=0.500m2，桶壁加桶底的體積為V0=2.50×102m3。桶內(nèi)封有高度為圖512l=0.200m的空氣。池深H0=20.0m，大氣壓強

12、p0=10.00m水柱高，水的密度，重力加速度取g=10.00m/s2。若用圖中所示吊繩將桶上提，使桶底到達水面處，求繩子拉力對桶所需何等的最小功為多少焦耳？（結(jié)果要保留三位有效數(shù)字）。不計水的阻力，設(shè)水溫很低，不計其飽和蒸汽壓的影響。并設(shè)水溫上下均勻且保持不變。解析：當桶沉到池底時，桶自身重力大于浮力。在繩子的作用下 桶被緩慢提高過程中，桶內(nèi)氣體體積逐步增加，排開水的體積也逐步增加，桶受到的浮力也逐漸增加，繩子的拉力逐漸減小，當桶受到的浮力等于重力時，即繩子拉力恰好減為零時，桶將處于不穩(wěn)定平衡的狀態(tài)，因為若有一擾動使桶略有上升，則浮力大于重力，無需繩的拉力，桶就會 圖512甲自動浮起，而不需

13、再拉繩。因此繩對桶的拉力所需做的最小功等于將桶從池底緩慢地提高到浮力等于重力的位置時繩子拉桶所做的功。 設(shè)浮力等于重力的不穩(wěn)定平衡位置到池底的距離為H，桶內(nèi)氣體的厚度為,如圖512甲所示。因為總的浮力等于桶的重力mg，因而有 有=0.350m 在桶由池底上升高度H到達不穩(wěn)定平衡位置的過程中，桶內(nèi)氣體做等溫變化，由玻意耳定律得 由、兩式可得 H=12.240m 由式可知H<（H0），所以桶由池底到達不穩(wěn)定平衡位置時，整個桶仍浸在水中。 由上分析可知，繩子的拉力在整個過程中是一個變力。對于變力做功，可以通過分析水和桶組成的系統(tǒng)的能量變化的關(guān)系來求解：先求出桶內(nèi)池底緩慢地提高了H高度后的總機械

14、能量E·E由三部分組成：（1）桶的重力勢能增量 （2）由于桶本身體積在不同高度處排開水的勢能不同所產(chǎn)生的機械能的改變量E2，可認為在H高度時桶本身體積所排開的水是去填充桶在池底時桶所占有的空間，這時水的重力勢能減少了。所以 （3）由于桶內(nèi)氣體在不同高度處所排開水的勢能不同所產(chǎn)生的機械能的改變E3，由于桶內(nèi)氣體體積膨脹，因而桶在H高度時桶本身空氣所排開的水可分為兩部分：一部分可看為填充桶在池底時空氣所占空間，體積為lS的水，這部分水增加的重力勢能為 另一部分體積為的水上升到水池表面，這部分水上升的平均高度為，增加的重力勢能為 由整個系統(tǒng)的功能關(guān)系得，繩子拉力所需做的最小功為WT=E 將

15、、式代入式得 將有關(guān)數(shù)據(jù)代入式計算，并取三位有效數(shù)字，可得WT=1.37×104J例14：如圖513所示，勁度系數(shù)為k的水平輕質(zhì)彈簧，左端固定，右端系一質(zhì)量為m的物體，物體可在有摩擦的水平桌面上滑圖513動，彈簧為原長時位于O點，現(xiàn)把物體拉到距O為A0的P點按住，放手后彈簧把物體拉動，設(shè)物體在第二次經(jīng)過O點前，在O點左方停住，求：（1）物體與桌面間的動摩擦因數(shù)的大小應(yīng)在什么范圍內(nèi)？（2）物體停住點離O點的距離的最大值，并回答這是不是物體在運動過程中所能達到的左方最遠值？為什么？（認為動摩擦因數(shù)與靜摩擦因數(shù)相等）解析：要想物體在第二次經(jīng)過O點前，在O點左方停住，則需克服摩擦力做功消耗掉

16、全部彈性勢能，同時還需合外力為零即滿足平衡條件。 （1）物體在距離O點為l處停住不動的條件是： a物體的速度為零，彈性勢能的減小等于物體克服滑動摩擦力所做的功。 b彈簧彈力最大靜摩擦力 對物體運動做如下分析： 物體向左運動并正好停在O點的條件是： 得：若，則物體將滑過O點，設(shè)它到O點左方B處（設(shè)OB=L1）時速度為零，則有： 若物體能停住，則 如果能滿足，但，則物體不會停在B處而要向右運動。值越小，則往右滑動的距離越遠。設(shè)物體正好停在O處，則有：得：。要求物體停在O點左方，則相應(yīng)地要求。綜合以上分析結(jié)果，物體停在O點左方而不是第二次經(jīng)過O點時，的取值范圍為<<（2）當在<范圍

17、內(nèi)時，物體向左滑動直至停止而不返回，由式可求出最遠停住點（設(shè)為B1點）到O點的距離為當<時，物體在B1點（）的速度大于零，因此物體將繼續(xù)向左運動，但它不可能停在B1點的左方。因為與B1點相對應(yīng)的=，L1=A0/3，如果停留在B1點的左方，則物體在B1點的彈力大于，而摩擦力umg，小于彈力大于摩擦力，所以物體不可能停住而一定返回，最后停留在O與B1之間。所以無論值如何，物體停住與O點的最大距離為，但這不是物體在運動過程中所能達到的左方最遠值。例15：使一原來不帶電的導(dǎo)體小球與一帶電量為Q的導(dǎo)體大球接觸，分開之后，小球獲得電量q。今讓小球與大球反復(fù)接觸，在每次分開后，都給大球補充電荷，使其帶

18、電量恢復(fù)到原來的值Q。求小球可能獲得的最大電量。解析：兩球接觸后電荷的分配比例是由兩球的半徑?jīng)Q定的，這個比例是恒定的。根據(jù)兩球帶電比例恒定，第一次接觸，電荷量之比為最后接觸電荷之比為此題也可以用遞推法求解。例16：一系列相同的電阻R，如圖514所示連接，求AB間圖514的等效電阻RAB。解析：無窮網(wǎng)絡(luò)，增加或減小網(wǎng)絡(luò)的格數(shù)，其等效電阻不變，所以RAB跟從CD往右看的電阻是相等的。因此，有圖514 例17：如圖515所示，一個U形導(dǎo)體框架，寬度L=1m，其所在平面與水平面的夾角，其電阻可以忽略不計，設(shè)勻強磁場為U形框架的平面垂直，磁感圖515應(yīng)強度B=1T，質(zhì)量0.2kg的導(dǎo)體棒電阻R=0.1，

19、跨 放在U形框上，并且能無摩擦地滑動。求：（1）導(dǎo)體棒ab下滑的最大速度；（2）在最大速度時，ab上釋放出來的電功率。解析：導(dǎo)體棒做變加速下滑，當合力為零時速度最大，以后保持勻速運動（1）棒ab勻速下滑時，有 解得最大速度 （2）速度最大時，ab釋放的電功率W針對訓(xùn)練1如圖516所示，原長L0為100厘米的輕質(zhì)彈簧放置在一光滑 的直槽內(nèi)，彈簧的一端固定在槽的O端，另一端連接一小球，這一裝置可以從水平位置開始繞O點緩緩地轉(zhuǎn)到豎直位置。設(shè)彈簧的形變總是在其彈性限度內(nèi)。試在下述（a）、（b）兩種情況下，分別求出這種裝置從原來的水平位置開始緩緩地繞O點圖516轉(zhuǎn)到豎直位置時小球離開原水平面的高度h0。

20、（a）在轉(zhuǎn)動過程中，發(fā)現(xiàn)小球距原水平面的高度變化出現(xiàn)極大值，且極大值hm為40厘米，（b）在轉(zhuǎn)動的過程中，發(fā)現(xiàn)小球離原水平面的高度不斷增大。2如圖517所示，一滑雪運動員自H為50米高處滑至O點，由于運動員的技巧（阻力不計），運動員在O點保持速率不變，并以仰角起跳，落至B點，令OB為L，試問為30°時，L圖517的最大值是多大？當L取極值時，角為多大？3如圖518所示，質(zhì)量為M的長滑塊靜止放在光滑水平面上，左側(cè)固定一勁度系數(shù)為K且足夠長的水平輕質(zhì)彈簧，右側(cè)用一不可伸長的細輕繩連接于豎直墻上，細線所能承受的最大拉力為T。圖518使一質(zhì)量為m，初速度為的小物體，在滑塊上無摩擦地向左運動，

21、而后壓縮彈簧。（1）求出細線被拉斷的條件；（2）滑塊在細線拉斷后被加速的過程中，所能獲得的最大的左向加速度為多大？（3）物體最后離開滑塊時相對于地面速度恰為零的條件是什么？4質(zhì)量m=2.0kg的小鐵塊靜止于水平導(dǎo)軌AB的A端，導(dǎo)軌及支架ABCD形狀及尺寸如圖519所示，它只能繞通過支架D點的垂直于紙面的水平軸轉(zhuǎn)動，其重心在圖中的O點，質(zhì)量M=4.0kg，現(xiàn)用一細線沿軌拉鐵塊，拉力F=12N，鐵塊和導(dǎo)軌之間的摩擦系數(shù)，重力加速度g=10m/s2，從鐵塊運動時起，導(dǎo)軌（及支架）能保持靜止的最長時間t是多少？圖519 圖520 圖5215如圖520所示，在水平桌面上放一質(zhì)量為M、截面為直角三角形的物

22、體ABC。AB與AC間的夾角為，B點到桌面的高度為h。在斜面AB上的底部A處放一質(zhì)量為m的小物體。開始時兩者皆靜止?，F(xiàn)給小物體一沿斜面AB方向的初速度，如果小物體與斜面間以及ABC與水平桌面間的摩擦都不考慮，則至少要大于何值才能使小物體經(jīng)B點滑出？6如圖521所示，長為L的光滑平臺固定在地面上，平臺中央放有一小物體A和B，兩者彼此接觸。物體A的上表面是半徑為R（R<<L）的半圓形軌道，軌道頂端距臺面的高度為h處，有一小物體C，A、B、C的質(zhì)量均為m?，F(xiàn)物體C從靜止狀態(tài)沿軌道下滑，已知在運動過程中，A、C始終保持接觸，試求：（1）物體A和B剛分離時，物體B的速度；（2）物體A和B分離

23、后，物體C所能達到距臺面的最大高度；（3）判斷物體A從平臺的左邊還是右邊落地，并粗略估算物體A從B分離后到離開臺面所經(jīng)歷的時間。7電容器C1、C2和可變電阻器R1、R2以及電源連接成如圖522所示的電路。當R1的滑動觸頭在圖示位置時，C1、C2的電量相等。要使C1的電量圖522大于C2的電量，應(yīng) （ ）A增大R2B減小R2C將R1的滑動觸頭向A端移動D將R1的滑動觸頭向B端滑動8如圖523所示的電路中，電源的電動勢恒定，要想使燈泡變亮，可以（ ）A增大R1B減小R2C增大R2D減小R2 圖523 圖524 圖5259電路如圖524所示，求當R為何值時，RAB的阻值與“網(wǎng)格”的數(shù)目無關(guān)？此時RA

24、B的阻值等于什么？10如圖525所示，A、B兩塊不帶電的金屬板，長為5d，相距為d，水平放置，B板接地，兩板間有垂直紙面向里的勻強磁場，現(xiàn)有寬度為d的電子束從兩板左側(cè)水平方向入射，每個電子的質(zhì)量為m，電量為e，速度為，要使電子不會從兩板間射出，求兩板間的磁感應(yīng)強度應(yīng)為多大？11圖526中 abcd 是一個固定的U形金屬框架， ad和cd邊都很長， bc邊長為L，框架的電阻可不計， ef是放置在框架上與 bc 平行的導(dǎo)體桿，它可在框架上自由滑動（摩擦可圖526忽略），它的電阻R， 現(xiàn)沿垂直于框架的方向加一恒定的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，方向垂直于紙面向里，已知當以恒定力F向右拉導(dǎo)體桿ef時，導(dǎo)體桿最后勻速滑動，求勻速滑動，求勻速滑動時的速度？12如圖527所示，導(dǎo)線框abcd固定在豎直平面內(nèi)，bc段的電阻為R，其他電阻均可忽略。ef是一電阻可忽略的水平放置的導(dǎo)體桿，桿長為L，質(zhì)量為m，桿的兩端分別與ab和cd保持良好接觸，又能沿它們無摩擦地滑動。整個裝置放在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，磁場方向與框面垂直?，F(xiàn)用一恒力F豎直向上拉ef，當ef勻速上升時，其速度的大小為多大？ 圖52713在傾角為的足夠長的兩光滑平行金屬導(dǎo)軌上，放一質(zhì)量為m，電阻為R的金屬棒ab，所在空間有磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，方向垂直軌道平面向上，導(dǎo)軌寬度