二次函數(shù)的存在性問題(面積的存在性問題)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載二次函數(shù)的存在性問題(面積問題 )08 湖北荊州 已知：如圖， Rt AOB 的兩直角邊 OA 、 OB 分別在 x 軸的正半軸和 y 軸的負半軸上， C 為 OA 上一點且 OCOB，拋物線 y=(x2)(x m) (p-2)(p-m)（m、p 為常數(shù)且 m+2 2p>0）經(jīng)過 A 、 C 兩點（ 1）用 m、 p 分別表示 OA 、OC 的長；y（ 2）當(dāng) m、 p 滿足什么關(guān)系時， AOB 的面積最大20.(1)令 y0得：（ x 2)( xm)( p 2)( p m)0整理得：（ xp)( xm2p)0x1p, x2m2pm22 p0 m2pp0CxOAm2p,O

2、CPOA(2)OCOB, S AOB1BOA OB2S AOB1OA OB1 P (m2p)221 P21 ( m2) P221 (m2)1 (m當(dāng) p212)時， S AOB最大 .2(2)208 湖北荊州 如圖，等腰直角三角形紙片ABC 中， AC BC 4， ACB 90o，直角邊 AC在 x 軸上， B 點在第二象限， A （ 1， 0），AB 交 y 軸于 E，將紙片過 E 點折疊使 BE 與 EA 所在直線重合，得到折痕 EF（F 在 x 軸上），再展開還原沿 EF 剪開得到四邊形 BCFE，然后把四邊形 BCFE 從 E 點開始沿射線 EA 平移，至 B 點到達 A 點停止 .設(shè)

3、平移時間為 t （ s），移動速度為每秒 1 個單位長度，平移中四邊形 BCFE 與 AEF 重疊的面積為 S.（1）求折痕 EF 的長；（2）是否存在某一時刻 t 使平移中直角頂點 C 經(jīng)過拋物線 y x24x3 的頂點？若存在，求出 t值；若不存在，請說明理由；（3）直接寫出 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式及自變量 t 的取值范圍 .yB（） 折疊后BE與所在直線重合B125. 1EAFE EA又 Rt ABC中 ACBCECAB45E1EF EACF OA x（ ，）C11A 1 0OA OE 1， AE2F折痕 EF2（2）存在 . 設(shè)CP BA 交 Y軸于 P，則 POC為等腰直角三角形，

4、直角頂點C 在射線 CP上移動AC 4，OA 1OC OP3（，），（ ， ）C3 0P 03可求得 PC所在直線解析式為：y=-x-3學(xué)習(xí)必備歡迎下載直角頂點 C從（3，0）位置移動到（2， 1）時，水平移動距離為2 （3） （1長度單位）直角頂點 C從開始到經(jīng)過此拋物線頂點移動的時間t12( s)拋物線 :y=x 24x 3 ( x 2)2 122拋物線的頂點為（2， 1）代x2入yx3得y1.點（2， 1）在直線 CP上即直角頂點 C在移動中經(jīng)過此拋物線的頂點四邊形BCFE沿射線移動速度為每秒一個單位長度，BAC45EA直角頂點向水平方向移動速度為12(長度單位/秒）BCFEcos451

5、t222t (0 t2)2(3)s1(2t221 t22t1(22t32)41 t 222t8(32t42)4學(xué)習(xí)必備歡迎下載08 湖北襄樊 如圖 ,四邊形 OABC 是矩形 ,OA=4,OC=8, 將矩形 OABC 沿直線 AC 折疊 ,使點 B 落在 D 處 ,AD 交 OC 于 E.(1) 求 OE的長;(2) 求過 O、 D、 C三點拋物線的解析式 ;(3) 若 F 為過 O、D、C三點拋物線的頂點 , 一動點 P 從 A 點出發(fā) , 沿射線 AB 以每秒一個單位長度的速度勻速運動,當(dāng)運動時間t( 秒 ) 為何值時 , 直線 PF 把 FAC分成面積之比為 1:3 的兩部分 ?解：（

6、1）四邊形OABC 為矩形， CDE= AOE=90 °， OA=BC=CD又CED= OEA ， CDE AOE OE=DE.OE 2OA2( ADDE)2,解得 OE3.(3分)（ 2） EC=8 3=5. 如圖 4，過點 D作 DG EC于 G， DGE CDE DEDG ,DEEG .DG12, EG9 D (24,12)ECCDECDE5555ax2 O 點為坐標(biāo)原點，故設(shè)過O、C、 D 三點拋物線的解析式為ybx .64a 8b0解得a=5，32(24 )2 a24 b12 .b55554. y5 x25 x.（7分）324其頂點坐標(biāo)為（5（ 3）因為拋物線的對稱軸為x=

7、4，）4 .2設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+b ，則8kb，0k1，1 xb4解得2 y4.（9分）b421設(shè)直線 EP 交直線 AC 于 H（ m， m4），過 H 作 HM OA 于 M.2 AMH AOC. HM ： OC=AH ： AC.S FAH：S FHC：或 ：，13 31AH： HC=1： 3或 3： 1HM：OCAH：AC14：或3：4 HM=2 或 6，即 m=2 或 6直線FH1解析式為y1117 當(dāng)y時， x=18x.4.421154直線FH的解析式為7x19 當(dāng)時， x=2y2. y4.47當(dāng) t18 秒或 54 秒時，直線 FP把 FAC分成117面積比為 1

8、： 3的兩部分。 .（ 12分）學(xué)習(xí)必備歡迎下載08 年湖北省武漢 如圖 1，拋物線 yax23axb 經(jīng)過 A（ 1，0），C（ 3，2）兩點，與 y 軸交于點 D，與 x 軸交于另一點B。求此拋物線的解析式；若直線ykx1(k0) 將四邊形 ABCD面積二等分，求k 的值；如圖 2，過點 E（1， 1）作 EF x 軸于點 F，將 AEF繞平面內(nèi)某點旋轉(zhuǎn)180°后得 MNQ（點 M，N，Q分別與點A， E， F 對應(yīng)），使點 M， N在拋物線上，求點M， N 的坐標(biāo) y1 x23 x 2 ；22 k4；3 M（ 3， 2）， N（ 1， 3）yDCABOx圖 1yDAFBOxE圖

9、 2學(xué)習(xí)必備歡迎下載08 湖南湘西 已知拋物線 y2(x 2)2k 與 x 軸交于 A、 B 兩點，與 y 軸交于點 C，其中點 B 在 x 軸的3正半軸上， C 點在 y 軸的正半軸上，線段OB、 OC 的長（ OB OC ）是方程 x2 10x 16 0 的兩個根 .（ 1）求 A、 B 、C 三點的坐標(biāo)；（ 2）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出拋物線的大致圖象并標(biāo)明頂點坐標(biāo)；（ 3）連 AC、BC，若點 E 是線段 AB 上的一個動點（與A、B 不重合），過 E 作 EF AC 交 BC 于 F ，連CE，設(shè) AEm ， CEF的面積為 S，求 S 與 m 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m 的取值范圍

10、 .（ 4）在（ 3）的基礎(chǔ)上說明S 是否存在最大值，并求出此時點E 的坐標(biāo)，判斷此時 BCE 的形狀；若不存在，請說明理由 .（ 1）方程x2 10x16 082的兩根為 x1， x2 OB=2， OC=8 B（ 2， 0）C（0， 8）函數(shù) y2(x2)2k的對稱軸為 x 23 A（6，0）即 A（ 6 ， 0） B（2， 0） C（0， 8）（ 2） B 點在 y2 (x2) 2k 上2 ( 23 02) 2k3 k3232 ( x2)232函數(shù)解析式為 y3332頂點坐標(biāo)為2， ) ，大致圖象及頂點坐標(biāo)如右3（ 3） AE=m， AB=8， BE8m OC=8， OA=6，據(jù)勾股定理得

11、 AC 10ACEF， ACAB即 108， EF5(8 m)EFBEEF8m4過F作FGAB于G4 sinCABsinFEB5而 sin FEB FG ， FG 8 mEF S=S CEB S FEB=1BEOC1BE FG1 m24m222 S與 m 的函數(shù)關(guān)系式為 S1 m24m ， m 的取值為 0m 82（4） S1 m24m中10 ，S 有最大值22S1 (m4) 28 ， 當(dāng) m=4 時， S 有最大值為 822 ，0）E 點坐標(biāo)為： E（B（ 2，0）， E（ 2 -，0） CE=CB BCE 為等腰三角形學(xué)習(xí)必備歡迎下載08江蘇淮安如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)ya(

12、 x2) 21圖像的頂點為P，與x 軸交點為 A 、B ，與 y 軸交點為C，連結(jié) BP 并延長交y 軸于點 D 。（ 1）寫出點P 的坐標(biāo)；（ 2）連結(jié) AP ，如果 APB 為等腰直角三角形，求a 的值及點 C、 D 的坐標(biāo)；（ 3）在（ 2）的條件下，連結(jié)BC、 AC 、 AD ，點 E（ 0， b）在線段CD（端點 C、 D 除外）上，將BCD繞點 E 逆時針方向旋轉(zhuǎn) 900，得到一個新三角形。設(shè)該三角形與 ACD 重疊部分的面積為 S，根據(jù)不同情況，分別用含 b 的代數(shù)式表示 S，選擇其中一種情況給出解答過程，其它情況直接寫出結(jié)果；判斷當(dāng) b 為何值時，重疊部分的面積最大？寫出最大值

13、。學(xué)習(xí)必備歡迎下載08 遼寧沈陽 如圖所示， 在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 ABOC 的邊 BO 在 x 軸的負半軸上， 邊 OC 在 y 軸的正半軸上， 且 AB 1，OB 3 ，矩形 ABOC 繞點 O 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 60 對應(yīng)點為點 E ，點 B 的對應(yīng)點為點 F ，點 C 的對應(yīng)點為點 D ，拋物線 yax 2bxc過點 A，E，D （ 1）判斷點 E 是否在 y 軸上，并說明理由；（ 2）求拋物線的函數(shù)表達式；（ 3）在 x 軸的上方是否存在點P ，點 Q ，使以點 O， B， P， Q 為頂點的平行四邊形的面積是矩形 ABOC 面積的 2 倍，且點 P 在拋物線上，若存在，請求出點

14、 P ，點 Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（ 1）點 E 在 y 軸上 ,理由如下：后得到矩形 EFOD 點 A 的yEFACDxBO連接 AO ，如圖所示，在Rt ABO 中，AB 1， BO3 ，AO2sinAOB1AOB30，2由題意可知：AOE60BOEAOBAOE3060 90點 B 在 x 軸上，點 E 在 y 軸上（2）過點 D 作 DMx 軸于點 MOD1，DOM1， OM330 在 RtDOM 中， DM2y2點 D 在第一象限，點 D 的坐標(biāo)為31E2，2F由（ 1）知 EOAO2 ，點 E 在 y 軸的正半軸上ACD點 E 的坐標(biāo)為 (0，2)點 A的坐標(biāo)為 (31

15、)，BO Mx拋物線 yax2bxc 經(jīng)過點 E ，c2由題意，將A(31代入yax2bx 2 中得31)， ， D，223a3b21a898 x25 3 x331解得所求拋物線表達式為：y25 399ab2b4229（ 3）存在符合條件的點P ，點 Q 理由如下：矩形 ABOC 的面積AB BO3以 O， B， P， Q 為頂點的平行四邊形面積為2 3 由題意可知 OB 為此平行四邊形一邊，又OB3OB 邊上的高為 2依題意設(shè)點 P 的坐標(biāo)為 (m，2)點 P 在拋物線 y8 x253 x2 上8 m253 m 2 29999解得，m10 ， m253P1( 0，2，) P25 3 ，828

16、以 O， B， P， Q 為頂點的四邊形是平行四邊形，PQOB ， PQOB3，當(dāng)點 P1 的坐標(biāo)為 (0，2) 時，點 Q 的坐標(biāo)分別為 Q (3，2) ， Q( 3，2) ；12當(dāng)點P2的坐標(biāo)為53 ， 時，點 Q 的坐標(biāo)分別為Q3133 ， ，3 3， 8282Q428學(xué)習(xí)必備歡迎下載08 內(nèi)蒙包頭 已知直線 y kx 1 經(jīng)過點 M (d ， 2) 和點 N (1，2) ，交 y 軸于點 H，交 x 軸于點 F. （ 1）求 d 的值；（ 2）將直線MN 繞點 M 順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線ME ，點 Q(3， e) 在直線 ME 上，證明ME x 軸；試求過 M、 N、Q 三

17、點的拋物線的解析式；（ 3）在（ 2）的條件下，連接 NQ，作 NMQ 的高 NB，點 A 為 MN 上的一個動點，若 BA 將 NMQ 的面積分為 1 2 兩部分，且射線 BA 交過 M、 N、Q 三點的拋物線于點 C，試求點 C 的坐標(biāo) .yOx學(xué)習(xí)必備歡迎下載08 四川成都 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中， OAB 的頂點的坐標(biāo)為（10， 0），頂點 B 在第一象限內(nèi)，且 AB =35 ，sin OAB=5.5（ 1）若點 C 是點 B 關(guān)于 x 軸的對稱點，求經(jīng)過O、 C、 A 三點的拋物線的函數(shù)表達式；（ 2）在 (1)中，拋物線上是否存在一點P，使以 P、 O、 C、A為頂點的四

18、邊形為梯形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（ 3）若將點 O、點 A 分別變換為點Q（ -2k,0）、點 R（ 5k， 0）（ k>1 的常數(shù)），設(shè)過 Q、R 兩點，且以QR 的垂直平分線為對稱軸的拋物線與y 軸的交點為 N，其頂點為 M ，記 QNM 的面積為 S QMN ，QNR的面積 S QNR，求 S QMN S QNR的值.解：（ 1）如圖，過點B 作 BD OA于點 D.在 Rt ABD中， AB =35 ,sin OAB=5 ,5 BD = AB· sin OAB=35×5 =3.5又由勾股定理，得A D22(3 5)2326ABBD O

19、D = OA - AD =10-6=4.點 B在第一象限，點 B 的坐標(biāo)為（ 4，3）。y=ax 2+bx(a 0).設(shè)經(jīng)過O(0,0) 、 C（ 4， -3 ）、 A(10,0)三點的拋物線的函數(shù)表達式為16a4b3a1 ,15由8經(jīng)過O、 C、 A 三點的拋物線的函數(shù)表達式為x2100a10b05yx.b.844（ 2）假設(shè)在（1）中的拋物線上存在點P，使以 P、 O、 C、A 為頂點的四邊形為梯形點 C（ 4， -3 ）不是拋物線 y1 x25 x 的頂點，84過點 C 做直線 OA的平行線與拋物線交于點P1 。則直線 CP1 的函數(shù)表達式為y=-3.對于 y125x14,x26,而點

20、C（ 4， -3 ）， P (6,-3).xx ，令 y=-3x=4 或 x=6. 84y13;y23.1在四邊形 P AOC中， CP OA,顯然 CP OA . 點 P （6， -3 ）是符合要求的點。1111若 AP2 CO。設(shè)直線 CO的函數(shù)表達式為yk1 x.將點 C（4， -3 ）代入，得 4k13.k13 .343直線 CO的函數(shù)表達式為yx. 于是可設(shè)直線 AP2 的函數(shù)表達式為yb1.4x4將點 A（ 10， 0）代入，得3 x15 . 直線 AP2 的函數(shù)表達式為y3 x15 .4242y3 x15 .由42x24x600，即（ x-10 ）（ x+6） =0.y1 x25

21、 x84x110,x260;y212;y 1而點 A（ 10， 0）， P2（ -6 ， 12）。學(xué)習(xí)必備歡迎下載過點 P 作 P Ex 軸于點E，則 P E =12. 在 Rt APE 中，由勾股定理，得2222AP2212216220.P EAE22而 CO = OB =5.在四邊形P2OCA中， AP2 CO,但 AP2 CO .點 P2（ -6 ， 12）是符合要求的點。若 OP3 CA,設(shè)直線 CA的函數(shù)表達式為y=k 2x+b2將點 A(10,0) 、 C(4,-3)代入，得10k2b20k21 ,1x5. 直線 OP 的函數(shù)表達式為12 直線 CA的函數(shù)表達式為 yyx4k2b2

22、3232b25.y1xx10,x214,22由14x0, 即 x(x-14)=0. P3（ 14， 7）。1x0;y2而點 O(0,0),y25y17.8xx4過點 P 作 P Ex 軸于點 E，則 P E =7.333在 Rt OPE 中，由勾股定理，得3OP322721427 5. 而 CA =AB =3 5 .P3 FOF在四邊形 P3OCA中， OP3 CA,但 OP3 CA . 點 P3（ 14，7）是符合要求的點。綜上可知，在（1）中的拋物線上存在點P (6,-3)、 P (-6,12)、 P (14,7),123使以 P、 O、 C、 A 為頂點的四邊形為梯形。（ 3）由題知，拋

23、物線的開口可能向上，也可能向下。當(dāng)拋物線開口向上時，則此拋物線與y 軸的副半軸交與點N?？稍O(shè)拋物線的函數(shù)表達式為ya( x2k )( x 5k ) （a 0）。即 y ax2 3akx 10 ak 2a( x3k)249ak2 .24如圖，過點 M作 MG x 軸于點 G. Q（ -2k ，0）、 R（ 5k， 0）、G(3 k,0、 N(0， -10ak 2) 、 M3 k ,49 ak 2 ,224 QO2k, QR7k, OG3 k , QG7 k, ON10 ak 2 , MG49 ak 2 .11224S QNRQRON7k10ak 235ak 3.221 QOON1(ONGM)OG

24、1 QGGM22212k10ak 21(10ak 249ak 2 )3k17k49ak 222422241 (2915349749 )ak 3.22188SQNM :SQNR(ak 3 ) : (35ak3 )3: 20.4y 軸的正半軸交于點N，當(dāng)拋物線開口向下時，則此拋物線與同理，可得 S QNM:SQNR3: 20.綜上所知， S QNM: S QNR 的值為3： 20.學(xué)習(xí)必備歡迎下載08 四川瀘州 如圖，已知二次函數(shù)yax2bxc 的圖像經(jīng)過三點 A1,0，B3,0，C 0,3點為 M ，又正比例函數(shù)ykx 的圖像于二次函數(shù)相交于兩點D、 E，且 P 是線段 DE 的中點。求該二次函

25、數(shù)的解析式，并求函數(shù)頂點M 的坐標(biāo)；已知點E 2,3，且二次函數(shù)的函數(shù)值大于正比例函數(shù)時，試根據(jù)函數(shù)圖像求出符合條件的自變量取值范圍；當(dāng) 0k2 時，求四邊形PCMB 的面積 s 的最小值?！緟⒖脊剑阂阎獌牲cDx1, y1 ， Ex2, y2，則線段 DE 的中點坐標(biāo)為x1x2, y1y2】22（ 1）由 yax2bxc ，則得yabc0a1M9a3b c0 ，解得b2CEc3c3故函數(shù)解析式是：yx22x3 。由 yx22x 324知，APBx 1O點 M（1，4）。（ 2）由點 E2,3在正比例函數(shù)ykx 的圖像上得，3 2k, 得 k3 ，故 y3 x ，D22y3 x解得 D 點坐標(biāo)

26、為（3 ,9由2），yx22x324由圖象可知，當(dāng)二次函數(shù)的函數(shù)值大于正比例函數(shù)時，自變量x 的取值范圍是32。x2ykx（ 3）x2y2x3解得，點 D、E坐標(biāo)為 D（ 2kk 24k16 ,2kk24k 16 k ）、22E（ 2 kk 24k16 , 2 kk 2 4k 16 k ），22則點 P坐標(biāo)為 P（ 2k , 2kk ）由0k2 ，知點 P 在第一象限。22由點 B3,0， C0,3，M （ 1， 4），得S四邊形 COBM13412415 ，則222S四邊形 PCMB15SOPCS OPB15132 k132 k k22222231293 。整理，配方得 Sk四邊形 PCMB

27、4216故當(dāng) k1時，四邊形 PCMB 的面積值最小，最小值是93 。216，它的頂x 的x學(xué)習(xí)必備歡迎下載08 云南雙柏 已知：拋物線 y ax2 bxc 與 x 軸交于 A、B 兩點，與 y 軸交于點 C，其中點 B 在 x 軸的正半軸上， 點 C 在 y 軸的正半軸上， 線段 OB、OC 的長（OB<OC）是方程 x210x16 0 的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線 x 2（1）求 A、 B、 C 三點的坐標(biāo)；（2）求此拋物線的表達式；（3）求 ABC 的面積；（4）若點 E 是線段 AB 上的一個動點（與點A、點 B不重合），過點 E 作 EFAC 交 BC 于點 F，連接 CE，設(shè) AE 的長為 m， CEF 的面積為 S，求 S 與 m 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 m 的取值范圍；（5）在（ 4）的基礎(chǔ)上試說明 S 是否存在最大值，若存在，請求出 S 的最大值，并求出此時點 E 的坐標(biāo)，判斷此時 BCE 的形狀；若不存在，請說明理由解：（ 1）解方程x2 10x 16 0 得 x1 2， x2 8點B 在x 軸的正半軸上，點C 在y 軸的正半軸上，且OBOC點B 的坐標(biāo)為（2， 0），點C 的坐標(biāo)為（0， 8）又拋物線y ax2bx c 的對稱軸