多元微積分：第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法

1、第八節(jié)第八節(jié)上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值及其求法及其求法v 極值的概念與計算極值的概念與計算 v 最大值最小值問題最大值最小值問題 v 條件極值條件極值 1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義(P52)(P52)上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 極大值、極小值統(tǒng)稱為極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極值. .使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn). . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz = =在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于有定義，對于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點(diǎn)的點(diǎn)),(yx：(1)(1)若滿足不等式

2、若滿足不等式),(),(00yxfyxf (2)(2)若滿足不等式若滿足不等式則稱函數(shù)在則稱函數(shù)在),(00yx有有極小值極小值；，一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值(1)(2)(3)實(shí)例實(shí)例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz = =實(shí)例實(shí)例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz = =實(shí)例實(shí)例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz = =上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2 2、二元函數(shù)取得極值的條件、二元函數(shù)取得極值的條件上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定理定理1 1 （必要條件）（必要條件）P110P110設(shè)函數(shù)

3、設(shè)函數(shù)),(yxfz = =在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極值，處有極值，然為零：然為零： 0),(00= =yxfx 0),(00= =yxfy則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必注：注：駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)(1)(1)使偏導(dǎo)數(shù)都為使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 0 的點(diǎn)稱為的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)駐點(diǎn) . .例如例如, 點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(是函數(shù)是函數(shù)xyz = =的駐點(diǎn)，的駐點(diǎn)， 但不是極值點(diǎn)但不是極值點(diǎn). .(2) (2) 極值可疑點(diǎn)極值可疑點(diǎn)駐點(diǎn)駐點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)( (偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)) )問題：問題：如何判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？如何判定駐點(diǎn)是否

4、為極值點(diǎn)？時時, 具有極值具有極值定理定理2(2(充分條件充分條件P110)P110)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且且令令則則: 1) 當(dāng)當(dāng)A0 時取極小值時取極小值.2) 當(dāng)當(dāng)3) 當(dāng)當(dāng)時時, 沒有極值沒有極值.時時, 不能確定不能確定 , 需另行討論需另行討論.若函數(shù)若函數(shù)的在點(diǎn)),(),(00yxyxfz =0),(,0),(0000=yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx=02 BAC02 A因?yàn)橐驗(yàn)?24eBAC= = ，0 所以，所以，為函數(shù)的極小值為函數(shù)的極小值. .e21 )2(),

5、(22yyxeyxfx = =上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例2.2.求求解：解：得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)第二步第二步 判別判別. .解方程組解方程組= =),(yxfx12662 xx= =),(yxfyyy632 的極值的極值. .求二階偏導(dǎo)數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù),612 x,0),(= =yxfyx= =),(yxfyyxyxyxyxf12332),(2233 = =上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 = = 2BAC判別式判別式第一步第一步 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn). .0= =0= =(-2, 0) , (-2, 2) , (1, 0) , (1, 2) .)1)(12(36 yx= =),(yxf

6、xx66 y上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 為極大值為極大值; ;= = )2,2(f上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 列表討論：列表討論：駐點(diǎn)駐點(diǎn)A2BAC f (x, y)(-2,0)(-2,2)(1,0)(1,2)1)(12(362 = = yxBAC612 = =xA-108108-18108-108極大值極大值無極值無極值無極值無極值為極小值為極小值. .= =)0,1(f18極小值極小值xyxyxyxf12332),(2233 = =247 例例3.3.討論函數(shù)討論函數(shù)及及是否取得極值是否取得極值.解解: 顯然顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn)都是它們的駐點(diǎn) ,在在(0

7、,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此因此 z(0,0) 不是極值不是極值.因此因此,022時當(dāng) yx222)(yxz=0)0 , 0(= z為極小值為極小值.正正負(fù)負(fù)033yxz=222)(yxz=在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)xyzo并且在并且在 (0,0) 都有都有 02= BAC33yxz=可能為可能為0)()0 , 0()0 , 0(222=yxz上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 二、最值應(yīng)用問題二、最值應(yīng)用問題函數(shù)函數(shù) f 在閉域上連續(xù)在閉域上連續(xù)函數(shù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn)最值可疑點(diǎn) 極值點(diǎn)極值點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最

8、值存在當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個極值點(diǎn)且只有一個極值點(diǎn)P 時時, )(Pf為極小為極小 值值)(Pf為最小為最小 值值( (大大) )( (大大) )依據(jù)依據(jù)上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 求在有界閉區(qū)域求在有界閉區(qū)域D D上連續(xù)函數(shù)的最值的一般方法：上連續(xù)函數(shù)的最值的一般方法：第一步第一步 求出函數(shù)在求出函數(shù)在D 內(nèi)的所有駐點(diǎn)，內(nèi)的所有駐點(diǎn)，并求出所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值；并求出所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值；第二步第二步 求出函數(shù)在求出函數(shù)在D的邊界上的最大最小值；的邊界上的最大最小值； 第三步第三步 比較第一步所

9、得函數(shù)值以及第二步所得比較第一步所得函數(shù)值以及第二步所得D的的邊界上的最大值和最小值，邊界上的最大值和最小值， 其中最大者即為最大值，其中最大者即為最大值，最小者就是最小值最小者就是最小值. .上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 特別地特別地, 若若f (x, y)在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)存在內(nèi)存在最值最值, 且只有且只有一個極值點(diǎn)一個極值點(diǎn), , 則該點(diǎn)就是最值點(diǎn)則該點(diǎn)就是最值點(diǎn). .對于對于實(shí)際應(yīng)用問題實(shí)際應(yīng)用問題，若由問題的背景知最大值若由問題的背景知最大值（或最小值）存在，（或最小值）存在，且駐點(diǎn)唯一，且駐點(diǎn)唯一，則該駐點(diǎn)就是最則該駐點(diǎn)就是最大值

10、（或最小值）點(diǎn)大值（或最小值）點(diǎn). .例例4 4解解: : 設(shè)水箱長設(shè)水箱長,寬分別為寬分別為 x , y m ,則高為則高為則水箱所用材料的面積為則水箱所用材料的面積為令令得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個體積為某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水的有蓋長方體水箱，箱，問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最才能使用料最省省?,m2yx2=Ayxyxy2yxx2yxyx222=00yx0)(222=xxyA0)(222=yyxA因此可因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn)斷定此唯一駐點(diǎn)

11、就是最小值點(diǎn). 即當(dāng)長、寬均為即當(dāng)長、寬均為高為高為時時, 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233=上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 極值問題極值問題無條件極值無條件極值:條條 件件 極極 值值 :條件極值的求法條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)求一元函數(shù)的無條件極值問題的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制還有其它條件限制例如例如 ,轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化,0),(下在條件=yx的極值求函數(shù)),(yxfz =)(0),(xyyx= 中解出從條件)(,(xxfz=上頁

12、上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 三、條件極值三、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法方法方法2 2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)要找函數(shù)),(yxfz = =在條件在條件0),(= =yx 下的下的可能極值點(diǎn)，可能極值點(diǎn)， 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù)),(),(),(yxyxfyxFll = =其中其中l(wèi) l為某一常數(shù)，為某一常數(shù)，解出解出l l, yx，其中，其中yx,就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo)就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo). .拉格朗日拉格朗日( Lagrange )函數(shù)函數(shù)上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 可由可由0),(),(=yxyxfFxxxl0),(),(=yxyxfFyyy

13、l0),(=yxFl上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多令令解方程組解方程組可得到條件極值的可能極值點(diǎn)可得到條件極值的可能極值點(diǎn) . 例如例如, 求函數(shù)求函數(shù)下的極值下的極值.在條件在條件),(zyxfu = =,0),(= =zyx0),(= =zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF = =021= = = =xxxxfF021= = = =yyyyfF021= = = =zzzzfF個約束條件的情形個約束條件的情形. .上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ,0),(= =zyx0),(= =zyx推

14、廣：推廣：例例4 4（用拉格朗日乘數(shù)法解例（用拉格朗日乘數(shù)法解例4 4）則問題為求則問題為求x , y , 令令解方程組解方程組解解: : 設(shè)設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高分別表示長、寬、高,下水箱表面積下水箱表面積最小最小.z 使在條件使在條件=xF022=zyyzl=yF022=zxxzl=zF022=yxyxl=lF02 =zyx2=zyx)(2yxzyzxS=)2()(2=zyxyxzyzxFlxyz上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn),23=zyx由題意可知合理的設(shè)計是存在的由題意可知合理的設(shè)計是存在的,即最小值存在即最小值存在時，所用材料最省時，

15、所用材料最省.因此因此 , 當(dāng)當(dāng)長、寬、長、寬、高為高為32xyz思考思考: :1) 當(dāng)水箱開口時當(dāng)水箱開口時, 長、寬、高的尺寸如何長、寬、高的尺寸如何?提示提示:2) 當(dāng)開口水箱底部的造價為側(cè)面的三倍時當(dāng)開口水箱底部的造價為側(cè)面的三倍時, 欲使造價欲使造價最省最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何長、寬、高尺寸如何? 提示提示:)2()(2=zyxyxzyzxFl3上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 yxzyzxS=)(2上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例5.5.某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某種某

16、公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某種商品的廣告商品的廣告.根據(jù)統(tǒng)計資料根據(jù)統(tǒng)計資料,銷售收入銷售收入R (萬元萬元)與電臺與電臺廣告費(fèi)用廣告費(fèi)用x (萬元萬元)及報紙廣告費(fèi)用及報紙廣告費(fèi)用y (萬元萬元)之間的關(guān)系之間的關(guān)系有如下的公式有如下的公式:221514328210Rxyxyxy=(1) 在廣告費(fèi)用不限的情況下在廣告費(fèi)用不限的情況下, 求最優(yōu)廣告策略求最優(yōu)廣告策略; (2) 若廣告費(fèi)用為若廣告費(fèi)用為1.5萬元萬元, 求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略.上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解: (1)上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 221514328210Rxyxy

17、xy=xL = =1384yx yL = =31820 xy 0= =0= =得駐點(diǎn)：得駐點(diǎn)：（0.75, 1.25）由題意知，利潤最大值存在，由題意知，利潤最大值存在，所以所以, ,電臺廣告費(fèi)用電臺廣告費(fèi)用0.75萬元萬元 , 報紙廣告費(fèi)用報紙廣告費(fèi)用1.25 萬元時萬元時LRC= = 221514328210 xyxyxy=xy 221513318210 xyxyxy=利潤最大利潤最大. .上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 設(shè)設(shè)= =xF= =yF0= =0= =解方程組解方程組得駐點(diǎn)：得駐點(diǎn)：（0 , 1.5）(2)( , , )F x y

18、z = =(1.5) xy 1384yx 31820 xy 1.50 xy = =由題意知，利潤最大值存在，由題意知，利潤最大值存在，報紙廣告費(fèi)用報紙廣告費(fèi)用1.5萬元時萬元時利潤最大利潤最大. .所以所以, ,電臺廣告費(fèi)用電臺廣告費(fèi)用0萬元萬元,221513318210 xyxyxy221513318210Lxyxyxy=解解令令 )12(),(23 = =zyxzyxzyxFl l, = = = = = = = = = = = = = = 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyxl ll ll l.691224623max= = = =u則則上頁上頁 下頁下頁 返回返回

19、結(jié)束結(jié)束 例例5.5. 將正數(shù)將正數(shù)1212分成三個正數(shù)分成三個正數(shù)zyx,之和使得之和使得 zyxu23= =為最大為最大. .解得唯一駐點(diǎn)（解得唯一駐點(diǎn)（6 6，4 4，2 2）故最大值為故最大值為內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn)利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組即解方程組第二步第二步 利用充分條件利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法簡單問題用代入法, ),(yxfz =0),(0),(yxfyxfyx如對二元函數(shù)如對二元函數(shù)(2)

20、 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法一般問題用拉格朗日乘數(shù)法上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 設(shè)拉格朗日函數(shù)設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值下的極值,解方程組解方程組第二步第二步 判別判別 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步第一步 找目標(biāo)函數(shù)找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域確定定義域 ( 及約束條件及約束條件)3. 函數(shù)的最值問題函數(shù)的最值問題在條件在條件求駐點(diǎn)求駐點(diǎn) . ),(yxfz =0),(=yx),(),(yxyxfFl=0=xxxfFl0=yyyfFl0=lF上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P79 2-7上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益為每天的收益為= =),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值. .上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 引例：引例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子