二項(xiàng)式定理應(yīng)用常見類型及其解題方法

1、二項(xiàng)式定理應(yīng)用常見類型及其解題方法一、知識(shí)點(diǎn)回顧：1二項(xiàng)式定理：，2基本概念：二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式。二項(xiàng)式系數(shù)：展開式中各項(xiàng)的系數(shù).項(xiàng)數(shù)：共項(xiàng)，是關(guān)于與的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng)：展開式中的第項(xiàng)叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用表示。3注意關(guān)鍵點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有項(xiàng)。順序：注意準(zhǔn)確選擇,其順序不能更改。與是不同的。指數(shù)：的指數(shù)從逐項(xiàng)減到，按降冪排列。的指數(shù)從逐項(xiàng)減到，按升冪排列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于.系數(shù)：注意準(zhǔn)確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是項(xiàng)的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)，包含符號(hào)）。4常用的結(jié)論：令 令 5性質(zhì)：二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性：與首末兩端“對(duì)距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相

2、等，即，···二項(xiàng)式系數(shù)和：令,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為， 變形式。奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令，則，從而得到：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和：二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值。如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),同時(shí)取得最大值。系數(shù)的最大項(xiàng)：求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來。二、基本題型示例：（一）、二項(xiàng)式定理的逆用問題例1、解：與已知的有一些差別， 例2、 的值等于（   

3、） a111105  b111111   c12345  d99999 分析 由已知式子的結(jié)構(gòu)，可構(gòu)造二項(xiàng)式 原式故選c練：解：設(shè)，則（二）、利用通項(xiàng)公式求的系數(shù)問題例3、（l）若的展開式中，的系數(shù)是的系數(shù)的7倍，求；  （2）已知的展開式中，的系數(shù)是的系數(shù)與的系數(shù)的等差中項(xiàng)，求；  （3）已知的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值等于1120，求    解：（l）依題意，即， 由可整理，得，解得. （2）依題意， 整理，得     ，解得. （3）依題意，整理，得， 兩邊取對(duì)數(shù)

4、，得，解得或.   ，或. 點(diǎn)評(píng)  的展開式及其通項(xiàng)公式，是，四個(gè)基本量的統(tǒng)一體，已知與未知是相對(duì)的，使用方程的思想方法，應(yīng)會(huì)求其中居于不同位置，具有不同意義的未知數(shù)練：展開式中，的系數(shù)等于   解：    所求項(xiàng)的系數(shù)即為展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是：例4、在二項(xiàng)式的展開式中倒數(shù)第項(xiàng)的系數(shù)為，求含有的項(xiàng)的系數(shù)？解：由條件知，即，解得，由，由題意，則含有的項(xiàng)是第項(xiàng),系數(shù)為。練：求展開式中的系數(shù)？解：，令,則故的系數(shù)為。（三）、利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)問題例5、求二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？解：，令，得，所以練：求二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？

5、解：，令，得，所以練：若的二項(xiàng)展開式中第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則解：，令，得.（四）、利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng)問題例6、求二項(xiàng)式展開式中的有理項(xiàng)？解：，令,()得，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。（五）、奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和的問題例7、若展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為，求.解：設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為 ,則有，,則有 將-得： 有題意得，。練：若的展開式中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為，求它的中間項(xiàng)。解：，解得 所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為，（六）、最大系數(shù)，最大項(xiàng)問題例8、已知，若展開式中第項(xiàng)，第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少？解：解出，當(dāng)時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最

6、大的項(xiàng)是，當(dāng)時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是，。練1、在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即，也就是第項(xiàng)。練2、在的展開式中，只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少？解：只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則，即,所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于練3、寫出在的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？解：因?yàn)槎?xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)()的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，從而有的系數(shù)最小，系數(shù)最大。練4、若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于，求的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)？解：由解出,假設(shè)項(xiàng)最大，化簡(jiǎn)得到，又，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為,有練5、在的展

7、開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：假設(shè)項(xiàng)最大，化簡(jiǎn)得到，又，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（七）、非二項(xiàng)式結(jié)構(gòu)式問題例9、求當(dāng)?shù)恼归_式中的一次項(xiàng)的系數(shù)？解法：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的展開式中才有x的一次項(xiàng)，此時(shí)，所以得一次項(xiàng)為它的系數(shù)為。解法： 故展開式中含的項(xiàng)為，故展開式中的系數(shù)為240.練：求式子的常數(shù)項(xiàng)？解：，設(shè)第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則，得, .（八）、乘積式中二項(xiàng)式定理應(yīng)用問題例10、解： 練：解：.練：解：例11、（1）在的展開式中，若第3項(xiàng)與第6項(xiàng)系數(shù)相等，則 （2） 的展開式奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是      &

8、#160;  分析：（1）由已知，所以 （2）由已知，而， 展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第5項(xiàng)（九）、構(gòu)造法證明等式問題例12、證明下列各式(1).(2).證：(1)構(gòu)造二項(xiàng)展開式 .令得 即.(2)構(gòu)造恒等式 . 兩邊含項(xiàng)的系數(shù)相等，即， .（十）、展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和問題例13、解：（十一）、賦值法應(yīng)用問題 例14、  （1）已知，那么=_.   （2）=_.分析 ：（1） 令，得， 令，得， （2）在二項(xiàng)展開式中， 令，則左式，右式   .   點(diǎn)評(píng)  這是一組求二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和的題目，求解的依據(jù)是與. 這

9、兩個(gè)等式都是恒等式，所以賦予字母，及以某些特定數(shù)值時(shí)，等式依然成立例15、設(shè)二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為,若,則等于多少？解：若，有， 令得，又,即解得，.練：若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為多少？解：令，則的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，所以，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為.練：解： 練：解：（十二）、整除問題 例16、  除以100的余數(shù)是         分析：轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的展開式求解 上式中只有最后兩項(xiàng)不能被100整除8281除以100的余數(shù)為81，所以除以100的余數(shù)為81例

10、17、證明：能被64整除證：因?yàn)楦黜?xiàng)均能被64整除（十三）、近似值問題例18、的近似值（精確到0.001）是        分析  （十四）、不等式證明問題例19、若實(shí)數(shù)滿足，求證： 證：令,則.例20、已知等差數(shù)列及等比數(shù)列中，且這兩個(gè)數(shù)列都是遞增的正項(xiàng)數(shù)列，求證：當(dāng)時(shí)，證：設(shè) , 則, 利用二項(xiàng)式定理證明不等式，采用“對(duì)稱法”（例18）及“減項(xiàng)放縮法”（例19）較為普遍。練;證明：練：三、知識(shí)鞏固：1、(x1)11展開式中x的偶次項(xiàng)系數(shù)之和是 解：設(shè)f(x)=(x-1)11, 偶次項(xiàng)系數(shù)之和是2、 2、解：4n

11、3、的展開式中的有理項(xiàng)是展開式的第 項(xiàng)解：3,9,15,21 4、(2x-1)5展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和是 解：(2x-1)5展開式中各項(xiàng)系數(shù)系數(shù)絕對(duì)值之和實(shí)為(2x+1)5展開式系數(shù)之和，故令x=1，則所求和為355、求(1+x+x2)(1-x)10展開式中x4的系數(shù)解：,要得到含x4的項(xiàng)，必須第一個(gè)因式中的1與(1-x)9展開式中的項(xiàng)作積，第一個(gè)因式中的x3與(1-x)9展開式中的項(xiàng)作積，故x4的系數(shù)是6、求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展開式中x3的系數(shù)解：=，原式中x3實(shí)為這分子中的x4，則所求系數(shù)為7、若展開式中，x的系數(shù)為21，問m、n為何值時(shí)，x2的系數(shù)最?。拷猓河蓷l件得m+n=21，x2的項(xiàng)為，則因nn，故當(dāng)n=10或11時(shí)上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11時(shí)，x2的系數(shù)最小8、自然數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，求證： 證明：原式=9、求被9除的余數(shù)解： ,kz,9k-1z，被9除余81