概率復(fù)習(xí)題答案

1、一、全概率公式與貝葉斯公式1、設(shè)有一批產(chǎn)品由甲，乙，丙三個(gè)工廠生產(chǎn)，甲廠生產(chǎn)其中的，其它二廠各生產(chǎn)，又知甲乙兩廠產(chǎn)品各有3%是次品，丙廠有2%是次品，(1)從這批產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品，求取到次品的概率？ (2)已知取到的是次品,求該次品是由乙廠生產(chǎn)的概率?1、解：取到的產(chǎn)品是甲，乙，丙工廠生產(chǎn)的分別記為，取到的產(chǎn)品是次品記為B，則由全概率公式得： = 由貝葉斯公式得： = 2、國(guó)美電器商店里的冰箱有三個(gè)品牌，“海爾”品牌的次品率為0.01，份額為80%，“天爾”品牌的次品率為0.02，份額為15%，“地爾”品牌的次品率為0.03，份額為5%，隨機(jī)地調(diào)查一名顧客,詢問他購(gòu)得的冰箱的質(zhì)量.(1) 求

2、顧客購(gòu)得次品冰箱的概率。(2) 已知顧客購(gòu)得次品冰箱，求此冰箱恰好是“海爾”品牌的概率。 2、解：購(gòu)到的冰箱是“海爾”，“天爾”，“地爾”品牌的分別記為，購(gòu)到的冰箱是次品的記為B，則由全概率公式得： =0.0125 由貝葉斯公式得：= 3、某廠有三條流水線A，B，C生產(chǎn)同一產(chǎn)品，其產(chǎn)品分別占總量的40，35， 25，又這三條流水線的次品率分別為0.02, 0.04，0.05?，F(xiàn)從出廠的產(chǎn)品中任取一件。問（1）恰好取到次品的概率是多少？（2）若取得次品，則該次品是流水線A生產(chǎn)的概率是多少？3、解： 設(shè) 2分則由全概率公式得: 4分由貝葉斯公式得： 4分二、已知聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度1、設(shè)二維

3、隨機(jī)變量在區(qū)域G:上服從均勻分布，試求：（1）聯(lián)合概率密度；（2）邊緣概率密度,并判斷和是否獨(dú)立；（3）.1、解：(1) (2) 因，所以不獨(dú)立 (3) 2、已知二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求：(1)關(guān)于和Y的邊緣概率密度函數(shù)，X、Y是否獨(dú)立？為什么？(2) (3) 令求E(Z)。2、解：(1)計(jì)算可得，由X與Y的對(duì)稱性知： 因，故x與y不是獨(dú)立的。 (2), (2分)而，故 (3)E(Z)=E(X)+2E(Y)=， 3、設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為(1) 求；(2)是否相互獨(dú)立,為什么？3、解：(1) （3分） （3分）(2) 因?yàn)椋圆幌嗷オ?dú)立。（4分）4、設(shè)(X,

4、Y)的概率密度為(1) 求邊緣密度函數(shù)； (2)是否相互獨(dú)立,為什么？4、解：(1) （6分）(2) 因，所以X與Y相互獨(dú)立。 （4分）5、已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為(1)試確定常數(shù);(2)求邊緣密度函數(shù),隨機(jī)變量是否相互獨(dú)立？5、解： 2分所以 2分 (2) 2分 2分(3)由于對(duì)任意,有,故獨(dú)立.-2分6、設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布。求邊緣密度函數(shù)。6、解：因， 2分所以有， 4分 4分三、隨機(jī)變量數(shù)字特征的計(jì)算1、一射手向指定目標(biāo)射擊2次，各次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，且每次射中的概率是，用X表示2次射擊射中的次數(shù).（1）求X的分布律并計(jì)算E(X)，D(X)。（2）若以Y表示2次

5、射擊不中的次數(shù)，求，E(Y)，D(Y)，。1、解：(1)X的分布律為： X 0 1 2 E(X)= +2=， +4=， D(X)= (2)Cov(X,Y)=Cov(X,2-X)=-D(X)=-, E(Y)=E(2-X)=2-=, D(Y)=D(X)=, 2、已知隨機(jī)變量與分別服從正態(tài)分布和，且與的相關(guān)系數(shù)為，設(shè)求（1）和；（2）；（3）.2、解：（1）, （3分） （4分）（2） （3分）（3） （2分）3、隨機(jī)變量的分布函數(shù),求3、解：， （4分） （3分） = （3分）4、隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 ，求E（X）,D（X）。4、解：依題意，隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為 2分， 3分， 3分所以

6、D(X)= 2分5、已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為且E(X)=0.5，D(X)=0.15。求a,b,c。5、解：，從中解得a=12,b=-12,c=3 4分四、中心極限定理1、某商店出售某種貴重商品.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，該商品每周銷售量服從參數(shù)為的泊松分布.假定各周的銷售量是相互獨(dú)立的.用中心極限定理計(jì)算該商店一年（52周）內(nèi)售出該商品件數(shù)在50件到70件之間的概率.1、解：設(shè)該商店第i周售出該商品件數(shù)為，則該商店一年內(nèi)（52周）售出該商品件數(shù)， 因服從參數(shù)為的泊松分布，所以E(X)=52，D(X)=52 所以 2、某商場(chǎng)計(jì)劃在元旦期間召開一次規(guī)模為120人參加的聯(lián)誼會(huì)，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，接到邀請(qǐng)的人中

7、平均有80%到會(huì)，故發(fā)出了150張請(qǐng)柬，試求前來參加聯(lián)誼會(huì)的人數(shù)為110到130人的概率(用表示)2、解：.設(shè)前來參加聯(lián)誼會(huì)的人數(shù)為,則有， 由隸莫夫拉普拉斯中心極限定理 3、某食品廠有三種蛋糕出售，由于售出哪一種蛋糕是隨機(jī)的，因而售出一塊蛋糕的價(jià)格是一個(gè)隨機(jī)變量，它取1， 1.2，1.5（元），各個(gè)值的概率分別為0.3, 0.2, 0.5. 若某天售出300塊蛋糕，求這天的收入至少有400元的概率.（結(jié)果保留） 3、解：設(shè)一塊蛋糕的價(jià)格為，其分布律為：，可求出 （5分）（5分）4、報(bào)刊亭出售4種報(bào)紙，它們的價(jià)格分別為0.6，1.0，1.5，1.8（元），且每份報(bào)紙售出的概率分別為0.25，

8、0.3， 0.35，0.1.若某天售出報(bào)紙400份，試用中心極限定理計(jì)算該天收入至少有450元的概率（結(jié)果保留）4、解：設(shè)為該天售出第份報(bào)紙的收入則，（2分），所以 （3分）令表示該天的總收入，則由獨(dú)立同分布中心極限定理得 （5分）5、在天平上重復(fù)稱量一重為a的物品，假設(shè)各次稱量的結(jié)果相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布。若以表示n次稱量結(jié)果的算術(shù)平均值，則為使平均重量與a的誤差不超過0.1的概率不小于0.95，那么至少要稱多少次？5、解：依題意得：， 2分 4分 2分解得 2分五、點(diǎn)估計(jì)1、總體X具有分布律 X 0 1 2 2 已知樣本值,求參數(shù)()的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值.1、解：因E(X)=+4=1

9、+2-3， 所以1=1+2-3， 故得的矩估計(jì)值為 似然函數(shù)， 令，得極大似然估計(jì)值為 2、設(shè)總體X的概率密度為是未知參數(shù)，是來自總體X的一個(gè)樣本，求參數(shù)的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量。2、解（1）(2) (3分)所以參數(shù)的極大似然估計(jì)量 (2分)3、設(shè)總體的概率密度函數(shù)為,其中是未知參數(shù)，是取自總體的一個(gè)樣本，求參數(shù)的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量.3、解：（1）令，又， （1分） （2分）故 的矩估計(jì)量為 （1分）（2）似然函數(shù), （2分） 故 （3分） 解得極大似然估計(jì)值為故得極大似然估計(jì)量為 （1分）4、設(shè)是來自總體X的樣本，且總體X的分布密度為：其中求的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量。4、解：（1）

10、 2分令 2分（2）似然函數(shù)為 2分 2分 2分5、設(shè)總體的密度函數(shù),未知,是來自總體的樣本,求的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量.5、解：（1）矩法：（2） 2分 2分 ， 1分 六、假設(shè)檢驗(yàn)1、某包裝機(jī)包裝物品，在通常情況下每袋物品的重量服從正態(tài)分布。現(xiàn)在隨機(jī)抽取袋物品，算得其重量的樣本方差為，試檢查今天包裝機(jī)所包物品重量的方差是否有變化？（）1、解：檢驗(yàn)假設(shè)：， 選取統(tǒng)計(jì)量： 拒絕域:=27.488，或=6.262 算得, 拒絕原假設(shè)：，即認(rèn)為物品重量的方差有變化。 2、設(shè)某元件的可靠性指標(biāo)服從正態(tài)分布，合格標(biāo)準(zhǔn)之一為標(biāo)準(zhǔn)差，現(xiàn)檢測(cè)15次，測(cè)得指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為，在顯著性水平下可否認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)差仍為0.

11、05？2、解：檢驗(yàn)假設(shè)： ， 選取統(tǒng)計(jì)量：拒絕域:=23.685，或=6.571 算得, 拒絕原假設(shè)：，即認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)差不是0.05。 3、根據(jù)長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)和資料的分析，某磚瓦廠生產(chǎn)磚的“抗斷強(qiáng)度”服從正態(tài)分布，方差.從該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6塊，測(cè)得,檢驗(yàn)這批磚的平均抗斷強(qiáng)度為是否成立? () 3、解：檢驗(yàn)假設(shè)：. （2分）此檢驗(yàn)拒絕域?yàn)椋?分）查表得，又， ，（3分）落在拒絕域中，故拒絕，即不能認(rèn)為這批磚的平均抗斷強(qiáng)度為 （2分） 4、某煉鐵廠的鐵水含碳量服從正態(tài)分布，現(xiàn)對(duì)操作工藝進(jìn)行了某些改進(jìn)，從中抽取5爐鐵水測(cè)得含碳量有關(guān)數(shù)據(jù)，其中，據(jù)此能否認(rèn)為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為()4、解：檢驗(yàn)假設(shè)

12、： （2分）此檢驗(yàn)拒絕域?yàn)榛颍?分）查表得，又， （2分）， （2分）故拒絕，不能認(rèn)為方差為 （1分）5、有一大批糖果，現(xiàn)從中隨機(jī)地抽取16袋，稱得重量的平均值克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，設(shè)糖果重量總體服從正態(tài)分布，但參數(shù)均未知，問在顯著性水平下能否接受假設(shè)：這批糖果重量的均值為503克？5、解：依題意，檢驗(yàn)問題假設(shè)如下： 1分由于總體服從正態(tài)分布，參數(shù)均未知，因此取統(tǒng)計(jì)量:6、測(cè)定某溶液中的水分，其中10個(gè)測(cè)定值給出樣本均值為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，設(shè)測(cè)定值總體服從正態(tài)分布,試在5的顯著水平下，分別檢驗(yàn)假設(shè)：（1） （2）6、解：（1）拒絕域: 2分 拒絕 3分（2）拒絕域: 或 2分，不拒絕 3分七、證明題 1、設(shè)X、Y為獨(dú)立隨機(jī)變量，EX=EY=0，均存在。求證：存在，且 。1、證明：因X與Y獨(dú)立，則X與，Y與也相互獨(dú)立，故2、設(shè)總體X服從參數(shù)為的泊松分布，是X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試證：是的無偏估計(jì)。2、證明：因總體X服從參數(shù)為的泊松分布，所以E(X)=D(X)= 又 故有：E()= 3、設(shè)、為兩個(gè)事件，若，證明：與相互獨(dú)立、與互不相容、,這三種