平面向量的正交分解及坐標表示優(yōu)質課

1、課題：課題： 平面向量的正交分解及坐標表示平面向量的正交分解及坐標表示學習導航：平面向量基本定理告訴我們，平面內所有向量可以用平面的一組基底表示出來，以化歸與轉化為思想達到化繁為簡的目標；那么恰當?shù)倪x擇基底（盡可能特殊化的基底），將帶來更加便利的向量表示及運算。我期待ing,你呢？昨天的記憶昨天的記憶平面向量基本定理：平面向量基本定理：12121 122 +e eaaee 如果 、是同一平面內的兩個線的向量，那么對于這一平面內的任一向量 ，有且只有一對實數(shù) 、，可使不共12e e 這里不共線的向量 、叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.1122 +aee 1122 +aee 這就是說平面內任

2、一向量 都可以表示成的形式把一個向量分解為兩個把一個向量分解為兩個互相垂直互相垂直的向量，叫作把的向量，叫作把向量正交分解向量正交分解1F G2F 重力產(chǎn)生兩個效果，一是木塊受平行于重力產(chǎn)生兩個效果，一是木塊受平行于斜面的力的作用，沿斜面下滑；一是木塊產(chǎn)斜面的力的作用，沿斜面下滑；一是木塊產(chǎn)生垂直于斜面的壓力生垂直于斜面的壓力. .也就是說，重力的也就是說，重力的效果等價于和得合力效果，即效果等價于和得合力效果，即 G1F 2F G12.GFF =+1F 2F 把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量做把向量. .如圖，向量如圖，向量是兩個互相垂是兩

3、個互相垂直且長度分別為直且長度分別為2 2，1 1的向量，向量的向量，向量與與的夾角的夾角是是3030，且，以向量，且，以向量為基底，向量為基底，向量如何表示？如何表示？1e1ea4a aB BO OA AP Pa1e2,e1e2,e有何優(yōu)越性？表示的結果是什么，的長度都為若該題中的基底?1,21aeeABCDoxyija如圖，如圖， 是分別與是分別與x軸、軸、y軸方向相同軸方向相同的單位向量，若以的單位向量，若以 為基底，則為基底，則, i j , i j .a a = i +xjyxy對于該平面內的任一向量 ，有且只有一對實數(shù) 、 ，可使 i i = =j j = =0 0 = =（1，0

4、）（0，1）（0，0）( , )ax y其中，其中，x叫做叫做 在在x軸上的坐標，軸上的坐標，y叫做叫做 在在y軸上的軸上的坐標，式叫做向量的坐標表示坐標，式叫做向量的坐標表示. .aa這樣，平面內的任一向量這樣，平面內的任一向量 都可由都可由x，y唯唯一確定，我們把（一確定，我們把（x,y）叫做向量）叫做向量 的（直角）的（直角）坐標，記作坐標，記作aaABCDoxyija概念理解概念理解OxyAijaxya = xi +yjOA = xi +yj1以原點以原點O為起點為起點作作 ，點，點A的的位置由誰確定位置由誰確定?OAa 由由唯一確定唯一確定.a2點點A的坐標與向量的坐標與向量的坐標的

5、關系？的坐標的關系？兩者相同兩者相同向量向量坐標（坐標（x ，y）一一 一一 對對 應應OxyAijaxyaa例例1.如圖，分別用基底如圖，分別用基底 ， 表示向量表示向量 、 、 、 ，并求出，并求出 它們的坐標。它們的坐標。ijabcd AA1A2解：如圖可知解：如圖可知1223aAAAAij (2,3)a同理同理23( 2,3);23( 2, 3);23(2, 3).bijcijdij 思考：思考：已知已知 ，你能得出，你能得出 的坐標嗎？的坐標嗎？1122( ,),(,)ax ybxy,ab aba 平面向量的坐標運算：平面向量的坐標運算： 兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應

6、坐標兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）的和（差）12121212(,)(,)abxxyyabxxyy11(,)axy實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的坐標實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的坐標例例.如圖，已知如圖，已知 ，求，求 的坐標。的坐標。1122( ,), (,)A x yB xyAB xyOBA解：解：ABOBOA 2211(,)( ,)xyx y2121(,)xx yy 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。的終點的坐標減去起點的坐標。思考思考:你能在上圖中標出坐標為你

7、能在上圖中標出坐標為(x2-x1,y2-y1)的點嗎？的點嗎？例例2.已知已知 ，求，求 的坐標。的坐標。(2,1),( 3,4)ab ,34ab abab 例例3.如圖，已知如圖，已知 的三個頂點的三個頂點A、B、C的坐標分別是的坐標分別是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），試求頂點），試求頂點D的坐標。的坐標。ABCDABCDxyO解法：設點解法：設點D的坐標為（的坐標為（x,y）( 1,3)( 2,1)(1,2)(3,4)( , )(3,4) ABDCx yxyABDC 且且(1,2)(3,4)xy1324 xy解得解得 x=2,y=2所以頂點所以頂點D的坐標為（的坐標

8、為（2，2）例例4.如圖，已知如圖，已知 的三個頂點的三個頂點A、B、C的坐標分別是的坐標分別是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），試求頂點），試求頂點D的坐標。的坐標。ABCDABCDxyO解法解法例例4.如圖，已知如圖，已知 的三個頂點的三個頂點A、B、C的坐標分別是的坐標分別是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），試求頂點），試求頂點D的坐標。的坐標。ABCDABCDxyO解法解法2解法解法2：由平行四邊形法則可得：由平行四邊形法則可得( 2( 1),1 3)(3( 1),43)(3, 1) BDBABC 而而( 1,3)(3, 1)(2,2) ODOBBD 所以頂點所以頂點D的坐標為（的坐標為（2，2）ABCDoxyija小結小結1 :平面向量的坐標表示平面向量的坐標表示如圖，如圖， 是分別與是分別與x軸、軸、y軸方向相同軸方向相同的單位向量，若以的單位向量，若以 為基底，則為基底，則, i j , i j +aaijxyxy 對于該平面內的任一向量 ，有且只有一對實數(shù) 、 ，可使 這里，我們把（這里，我們把（x,y）叫做向量）叫做向量 的（直角）坐標，記作的（直角）坐標，記作a( , )ax y其中，其