概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章第三節(jié)

1、1內(nèi)容回顧 上一節(jié)主要內(nèi)容回顧： 1.方差的概念 2.性質(zhì)(1) (2) (3) (4)24.3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 345據(jù)此我們可得協(xié)方差的如下性質(zhì)：641,10101010 ydyxdxxydxdydxdyyxxyfXYE78問題 協(xié)方差作為描述和相關(guān)程度的量，在同一物理量綱之下有一定的作用， 但同樣的兩個(gè)量采用不同的量綱使它們的協(xié)方差在數(shù)值上表現(xiàn)出很大的差異很大的差異。 為此引入如下概念：910優(yōu)點(diǎn) 與協(xié)方差相比，相關(guān)系數(shù)不僅克服了量綱的影響，而且給出了規(guī)范化的取值范圍。111213 02111dxxXE141516XYYXCOVYDXDYDYXDXCOVYDYDXDXD

2、22)()()(122)(,)(2 )()( )()(22，171819 XaDXXaCOVbXCOVaXXCOVbaXXCOVYXCOV, XDabaXDYD2202122234.4 矩、協(xié)方差矩陣矩、協(xié)方差矩陣242526212221, D(Y)D(X)X)COV(YY)COV(XD(Y)Y)COV(YD(X)X)COV(X 解解 2728293031XCXCxxf121222121exp21,3233定義定義 設(shè)(X1,X2,X n)的任兩個(gè)分量Xi和Xj的相關(guān)系數(shù) ij存在,(i,j=1,2,),稱n階方陣R為n維隨機(jī)向量的 相關(guān)矩陣相關(guān)矩陣,記為nn2n1nn22221n11211.

3、R其中ij為分量Xi和Xj的相關(guān)系數(shù).顯然顯然, 1DXDXDXDX)X,Xcov(iiiiiiii,DXDX)X,Xcov(jijijiij所以性質(zhì)性質(zhì) (1)相關(guān)矩陣R主對(duì)角線元素均為1,且R為對(duì)稱的非負(fù)定矩陣; (2)對(duì)二維隨機(jī)向量(X,Y)有:11RXYXY34例例.設(shè)XN(0,1),YN(0,1),D(X-Y)=0,求(X,Y)的協(xié)差陣C.解解:由題意得:DX=DY=1, D(X-Y)=DX+DY-2cov(X,Y) =2-2cov(X,Y) =0故Cov(X,Y)=1所以DYYXYXDXC),cov(),cov(111135例例.設(shè)X,Y的協(xié)差陣為,16449C求相關(guān)陣R.解解:由

4、題意得:DX=9,DY=16,cov(X,Y)=4,DYDX)Y ,Xcov(XY31434所以,11RXYXY131311364.5條件期望條件期望 在例3.3.1中，我們已經(jīng)求得以不放回方式取球時(shí)，二維隨機(jī)變量 在 的條件下, 的條件分布律如下: 因此，在 (第一次取出的是白球)的條件下,第二次取到的白球的平均數(shù)應(yīng)為 稱為在在 的條件下，的條件下， 的條件期望的條件期望。 ),(YX1XY013/41/4Y1|XYP1X414114301XY37383940本章綜合練習(xí)題1 1.(951)設(shè)PX0,Y0=3/7, PX0=PY0=4/7 則Pmax(X,Y)0=( ).2 2.(914)對(duì)

5、于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y,若E(XY)=E(X)E(Y),則( ). D(XY)=D(X)D(Y), X與Y不獨(dú)立 D(X+Y)=D(X)+D(Y), X與Y獨(dú)立5/7解解1 1. Pmax(X,Y)0=PX 0或Y 0 =P(X 0)+P(Y0)-P(X 0)P(Y 0) =P(X 0)+P(Y0)-P(X 0,Y 0)=5/72. D(X+Y)=DX+DY+2E(X-EX)(Y-EY) = DX+DY+2(EXY-EXEY)413.3.（904904）設(shè)隨機(jī)變量）設(shè)隨機(jī)變量X X和和Y Y是獨(dú)立同分布的，是獨(dú)立同分布的，且且X X等可能地取等可能地取 -1-1，1 1為值，則下列式子正確的

6、是（為值，則下列式子正確的是（ ）. . X=Y X=Y PX=Y=0 PX=Y=0 PX=Y=1/2 PX=Y=1/2 PX=Y=1 PX=Y=13 4 4. .(954)設(shè)X與Y 獨(dú)立同分布,記U=X-Y,V=X+Y,則U和V必然（ ） 不獨(dú)立， 相關(guān)系數(shù)不為零， 獨(dú)立， 相關(guān)系數(shù)為零.解解: 3.: 3. P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1) =P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1) =1/4+1/4=1/2 4. E(UV)=E(X-Y)(X+Y)=E(X2-Y2)=EX2-EY2=0 EU=E(X-Y)=EX-EY=0所以 cov(U,V)=E

7、(UV)-EU EV=0, UV=0425.設(shè)(X,Y)服從0,a0,a上的均勻分布,求E|X-Y|.解解:由題意得 dxdy)y, x(f)y, x(g)Y,X(gE得 dxdy)y, x(f|yx|YX|Ea0a02dxdya1|yx|根據(jù)其它0aY0 ,aX0a1)y, x( f)Y ,X(2aay=xXY0 x-y0 x-y0S1S21S2dxdya1|yx|2S2dxdya1|yx|a0 x02dya1)yx(dx23a436.設(shè)(X,Y)其它01y0 , 1x0 xy4)y, x(f求(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù).11解解:(1)x0,或y1時(shí),F(x,y)=10 x0uvdv4du2

8、x(5)x1,0y1時(shí),F(x,y)=y010uvdv4du2y綜合即得:1y0 , 1xy1y, 1x0 x1y0 , 1x0yx0y0 x0)y, x(F2222或xyXY04xy447.7.（961961）設(shè)隨機(jī)變量）設(shè)隨機(jī)變量，是是 i.i.di.i.d的，且的，且等可能等可能地取地取1 1，2 2，3 3為值為值, ,又設(shè)又設(shè)X=max(,),Y=min(X=max(,),Y=min(，).). (1) (1)寫出（寫出（X X，Y Y）的聯(lián)合概率分布；）的聯(lián)合概率分布； (2)X(2)X與與Y Y是否相互獨(dú)立？是否相互獨(dú)立？(3)(3)計(jì)算計(jì)算E E（X X）. .解解:X的取值為

9、i=1,2,3, Y的取值為j=1,2,3,且XY,所以,(1)ij時(shí)時(shí),=1/9+1/9=2/9故(X,Y)聯(lián)合分布為X123Y 1 2 31/9 0 02/9 1/9 02/9 2/9 1/9pi .1/93/95/9p. j5/9 3/9 1/9P(X=1,Y=1)P(X=1)P(Y=1)故X,Y不獨(dú)立.計(jì)算得:EX=22/9P(=i,=j)+P(=j,=i)45本章測(cè)驗(yàn)題 1.設(shè)袋中有m只顏色各不相同的球。有返回的摸取n次，摸出x種顏色的球，求x的數(shù)學(xué)期望。 2.設(shè) 為正的同分布同分布的隨機(jī)變量，證明 時(shí)， 3.已知隨機(jī)向量 的協(xié)方差矩陣為 求相關(guān)系數(shù)矩陣相關(guān)系數(shù)矩陣。nXXX,21 nk 1nkXXXXXXEnk 2121ZYX,9 , 2, 32,