（時間管理）第章平穩(wěn)時間序列分析

1、（時間管理）第章平穩(wěn)時間序列分析45 / 45第 3 章平穩(wěn)時間序列分析本章教學內(nèi)容和要求：了解時間序列分析的方法性工具； 理解且掌握 ARMA 模型的性質；掌握時間序列建模的方法步驟及預測；能夠利用軟件進行模型的識別、參數(shù)的預計以及序列的建模和預測。本章教學重點和難點：利用軟件進行模型的識別、參數(shù)的預計以及序列的建模和預測。計劃課時：21（講授 16 課時,上機 3 課時、習題 3 課時）教學方法和手段：課堂講授和上機操作§3.1 方法性工具壹個序列經(jīng)過預處理被識別為平穩(wěn)非白噪聲序列,那就說明該序列是壹個蘊含著關聯(lián)信息的平穩(wěn)序列。于統(tǒng)計上, 我么通常是建立壹個線性模型來擬合該序列的

2、發(fā)展,借此提取 該 序 列 中 的 有 用 信 息 。ARMA(autoregressionmovingaverage)模型是目前最常用的壹個平穩(wěn)序列擬合模型。時間序列分析中壹些常用的方法性工具能夠使我們的模型表達和序列分析更加簡潔、方便。壹、差分運算（壹）p 階差分相距壹期的倆個序列值之間的減法運算稱為 1 階差分運算。記為的 1 階差分：對 1 階差分后的序列再進行壹次 1 階差分運算稱為 2 階差分,記2 為的 2 階差分：2=-以此類推,對 p-1 階差分厚序列再進行壹次 1 階差分運算稱為 p 階差分。記p 為的 p 階差分：p=p-1-p-1（二）k 步差分相距 k 期的倆個序列值

3、之間的減法運算稱為 k 步差分運算。記k 為的 k 步差分：k=例：簡單的序列：6,9,15,43,8,17,20,38,4,10,1 階差分：,即 1 階差分序列：3,6,28,-35,9,3,18,-34,6,2 階差分：2=-=32=-=222=-=-40即 2 階差分序列2：3,22,-63,-54,-6,16,-52,-40,2 步差分：222即 2 步差分序列：9,34,-7,-26,12,21,-16,-28二、延遲算子（滯后算子）（壹）定義延遲算子類似于壹個時間指針,當前序列值乘以壹個延遲算子,就相當于把當前序列值的時間向過去撥去了壹個時刻。記 B 為延遲算子,有（二）性質1.

4、2.3.若 c 為任壹常數(shù),有4.對任意倆個序列和,有5.,其中（三）用延遲算子表示差分運算1.p 階差分=例如上例中, 因此,15-18+6=3 43-30+9=222.k 步差分k=三、線性差分方程于實踐序列的時域分析中,線性差分方程是非常重要的, 也是極為有效的工具,事實上,任何壹個 ARMA 模型均是壹個現(xiàn)象差分方程。因此,ARMA 模型的性質往往取決于差分方程的性質。為了更好地討論 ARMA 模型的性質,先簡單介紹差分方程的壹般性質。常系數(shù)微分方程是描述連續(xù)時間系統(tǒng)的動態(tài)性工具,相應的,描述離散型時間系統(tǒng)的主要工具就是常系數(shù)差分方程。（壹）線性差分方程的定義定義：稱如下形式的方程為序

5、列的線性差分方程：（1）式中,為實數(shù)；為 t 的已知函數(shù)。特別地,若,則差分方程（2）稱為齊次線性差分方程。否則,成為非齊次線性差分方程。（一）齊次線性差分方程的解設,帶入齊次線性差分方程（2）得, 方程倆邊同除以, 得特征方程（3）這是壹個壹元 p 次方程,應該至少有 p 個非零實根,稱這p 個實根為特征方程（3）的特征根,不防記作.特征根的取值情況不同,齊次線性差分方程的解會有不同的表達形式。1、為 p 個不同的實根,（2）的解為,為任意常數(shù)。2、中有相同實根。假設為 d 個相同實根,為不同實根,則（2）的解為, 為任意常數(shù)。3、中有復根（自己見）（三）非齊次線性差分方程的解線性差分方程（

6、1）的解是齊次線性差分方程（2）的通解+非齊次線性差分方程（1）的壹個特解組成。例1、求解以下線性差分方程設代人得,同除以得,得所以,齊次方程的通解為= 例 2、求解以下線性差分方程(1) 、求齊次方程的通解設代人得,同除以得,得所以,齊次方程的通解為=(2) 、求非齊次方程的特解（非唯壹,求解方式可多種, 只要找到壹個解滿足方程即可）設代入原方程得：2c=9,c=9/2,即為原方程的壹個特解（3）、所以原方程的解四、時間序列模型和線性差分方程（意義）線性差分方程于實際序列分析中有重要的應用,常用的時序模型和某些模型自協(xié)方差函數(shù)合自關聯(lián)系數(shù)均能夠視為線性差分方程,而線性差分方程對應的特征根的性

7、質對判斷模型的平穩(wěn)性有非常重要的意義。§3.2ARMA 模型的性質壹、AR 模型（壹）定義：具有如下結構的模型稱為 p 階自回歸模型, 簡記為AR(P)：1. AR(P)的三個限制條件：（1）,保證了模型的最高階數(shù)為 p。（2）,要求隨機干擾序列為零均值白噪聲序列。（3）,說明當期的隨機干擾和過去的序列值無關。通常情況下,記 AR(P)模型為2.中心化的 AR(P)模型如果則之上自回歸模型稱為中心化的 AR(P)模型：,后面的分析均是針對中心化的模型進行的。3.用延遲算子表示 AR(P)： 成為 p 階自回歸系數(shù)多項式。自回歸模型描述了后壹時刻的行為和前面時刻的行為有關。（二）格林函

8、數(shù)（Green 函數(shù)）設為平穩(wěn) AR(P)模型的特征根,即的特征根。任取帶入特征方程：設為特征多項式的根。任取帶入方程得：,倆邊同時除以得:可見,AR(P)模型自回歸系數(shù)多項式的根是齊次線性差分 方程的特征根的倒數(shù)。即由為特征多項式的根可知所以,（為常數(shù)）稱為格林函數(shù),代入原模型得,可見,格林（Green）函數(shù)是前 j 個時刻以前進入系統(tǒng)的隨機擾動對系統(tǒng)當下的行為即序列值影響的權數(shù)。根據(jù)待定系數(shù)法（略）能夠推ft格林函數(shù)的遞推公式： 其中,例如：對于 AR(1)模型,P=1對于 AR(2)模型,P=2練習 AR(3)模型格林函數(shù)。AR(3)：P=3（二）AR 模型平穩(wěn)性判別要擬合壹個平穩(wěn)序列,

9、用來擬合的模型顯然應該是平穩(wěn)的,AR 模型是常用的用來擬合平穩(wěn)序列的模型之壹, 但且非所有的 AR 模型均是平穩(wěn)的,因此需要判別模型的平穩(wěn)性。例如,考察如下四個模型的平穩(wěn)性（1）（2）（3）（4）擬合這四個序列的序列值,且繪制時序圖,可初步判斷（1）、（3）平穩(wěn),（2）、（4）不平穩(wěn)（見課件圖形）。時序圖檢驗比較粗糙,準確的方法有以下倆種：特征根判別和自回歸系數(shù)判別法。1.特征根判別對于壹個自回歸系統(tǒng)（格林函數(shù)表示法）要使平穩(wěn),必須是隨著,擾動項對的以下逐漸減少,直至趨于 0,即系統(tǒng)隨著時間的增長回到均衡位置,那么該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的,因此用格林函數(shù)表示就是時,才能使,即特征根均于單位圓內(nèi),或者的

10、根均于單位圓外。這就是說,要判斷壹個模型是否平穩(wěn),需解氣特征方程, 判斷特征根的情況。那么,是否能夠直接從模型額形式或自回歸系數(shù)的大小來判斷？2.自回歸系數(shù)判別法及平穩(wěn)域的概念（1）對于 AR(1)模型：特征方程為=0,由得,時,模型平穩(wěn),平穩(wěn)域為（2）對于 AR(2)模型特征方程為,根據(jù) AR(2)模型平穩(wěn)的條件由根和系數(shù)的關系得,則即又即之上（1）、（2）、（3）三個條件的圖形為1-圖中陰影部分為 AR(2)模型的平穩(wěn)域,即模型平穩(wěn)時自回歸系數(shù)所滿足的條件組成的區(qū)域。例：分別用用特征根和自回歸系數(shù)法判別以下四個模型的平穩(wěn)性。（1）1.特征根法：<1,所以該模型平穩(wěn)2.自回歸系數(shù)法：,

11、所以模型平穩(wěn)（2）1.特征根法：>1,所以該模型不平穩(wěn)2.自回歸系數(shù)法：,所以模型不平穩(wěn)（3）,所以模型平穩(wěn)（4）1.特征根法：,所以該模型不平穩(wěn)2.自回歸系數(shù)法：,所以模型不平穩(wěn)可見于圖形檢驗是壹致的。（四）平穩(wěn) AR 模型的統(tǒng)計性質1 均值平穩(wěn)倆邊取期望：,得對于中心化的 AR(p)模型,由于,所以均值2.方差,取方差對于平穩(wěn)序列,由于時,收斂,所以存于所以,平穩(wěn)序列方差有界,等于常數(shù).例：求 AR(1)模型的方差由前面可知,AR(1)模型的格林函數(shù)為, 所以方差AR(2)模型的方差（略）3.協(xié)方差函數(shù)于平穩(wěn)模型倆邊同時乘以,再取期望得：,因為所以,自協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為：例 1：

12、求平穩(wěn) AR(1)模型的自協(xié)方差函數(shù)遞推公式為：,例 2：求平穩(wěn) AR(2)模型的自協(xié)方差函數(shù)遞推公式為：,當時,（,自協(xié)方差函數(shù)和自關聯(lián)系數(shù)的對稱性）,所以,4.自關聯(lián)函數(shù)拖尾（1）遞推公式：由于,于自協(xié)方差等式倆邊同時除以方 差函數(shù),就得到自關聯(lián)系數(shù)的遞推公式：例 1：求平穩(wěn) AR(1)模型的自關聯(lián)系數(shù)因為：,所以=,例 2：求平穩(wěn) AR(2)模型的自關聯(lián)系數(shù),（2）自關聯(lián)系數(shù)的性質1）拖尾性：始終有非零取值,不會于大于某個常數(shù)之后 恒等于 02）負指數(shù)衰減：隨著時間的推移,會迅速衰減,衰減速度為（負指數(shù)：<1,短期關聯(lián)性）,為的特征根,可視為 p 階齊次差分方程。例：考察下面四個

13、AR 模型的自關聯(lián)圖（1）（2）（3）（4）由之上判斷可知之上四個模型均平穩(wěn),擬合其自關聯(lián)圖,均呈現(xiàn)ft拖尾性和負指數(shù)衰減的特征。見課件 54 頁。5.偏自關聯(lián)函數(shù)截尾（1）含義：對于平穩(wěn)的 AR(p)模型,滯后 k 自關聯(lián)系數(shù)實際上且不是和之間單純的關聯(lián)關系,因為同時仍受到中間k-1 個隨機變量的影響,而這 k-1 個隨機變量又均和具有關聯(lián)關系,所以,自關聯(lián)系數(shù)實際摻雜了其他變量對和關系的影響,偏自關聯(lián)系數(shù)則是單純測度對的影響。具體說,對于平穩(wěn)序列,滯后 k 偏自關聯(lián)系數(shù)就是指于給定中間 k-1 個隨機變量的條件下,或者說,于剔除了中間 k-1 個隨機變量的干擾之后,對的影響的關聯(lián)度量?？梢?/p>

14、,偏自關聯(lián)系數(shù)的定義和回歸分析中偏回歸系數(shù)的定義非常相似,因此能夠從線性回歸的角度,得到偏自關聯(lián)系數(shù)的另壹層含義。（2）計算假定為中心化平穩(wěn)序列,用過去的 k 期序列值對作 k 階自回歸擬合,即：由之上分析可知,即為排除中間 k-1 個變量的干擾之后,對的影響的單純度量,因此可根據(jù)回歸系數(shù)的求法求ft的值（過程略）對于 AR(1)模型對于 AR(2)模型（3）偏自關聯(lián)系數(shù) p 步截尾性能夠證明,偏自關聯(lián)系數(shù)具有 p 步截尾性的特征,前面學過 AR(p)模型自關聯(lián)系數(shù)具有拖尾性,這是倆條判斷 AR(p) 模型的主要依據(jù),即如果模型自關聯(lián)系數(shù)具拖尾偏自關聯(lián)系數(shù) p 步截尾則該模型為 p 階自回歸模

15、型。例,考察如下四個平穩(wěn) AR(p)模型的偏自關聯(lián)系數(shù)（1）（2）（3）（4）序號模型(p 步截尾)（拖尾）1234見課件 58 頁四個模型的偏自關聯(lián)系數(shù)圖。(計算課后 98頁第 3 題),作業(yè)：匯總 AR(1)、AR(2)模型的統(tǒng)計性質,包括均值、方差、自協(xié)方差函數(shù)、自關聯(lián)系數(shù)、偏自關聯(lián)系數(shù)。統(tǒng) 計 性質AR(1):AR(2):,二、MA 模型（壹）定義1.定義：具有如下結構的模型稱為 q 階移動平均模型, 簡記為 MA(q)：2. MA(q)的限制條件：（1）,保證了模型的最高階數(shù)為 q。（2）,要求隨機干擾序列為零均值白噪聲序列。2.中心化的 MA(q)模型如果則之上移動平均模型稱為中心

16、化的 MA(q)模型：,后面的分析均是針對中心化的模型進行的。3.用延遲算子表示 MA(q)：成為 q 階移動平均系數(shù)多項式。（二）MA 模型的統(tǒng)計性質1.常數(shù)均值當時(有限階),當時,2.常數(shù)方差3.自協(xié)方差函數(shù)只和滯后階數(shù)關聯(lián),且 q 階截尾例如：MA（1）MA（2）模型：4.自關聯(lián)函數(shù) q 階截尾例如：MA（1）MA（2）模型：5.偏自關聯(lián)函數(shù)拖尾MA 模型的拖尾（證明略） 綜上,得ft以下結論：第一,有限階的 MA 模型壹定是平穩(wěn)的（因為均值和方差均為常數(shù)）第二,MA 模型 q 階截尾,拖尾（AR 模型是拖尾,p 階截尾）例3.6：繪制下列MA 模型的自關聯(lián)系數(shù)和偏自關聯(lián)系數(shù), 直觀考

17、察 MA 模型自關聯(lián)系數(shù)的截尾性和偏自關聯(lián)系數(shù)的拖尾性。（1）（2）（3）（4）圖形見課件 61 頁62 頁。（三）MA 模型的可逆性例 3.6 四個 MA 模型中,（1）和（2）具有相同的自關聯(lián)圖,經(jīng)計算自關聯(lián)系數(shù)也相同；模型（3）和（4）也具有相同的自關聯(lián)圖,經(jīng)計算系數(shù)也相同。即和模型不是壹壹對應的關系,這種自關聯(lián)系數(shù)的不唯壹給我們將來的工作帶來麻煩。因為將來我們是通過樣本自關聯(lián)系數(shù)顯示ft額特征選擇合適的模型擬合序列的發(fā)展,如果自關聯(lián)系數(shù)和模型之間不是壹壹對應關系,就導致序列和模型之間不是壹壹對應的。為了保證壹個給定的對應唯壹壹個 MA 模型,就要給模型施加約束條件可逆性。1、可逆的定義

18、能夠驗證。倆個 MA（1）模型具有如下結構關系時,其相同（1）（2）AR 模型的形式要想使之上模型收斂,必須保證,即而模型（2）可寫作,要寫成收斂的 AR 模型,需保證,即定義：若壹個 MA 模型能夠表示稱為收斂的 AR 模型形式, 那么該 MA 模型稱為可逆 MA 模型,壹個唯壹對應壹個可逆的 MA 模型。2、MA（q）模型的逆轉形式及可逆函數(shù)MA 模型可寫作設為 MA(q)模型的特征根,即的特征根。任取帶入特征方程：（1）設為特征多項式的根。任取帶入方程得：,倆邊同時除以得:（2）可見,MA(q)模型移動平均系數(shù)多項式的根是齊次線性差分方程的特征根的倒數(shù)。即由為特征多項式的根可知所以,（為

19、常數(shù)）之上為 MA 模型的逆轉形式,即把 MA 模型寫作無窮階的 AR模型。其中為可逆函數(shù)。同理,根據(jù)待定系數(shù)法（略）能夠推ft可逆函數(shù)的遞推公式：其中,例如：對于 MA(1)模型,q=1對于 MA(2)模型,q=2練習 MA(3)模型可逆函數(shù)。MA(3)：q=3總結：AR（p）模型的傳遞形式：是把 AR 模型寫作無窮階的 MA 模型。MA（q）模型的逆轉形式：是把 MA 模型寫作無窮階的 AR模型3、可逆性判別（1）特征根判別對于壹個移動平均系統(tǒng)（逆轉形勢） 要使可逆,即之上形式收斂,則需時,才能使,即特征根均于單位圓內(nèi),或者的根均于單位圓外。這就是說,要判斷壹個 MA 模型是否可逆,需解其

20、特征方程,判斷特征根的情況。那么,是否能夠直接從模型的形式或移動平均系數(shù)的大小來判斷？2.移動平均系數(shù)判別法（1）對于 MA(1)模型：特征方程為=0, 由得,時,模型可逆（2）對于 MA(2)模型特征方程為,根據(jù) MA(2)模型可逆的條件由根和系數(shù)的關系得,則即又即三、ARMA 模型（壹）定義1.定義：具有如下結構的模型稱為自回歸移動平均模型, 簡記為：2.限制條件：（1）, 保證了模型的自回歸最高階數(shù)為 p,移動平均最高階數(shù)為 q。（2）,要求隨機干擾序列為零均值白噪聲序列。（3）,說明當期的隨機干擾和過去的序列值無關。2.中心化的模型如果,則之上自回歸模型稱為中心化的 ARMA(p,q)

21、模型：,后面的分析均是針對中心化的模型進行的。3.用延遲算子表示 ARMA(p,q)： 成為 p 階自回歸系數(shù)多項式。成為 q 階移動平均系數(shù)多項式當 q=0 時,ARMA(p,q)模型就退化成了 AR(p)模型。當 p=0時,ARMA(p,q)模型就退化成了 MA(q)模型。所以,AR(p)和MA(q)模型實際上是 ARMA(p,q)模型的特例。他們統(tǒng)稱為ARMA(p,q)模型。而 ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計性質也正是 AR(p)和 MA(q)模型統(tǒng)計性質的有機結合。（二）平穩(wěn)條件和可逆條件1.平穩(wěn)條件：對于 ARMA(p,q)模型,令顯然是壹個均值為零、方差為的平穩(wěn)序列,于是 ARMA(p,q)模型可寫作如下形式：。和分析 AR(p)模型平穩(wěn)性完全類似,容易推ft ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性條件是：P 階自回歸系數(shù)多項式的根均于單位圓外,或者齊次線性差分方程的特征根均于單位圓內(nèi)。即 ARMA(p,q