2019-2020學(xué)年北京市清華附中高一(上)期末數(shù)學(xué)試卷

1、1.2.3.4.5.6.7.&9.10.V11.12.13.2019-2020學(xué)年北京市清華附中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分）已知集合A = xx < lf Ka A.則“的值可能為（）A. 2B. 1C.0D. 1下列函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（)A. y = X$B. y = IanXC. y = 0.5XD y = IgX若點(diǎn)、P（4,3）在角的終邊上，則CoSa=()CWDl在a = log30.1, b = tan? c = 2W, d = sin2中，最大的數(shù)為()A. UB. bC. CD. diia + = + 2k, keZf

2、9 是“Sina = CoS(T 的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件第4頁(yè)共12頁(yè)下列區(qū)間包含函= % + log2% - 5零點(diǎn)的為（）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)函數(shù)幾E=缶的泄義域?yàn)椋ǎ〢. (-lj0) U (0, +)C1/+8)B. 1JO) U (0j+)D. (7+8)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)件，則平為使平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為扌天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元.準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品（）A.60 件B.80 件C. 100

3、 件D. 120 件已知0 = (OF), sin2 =；貝IJSm cos =() 今ScfD-T若函數(shù)f（x）的圖象上存在一點(diǎn)A（Xo滿足%0 +yo = 0,且XoyO 0,稱函數(shù)f（x） 為"可相反函數(shù)” 在：y = sinxy = Inxxy = x2 + 4% + 1:y = e"X 中，為"可相反函數(shù)”的全部序號(hào)是（）A.B.C.D.填空題（本大題共6小題，共3（H）分）已知幕函數(shù)張）=計(jì)經(jīng)過點(diǎn)（乙扌），51J（2） =已知&為第二象限角，且sin =則sin（ + 5.3乙已知函數(shù)f（x） = ASinx + A > 0, >

4、0, < Tr）的部分圖象如圖，則函數(shù) >）的單調(diào)遞增區(qū)間為14. 關(guān)于函數(shù)f) = SinXtIg(Xy) = CoS兀有下而三個(gè)結(jié)論： 函數(shù)f()的圖象可由函數(shù)g()的圖象平移得到： 函數(shù)y(x)與函數(shù)g (%)在& Tr)上均單調(diào)遞減： 若直X = I與這兩個(gè)函數(shù)的圖象分別交于不同的A, B兩點(diǎn)，則AB<1.其中全部正確結(jié)論的序號(hào)為.15. 已知函數(shù)f(x) = F丁 2x,l,若函= Z(X) _ k恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn).則實(shí)X f X X數(shù)R的取值范圍為.16. 左義：如果函數(shù)y = f(x)在泄義域內(nèi)給定區(qū)間,b上存在x°(Vx°Vb),

5、滿足/(%o) = Z(a)>貝9稱函數(shù)y = f(x)是a,b上的"平均值函數(shù)”是它的一個(gè)均值點(diǎn)，若函f(X)=X2+mx是-1,1上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是三、解答題(本大題共6小題，共80.0分)17. 計(jì)算：(1) IOg64 + 21oge3 (2) 2 × V2 × 2(3) CoSl20° + tanl350.J . stna-CQSa1 ' sina+cosaCL)若a為第三象限角，求CoSa的值;(2)求 tan(a + f)的值:(3)求cos2a的值.19. 已知函= | 1OgaXI(>O,l)(1)

6、 若f(2)=扌，求實(shí)數(shù)"的值；(2) 若 O V 衍 V 咒2，Kf(XI) = /(%2)* 求衍2 的值：(3) 若函數(shù)f(x)在扌,3的最大值與最小值之和為2,求實(shí)數(shù)“的值.20. 已知函數(shù)f) = 4cosxsin(x + £)b(1) ()的值；(2) 求函數(shù)f(x)的最小正周期及其圖象的對(duì)稱軸方程：(3) 對(duì)于任意XG O,n均有f(x) f(0)成立，求實(shí)數(shù)加的取值范用.21. 若函的沱義域?yàn)镽,且存在非零實(shí)數(shù)T,使得對(duì)于任意xER, f(x + T)= "(X)恒成立，稱函數(shù)f(x)滿足性質(zhì)P(T).(1) 分別判斷下列函數(shù)是否滿足性質(zhì)P(1)，

7、并說(shuō)明理由； f (%) = sin2x g(x) = cosx (2) 若函數(shù)f(x)既滿足性質(zhì)P(2).又滿足性質(zhì)P(3),求函數(shù)f(x)的解析式；(3) 若函數(shù)幾幻滿足性質(zhì)P(l01).求證：存在勺 R使得(%0)l < 0-001.22. 已知集合 A 為非空數(shù)集，泄義屮=% = a + bfa9 b A, Ar = xx =IQ- bfa. b A.(1) 若集合力=-l,l,直接寫岀集合力+及力一；(2) 若集合力=xlf X2f X34*xl <X2 <x3 VX4,且力-=4,求 ilE% + X4 = %2 + 3 (3) 若xOx2O2O.x7V,且A+H

8、 =0,求集合A中元素的個(gè)數(shù)的最大值.第4貞.共12頁(yè)答案和解析1. 【答案】C【解析】解：集合4 = xx2 < 1 = x - 1 < X < 1,四個(gè)選項(xiàng)中，只有0月，故選：C.化簡(jiǎn)集合A，利用元素與集合之間的關(guān)系即可得出.本題考査了元素與集合之間的關(guān)系、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于 基礎(chǔ)題2. 【答案】D【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A, y =2,是二次函數(shù)，在英定義域上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意：對(duì)于B, y = tanx,是正切函數(shù)，在其泄義域上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意：對(duì)于C, y = 0.5-,是指數(shù)函數(shù)，在上義域內(nèi)單調(diào)遞減，不符合題

9、意：對(duì)于D，y = Igx是對(duì)數(shù)函數(shù)，在建義域內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意； 故選：D.根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，綜合即可得答案.本題考査函數(shù)單調(diào)性的判斷，注意常見函數(shù)的單調(diào)性即可，屬于基礎(chǔ)題.3. 【答案】A【解析】解：點(diǎn)P(4,3)在角的終邊上，貝IkoSa = P故選:A.由題意利用任意角的三角函數(shù)的左義，求得c。Sa的值. 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的左義，屬于基礎(chǔ)題.4. 【答案】B【解析】解：a = log30.1 < 0, b=tanf=l, c = 2 (0,1)» d = sin2Vl,則最大的是b = 1.故選:B.分別判斷三個(gè)數(shù)的大小，進(jìn)行比較即可.

10、本題主要考查函數(shù)值的大小比較，分別判斷四個(gè)數(shù)的取值范用是解決本題的關(guān)鍵.比較 基礎(chǔ).5. 【答案】A【解析】解：Sina = cos => COS(-CT) = cos,. = 2k ± (G a),k E Z.化為：a + = y + 2k, k E Z, - = y + 2k, k E Z,. ita + = + 2k, kEZ “是 iiSina = cos "的充分不必要條件.故選:A. Sina = cos => COSe ) = CoS0、可得“ =2k + (- ), k Z.即可判斷出結(jié)論. 本題考査了三角函數(shù)方程的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判泄方法，考査

11、了推理能力與計(jì)算能力, 屬于基礎(chǔ)題.6. 【答案】C【解析】解：經(jīng)計(jì)Sf(I) = I-5 =-4 <0, /(2) = 2+1-5 =-2 <0, /(3) = 3 +Iog2 3 5 = Iog2 3 2 V 0, /(4) = 4+ 2 5 = l>0,故函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(3,4),故選：C.此類選擇題可以用代入計(jì)算出函數(shù)值，利用零點(diǎn)判左左理解決本題考査函數(shù)零點(diǎn)判定建理，屬于基礎(chǔ)題.7. 【答案】A【解析】解：要使函數(shù)有意義，則ln(x + l)O, Jlx+1>0,即X > -1且 X 0,故函數(shù)的泄義域?yàn)閤X > 1且X 0,故選：A.根據(jù)函數(shù)

12、成立的條件，即可求岀函數(shù)的定義域.本題主要考查函數(shù)的左義域的求解，要求熟練掌握常見函數(shù)成立的條件，比較基礎(chǔ).8. 【答案】B【解析】解：根據(jù)題意，該生產(chǎn)X件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和是800 + x =800 +釵2這樣平均每件的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和為f() = 8°0÷2 =晉+詁(X為正整數(shù)) 由基本不等式，得f(x)2 J譽(yù)釵=20當(dāng)且僅當(dāng)寧=詁=10時(shí)，f(x)取得最小值、可得X = 80時(shí)，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小故選:B.若每批生產(chǎn)X件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為扌天，可得倉(cāng)儲(chǔ)總費(fèi)用為詁2元，再加上生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi) 用為800元，可得生產(chǎn)X件產(chǎn)品的生

13、產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和是800 + xp 800 + 扌兀2元，由此求岀平均每件的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和，再用基本不等式求出最小 值對(duì)應(yīng)的X值本題結(jié)合了函數(shù)與基本不等式兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題，運(yùn)用基本不等式時(shí)應(yīng)該注意取 等號(hào)的條件，才能準(zhǔn)確給出答案.9. 【答案】D【解析】解：e = (O,f), sin28 = ? sin cos < Ot第6頁(yè)共12頁(yè) sin _ cos = yf(Sin cosy)2 = -fl Sin2 = _ Il -=故選：D.由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦函數(shù)公式即可求解.本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦函數(shù)公式在三

14、角函數(shù)化簡(jiǎn)求值 中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10. 【答案】D【解析】解：由泄義可得：函數(shù)>)為“可相反函數(shù)”，即函數(shù) ()與直線y = -X有交點(diǎn)且交點(diǎn)不在 坐標(biāo)原點(diǎn).結(jié)合圖象可得：只有符合要求: 故選：D.根據(jù)已知條件把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x) 與直線y = -X有交點(diǎn)且交點(diǎn)不在坐 標(biāo)原點(diǎn)，結(jié)合圖象即可得到結(jié)論 本題考査可相反函數(shù)的判斷，考查函 數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能 力，考査函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題IL【答案】I【解析】解：幕函= Xm經(jīng)過點(diǎn)(2訂),即2l = l 解= -2,4所以/(X)=X-2;所以 f(J) = (2)2 =扌.故答案為：扌.把點(diǎn)的坐標(biāo)代入幕函數(shù)解析式求

15、出加的值，求出解析式，再計(jì)算f(問的值. 本題考査了幕函數(shù)的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.12. 【答案】-3【解析】解：因?yàn)?為第二象限角，且sin = P所以 cos0 = »3貝 IJSin(0 + £) = co s =寧.故答案為：空3由已知結(jié)合同角平方關(guān)系可求cos,然后結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.本題主要考查了同角平方關(guān)系及誘導(dǎo)公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.13. 【答案】2*-£2花一弓，kez【解析】解：根據(jù)函數(shù)(x) = ASin(x + )A > O, > O, < Tr)的部分圖象, 可得4 = 1， = Z =

16、再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，可得TrX扌+ W =兀， W =尋，/(%) = Sin(Tr % + ).2k-< x+<2k + 求2k-x2k-,故函數(shù)的增區(qū)間為2fc-2fc-, kez,故答案為：2k-t2k- kez.由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出3,由五點(diǎn)法作圖求出®的值，可得函數(shù) 的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論.本題主要考查由函數(shù)y = Asin(x + ¢)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo) 求岀A,由周期求出3,由五點(diǎn)法作圖求出e的值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.14. 【答案】【解析】解：對(duì)于，由于f(x) = SinX

17、 = CoS(X+為，所以函數(shù)/XE = S沅X的圖象可 由函數(shù)g(x = COSX的圖象向左平移芋個(gè)單位得到：正確：對(duì)于，函數(shù)f(x) = S沅X在G")上為減函數(shù)，函數(shù)g(x) = CoSX在G")上為減函數(shù)； 正確：對(duì)于，若直線X = t與這兩個(gè)函數(shù)的圖象分別交于不同的A，B兩點(diǎn)，則AB = sint - CoStl = 2sin(t-) 血故錯(cuò)誤；故正確結(jié)論序號(hào)為：故答案為：.根據(jù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.本題考査三角函數(shù)的性質(zhì)，圖彖及三角變換，屬于中檔題.15. 【答案】(-1,0) U 1, 3【解析】解：條件等價(jià)于方IS(x) = k有2個(gè)不等實(shí)根

18、，也即函數(shù)f(x)與y=c的圖象 有2個(gè)不同的交點(diǎn)， 作出函數(shù)/'(x)的圖象如圖：第8頁(yè)，共12貞jfc(-l,O)Ul, 3,故答案為(-1,0) U 1, 3,題目等價(jià)于函數(shù)Z(X)¾ = k的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可本題考査函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.16. 【答案】0,+8)【解析】解：根拯題意，若函f(X) = X2+上的平均值函數(shù)，則方程疋+ mx = 牛學(xué)，即x2+mx-m = 0在(1,1)內(nèi)有實(shí)數(shù)根， 若函數(shù)g(x) = X2 +mx -m在(-1,1)內(nèi)有零點(diǎn)則厶=n2+4m0,解得m 0,或m 4.g(l)

19、 = 1 > Ot g(1) = I- 2m.g(0) = -Tn.對(duì)稱軸：X = -P in O時(shí)，一寧 0, g(O) = -nO, g(l) > 0,伙此此時(shí)函數(shù)g(x)在(一1,1)內(nèi)一泄 有零點(diǎn).nO滿足條件. m 4 時(shí)，一 *2,由 jg(l) = 1 > 0.因此函 (x) = x2 + mx -m 在(一匕1)內(nèi) 不可能有零點(diǎn)，舍去.綜上可得：實(shí)數(shù)加的取值范用是0,+).故答案為：0,+8)根據(jù)題意，若函數(shù)f U) = x2 + mx-l,l±的平均值函數(shù)，方程* +HX =竿罕， 即疋+ nx-m = 0在(-1,1)內(nèi)有實(shí)數(shù)根，若函(%) =

20、X2 + mx - m在(一1,1)內(nèi)有零 點(diǎn).首先滿足：A0,解得m2 0,或m -4.(I) = I >0, (-l) = l-2m.對(duì)稱軸：x=-p對(duì)加分類討論即可得出.本題考査了新左義、二次函數(shù)的性質(zhì)、分類討論方法、方程與不等式的解法，考查了推 理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.17. 【答案】解：(I)IOg64 + 21og63 =2- = -3= Z= 6；Igb Igb IgbIgb(2) V2 × V2 × V5 = 2 + 2 + 2 = 2+8+6 = 21 = 2 (3) CoSl20。+ tnl350 = COS(180° 一 600)

21、 + tan(180o 一 45°) = 一CoS60。一 tan450 =i 1 =【解析】(1)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可得解(2) 利用指數(shù)的運(yùn)算即可求解.(3) 利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解.本題主要考查了對(duì)數(shù)，指數(shù)的運(yùn)算，考查了誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬 于基礎(chǔ)題.18.【答案】解：(1) V已知Sina+costn-l tan+l'tana = 3SinaCoSa第12貞，共12頁(yè) 為第三象限角， COSa V O, Sina V Ot 且sin2 + cos2 = 1.-JSina = VIOCOSa =10(2)由以上可得，tan

22、( + m =豊器=吉=一2O14(3)cos2a = 2cosa 1 = 2- 1 =【解析】(1)由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得COSa的值.(2) 由題意利用兩角和的正切公式，求得所給式子的值.(3) 由題意利用二倍角公式的余弦公式，求得cos2的值.本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正切公式、二倍角公式的余弦公式的 應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19. 【答案】解：依題意，loga2 =WOga2 = Ioga2 =解得 = 4或Q =-：4(2) 依題意，IIOgaXlI = IlOgaX2h 又O <X1<X2,故IOgaW +lg°%2 = °

23、;> 即IOga(XIX2)= 0» 故XlX2 = 1：(3) 顯然當(dāng)X = I時(shí)，函f(X) = IlOgaXl取得最小值為0,則函數(shù)f(x)在扌,3的最大值為2,若f(=loga | = 2,解得a =乎或a = 2:若f(3) = IlOga3| = 2,解得a = sKa = 3:結(jié)合(2)可知，只有a =迺或a =逅滿足題意3【解析】(1)代入直接求解即可：(2) 計(jì)算可知IOga(XIX2) = 0，由此得到2 = 1：(3) 分析可知函數(shù)(x)在扌,3的最大值為2,討論即可得解.本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查邏輯:推理能力，屬于基礎(chǔ)題20. 【答案】解:

24、Wf(Xy) = COSXSin(X + ).(2)依題盤：，得函數(shù)f (咒)=4cosxsin(x + ) = COSX (77SinX + COSXy) = 3sin2x +Icos2X 1 + 1 sin2x + cos2x) + 1 = 2sin(2x + £) + 】 它的最小正周期為 = .函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程令2x + = k + 求得X = k + k e Z.6 2 2 6(3)對(duì)于任意尤 0,n均WZ(X) f(0)成立， /(O) = 4cos0sn- = 2.62sin(2x + 9 + 1 = 2,可得% = 時(shí)，產(chǎn)(扌)=2,【解析】(1)直接利

25、用已知條件求解即可.(2) 利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和對(duì)稱軸求得f(x) 的最小正周期和對(duì)稱軸即可.(3) 求岀函數(shù)f(0)的值，然后求解函數(shù)在(0,Tr)的范鬧內(nèi)，求出X的值等于f(0),即可得 到/H的最大值.本題主要考查三角恒等變換，兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的最值的求法，正弦函數(shù)的 周期性和對(duì)稱性，屬于中檔題.21. 答案】解：(1)令T = I,貝J(%+l)=(x),即該函數(shù)的周期為1, f(y) = sin2x的周期為算=1.故f (x)滿足性質(zhì)P(I),g(x) = COSTrX的周期為年=2,故g(x)不滿足性質(zhì)P(I),(2) 函數(shù)f(x)既

26、滿足性質(zhì)P(2).又滿足性質(zhì)P(3),fa + 2) = 2/(%), /(x + 3) = 3/(%), f(x + 3)=(x + l + 2) = 2f(x + 1) = 3f(x)又f(X + 2) = /(x - 1 + 3) = 3(x -1) = 2/(x)結(jié)合f(x + 1) = /(x - 1 + 2) = 2(x 一 1),聯(lián)立消去f(x + 1)、f(x 一 1) 解 Wf(X) = o.(3) 因?yàn)閒(x + 1.01) = 1.01 f(x)f 所以丄 U丄所i) = > 眩=0, /(0-L01) = i(0). /(0-2 X 1.01) =A-i.01)

27、= h0),/(-n × 1.01)=-Ajr(0)t (nN+)易知(-n × 1.01) = r-fr (0)I V 0.001,且隨著 n 的增大(-n X 1.01)的值遞減.對(duì)IA)l < O OOl兩邊取常用對(duì)數(shù)得:.01 +lg(O) <-3整理后得n >3+1 酎(0)|1.01,取大于3+1 創(chuàng) f(0)IgLoI的整數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的牝=-n× 1.0足IfOO)I V0.001.所以,存在 R使得IZ(XO)I V 0.001.【解析】根據(jù)P(I)的立義可知,該函數(shù)的周期為1,利用公式可分別求出它們的周期：(2) 根據(jù)P(2)、P(3)的性質(zhì)，合理變換X的取值，結(jié)合性質(zhì)，可構(gòu)造岀關(guān)于f(x)的方程 解岀f(x);(3) 采用構(gòu)造法，WP(I-Ol)M性質(zhì)轉(zhuǎn)化為Z(x) = r(x +1-01),讓函數(shù)值隨著X后而累加1.01,絕對(duì)值逐漸縮小，再利用賦值法求得符合題意的.本題考査了抽象函數(shù)及其應(yīng)