無窮級數(shù)課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項級數(shù)及其斂散性數(shù)項級數(shù)及其斂散性第二節(jié)第二節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù) 第三節(jié)第三節(jié) 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)一、一、數(shù)項級數(shù)及其斂散性數(shù)項級數(shù)及其斂散性 1數(shù)項級數(shù)的概念數(shù)項級數(shù)的概念定義定義1 設給定一個數(shù)列設給定一個數(shù)列 則表達式則表達式 （11111 1） 稱為常數(shù)項無窮級數(shù)，常數(shù)項無窮級數(shù)，簡稱數(shù)項級數(shù)，數(shù)項級數(shù)，記作 即 其中第其中第n 項項 稱為一般項或通項稱為一般項或通項,321nuuuunuuuu321nnnuuuuu32111nnunu第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項級數(shù)及其斂散性數(shù)項級數(shù)及其斂散性例如，級數(shù) 的一般項為又如級數(shù)的一般項為 簡言之，數(shù)列的和式稱為級數(shù)級數(shù).定義定義2 設

2、級數(shù)（111）的前項之和為 稱Sn為級數(shù)的前項部分和前項部分和當依次取1，2，3，時， 431321211.) 1(1nnun)311ln()211ln() 11ln()11ln(nunnkknnuuuuuS1321新的數(shù)列 ， ，數(shù)列 稱為級數(shù) 的部分和數(shù)列部分和數(shù)列若此數(shù)列的極限存在，即 (常數(shù)),則S 稱為 的和，記作此時稱級數(shù) 收斂收斂如果數(shù)列 沒有極限，則稱級數(shù) 發(fā)散發(fā)散，這時級數(shù)沒有和 11uS 212uuSnnuuuS21nS1nnuSSnnlim1nnuSunn11nnunS1nnu當級數(shù)收斂時，其部分和 是級數(shù)和S的近似值，稱 為級數(shù)的余項級數(shù)的余項，記作 ，即 例例1 判定

3、級數(shù) 的斂散性.解解 已知級數(shù)的前n項和是：nSnSS nr21nnnnuuSSr) 1(1431321211) 1(11nnnnn因為 ,所以這個級數(shù)收斂,其和為1.例例2 判定級數(shù)的斂散性)111()3121()211 () 1(1321211nnnnSn111n1111limlimnSnnn111ln211ln11ln11lnnnn解解 已知級數(shù)的前n項和是因為 ， 所以這個級數(shù)發(fā)散.例例3 討論等比級數(shù)（也稱幾何級數(shù)）的斂散性. nnSn1ln11ln211ln11lnnSnnn1lnlimlim1121nnnaqaqaqaaq解解 (1) 前n項和當 時， ，所以級數(shù) 收斂，其和當

4、時， 所以級數(shù) 發(fā)散.(2) 當 時， 于是 1qqqaaqaqaqaSnnn11121qqaSnn1limqaS11qnnSlim11nnaq1q1q111nnnaaqnaSnnnlimlim所以級數(shù) 發(fā)散. 當 時， ，其前n項和顯然，當n時，Sn沒有極限.所以，級數(shù) 發(fā)散.綜上所述，等比級數(shù) ，當 時收斂, 當時發(fā)散. 11nnaq1q11111nnnnaaq為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，當nnaSn011nnaq11nnaq1q1q例如，級數(shù)1+2+4+8+2n-1+是公比為2的幾何級數(shù), 由于 ，所以級數(shù)是發(fā)散的級數(shù) 是公比為-1的幾何級數(shù), 由于 ，所以該級數(shù)發(fā)散.注意注意 幾何級數(shù) 的斂

5、散性非常重要.無論是用比較判別法判別級數(shù)的斂散性，還是用間接法將函數(shù)展開為冪級數(shù)，都經常以幾何級數(shù)斂散性為基礎.12 q111nn1q11nnaq例例4 把循環(huán)小數(shù) 化為分數(shù).解解 把 化為無窮級數(shù)這是公比為 的幾何級數(shù)，由等比數(shù)列求和公式63 . 063. 0n1003610036100361003663. 0321001100111001110036nnS所以這個無窮級數(shù)的和為 ，即 2數(shù)項級數(shù)的基本性質數(shù)項級數(shù)的基本性質 性質性質1 如果級數(shù) 收斂，其和為s, k為常數(shù)，則級數(shù) 也收斂，其和為ks；如果級數(shù) 發(fā)散，當k0時，級數(shù) 也發(fā)散.由此可知，級數(shù)的每一項同乘以不為零的常數(shù)后，其斂散

6、性不變. . 11499361001110036100111001110036limlimnnnnS11411463. 01nnu1nnku1nnu1nnku性質性質2 若級數(shù) 與 分別收斂于與 ，則級數(shù) ，收斂于性質性質3 添加、去掉或改變級數(shù)的有限項，級數(shù)的斂散性不變.性質性質4 若級數(shù) 收斂，則對其各項間任意加括號后所得的級數(shù)仍收斂，且其和不變.應當注意，性質4的結論反過來并不成立.即如果加括號后級數(shù)收斂，原級數(shù)未必收斂. . 1nnu1nnv1)(nnnvu1nnu例如級數(shù) （1-1）+（1-1）+（1-1）+顯然收斂于零，但級數(shù)1+1-1+1-1+卻是發(fā)散的.性質性質5（兩邊夾定理）

7、 如果 且 和 都收斂，則 也收斂 nunvnw1nnu1nnw1nnv性質性質6（級數(shù)收斂的必要條件） 若級數(shù) 收斂，則 例例5判別級數(shù) 的斂散性解解 因為所以級數(shù) 發(fā)散. 例例6判別級數(shù) 的斂散性. 1nnu0limnnu12735231nn02112limlimnnunnn112nnn1111121nnnnn解解 級數(shù) 與級數(shù) 都收斂，故由性質2知，級數(shù) 收斂.注意注意 性質6可以用來判定級數(shù)發(fā)散：如果級數(shù)一般項不趨于零，則該級數(shù)必定發(fā)散.應當看到，性質6只是級數(shù)收斂的必要條件，并不是級數(shù)收斂的充分條件，也就是說，即使 ，也不能由此判定級數(shù) 收斂.下面的例9正說明了這一點： ，但級數(shù) 發(fā)

8、散. 11121nnn111nnn1111121nnnnn0limnnu1nnu01limnn11nn例例7 證明調和級數(shù) 是發(fā)散級數(shù).證證 調和級數(shù)部分和 如圖，考察曲線 11nnnknkS11 ，所圍成的曲邊梯形的面 積S與陰影表示的階梯形面積An之間的關系. 所以，陰影部分的總面積為它顯然大于曲邊梯形的面積S，即有01, 1,1ynxxxy和nAAAAn1,31,21, 1321nknkkknAA111131211nknnknxdxxAA111111ln|ln1而 ，表明A的極限不存在，所以該級數(shù)發(fā)散.nn1lnlim二、正項級數(shù)及其斂散性二、正項級數(shù)及其斂散性如果 0（n=1,2,3）

9、，則稱級數(shù) 為正項級數(shù)正項級數(shù) 定理定理1 正項級數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有界.例例1 證明正項級數(shù) 是收斂的證證 因為于是對任意的有 nu1nnu0!1! 21! 111!1nnn, 4 , 3 , 221222113211!11nnnn即正項級數(shù)的部分和數(shù)列有界，故級數(shù) 收斂.定理定理2（比較判別法） 設 和 是兩個正項級數(shù)，且 (1)若級數(shù) 收斂，則級數(shù) 也收斂； (2)若級數(shù) 發(fā)散，則級數(shù) 也發(fā)散. 2221212111!11! 21! 111nnnS3213211211121nn0!1nn1nnu1nnvnnvu 1nnv1nnu1nnu1nnv例例2 討論 級數(shù) （ ）

10、的斂散性 解解 當 時， ，因為 發(fā)散，所以由比較判別法知，當 時，發(fā)散.當 時，順次把 級數(shù)的第1項，第2項到第3項，4到7項，8到15項，加括號后得它的各項顯然小于級數(shù) P11npn0P1Pnnp1111nn1P1PP)15181()71615141()3121(1pppppppp)8181()4141()2121(1pppppp對 應 的 各 項 ， 而 所 得 級 數(shù) 是 等 比 級 數(shù) ， 其 公 比為 ，故收斂，于是當 時，級數(shù) 收斂.綜上所述， 級數(shù) 當 時發(fā)散，當 時收斂.注意注意 級數(shù)在判斷正項級數(shù)的斂散性方面經常用到，因此有關 級數(shù)斂散性的結論必須牢記. 31211)21(

11、)21(211ppp1211pq1P11npnP11npn1P1PPP 例例3判定級數(shù) 的斂散性. 解解 因為級數(shù)的一般項 滿足而級數(shù)是p2的 級數(shù)，它是收斂的，所以原級數(shù)也是收斂的.411631521nn411nnun214110nnnP例例4 判別級數(shù) 的斂散性.解解 因為 而 是由調和級數(shù)去掉前兩項后所得的級數(shù)，它是發(fā)散的，所以由比較判別法知級數(shù) 發(fā)散. 12131nnnn2123113122nnnnnnnun121nn12131nnnn重要參照級數(shù):等比級數(shù), p-級數(shù)。定理3 比較判別法的極限形式:. lim 11lvuvunnnnnnn 同同上上，且且和和則收斂nv;收斂nu)1(

12、時，當0 l和nu同時收斂，同時發(fā)散nv)2(時，當 0 l發(fā)散nv.發(fā)散nu)3(時，當 l注注: :須有參照級數(shù). 比較審斂法的不方便解解) 1 (nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 發(fā)散發(fā)散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,nn收收斂斂而而 131故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂.定理定理4（達朗貝爾比值判別法） 設 是一個正項級數(shù)，并且 ，則 (1)當 時，級數(shù)收斂； (2)當 時，級數(shù)發(fā)散； (3)當 時，級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.例例6 判別下列級數(shù)的斂散性 (1) ； (2) 1nnuquunnn1lim1qqq 或11q1223nnnn1!

13、11nn 解解 (1) 所以級數(shù) 發(fā)散； (2)所以級數(shù) 收斂. 2222121113lim32213limlimnnnnuunnnnnnnnn12311123lim2nn1223nnnn101lim!1limlim1nnnuunnnnn1!11nn解解!1)!1(11nnuunn 11 n0.收斂收斂1 !1010)!1(11nnuunnnn 101 n.發(fā)發(fā)散散(2) 110!nnn; 解解定理定理6(根值判別法，柯西判別法根值判別法，柯西判別法)w 設 為正項級數(shù)，且w （1）當 時，級數(shù)收斂；w （2）當 時，級數(shù)發(fā)散；w （3）當 時級數(shù)可能收斂也可能 發(fā)散nnnulim1)lim(

14、 1n11nnu注意注意:當當1 時時比比值值（根根值值）審審斂斂法法失失效效。 ,11 npnp 級級數(shù)數(shù)對對例例nnnuu1 lim 總總有有nnnu lim . 1 nnnulim0 nn1lim.收斂收斂解解.) 12(21 )2(1nnn解解)22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效.根值審斂法也一定失效根值審斂法也一定失效.改用比較審斂法改用比較審斂法,12)12(12nnn nnnn2) 12(1 lim 2 或或4/1 .收斂收斂要判別一個正項級數(shù)是否收斂，通常按下列步驟進行：(1)用級數(shù)收斂的必要條件如果 ，則級數(shù)發(fā)散，

15、否則需進一步判斷. (2)用比值判別法 如果 ，即比值判別法失效，則改用比較判別法.(3)用比較判別法用比較判別法必須掌握一些斂散性已知的級數(shù)，以便與要判定的級數(shù)進行比較，經常用來作為比較的級數(shù)有等比級數(shù)， 級數(shù)等. 0limnnu1lim1nnnuuPP三、交錯級數(shù)及其斂散性三、交錯級數(shù)及其斂散性級數(shù) 稱為交錯級數(shù)交錯級數(shù).定理定理4（萊布尼茲判別法） 如果交錯級數(shù) 滿足萊布尼茲(Leibniz)條件: (1) (2) 則級數(shù) 收斂，其和 S ，其余項 ),2,1, 0() 1(11nuunnnn),2,1, 0() 1(11nuunnnn, 3 , 2 , 1,1nuunn0limnnu)

16、,2,1, 0() 1(11nuunnnn1unr1nu例例6 判定交錯級數(shù) 的斂散性.解解 此交錯級數(shù) ，滿足： (1) ； (2) 由萊布尼茲判別法知級數(shù)收斂.四、絕對收斂與條件收斂四、絕對收斂與條件收斂 定義定義3 對于任意項級數(shù) ,若 收斂，則稱 是絕對收絕對收斂斂的；若 收斂，而 發(fā)散，則稱 是條件收斂條件收斂的.nn114131211111,11nununn111nn01limlimnunnn1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu定理定理5 絕對收斂的級數(shù)必是收斂的.事實上，如果 收斂， 由于 故從性質1及性質5知 也是收斂的. 例例7 判定級數(shù) 的斂散性.解解 因為 ，

17、 而級數(shù) 收斂，故由比較判別法可知級數(shù) 收斂，從而原級數(shù) 絕對收斂.1nnunununu1nnu12sinnnna2sinnna21n121nn12sinnnna12sinnnna例例8 判別級數(shù) 的斂散性，說明是否絕對收斂. 解解 因為 故由比值判別法可知級數(shù) 收斂，所以原級數(shù) 絕對收斂.11131nnnn13131lim331limlim11nnnnuunnnnnnn1113nnnnnu11131nnnn例例9 判別級數(shù) 是否絕對收斂. 解解 因為 故由比值判別法可知級數(shù) 發(fā)散，從而原級數(shù) 不是絕對收斂. 11!1nnnnn111lim1lim!11limlim11ennnnnnnuunn

18、nnnnnnnnn11!nnnnnnu!111nnnnn例例10 證明級數(shù) 條件收斂. 證證 由萊布尼茲判別法知級數(shù) 收斂，而 為調和級數(shù)，它是發(fā)散的，故所給級數(shù)條件收斂.111nnn111nnn11111nnnnn 第二節(jié)第二節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù) 一、冪級數(shù)的概念一、冪級數(shù)的概念1.1.函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)如果級數(shù) ( 11.2) 的各項都是定義在某個區(qū)間I上的函數(shù)，則稱該級數(shù)（2.2）為函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)，un(x)稱為一般項一般項或通項通項.當x在I中取某個特定值 時，函數(shù)項級數(shù)( 2.2）就是一個常數(shù)項級數(shù).如果這個級數(shù)收斂，則稱點 為這個級數(shù)的一個收斂點收斂點。若發(fā)散，則稱點 為這個級

19、數(shù)的發(fā)散點發(fā)散點.一個函數(shù)項級數(shù)的收斂點的全體稱為它的收斂域收斂域. 對于收斂域內的任意一個數(shù)x，函數(shù)項級數(shù)成為一個收斂的常數(shù)項級 數(shù)，因此有一個確定的和 S，在收斂域內，函數(shù)項級數(shù)的和是 x 的函數(shù) )()()(21xuxuxun0 x0 x0 xS(x)，通常稱S(x)為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù)，即 其中 x 是收斂域內的任一點.將函數(shù)項級數(shù)的前項和記作 ，則在收斂域上有 2.冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念 形如 (11.3)()()()(21xuxuxuxSn)(xSn)()(limxSxSnnnnnnnxxaxxaxxaaxxa020201000的函數(shù)項級數(shù)，稱為 的冪級數(shù)的冪級數(shù)，其中常數(shù)

20、 稱為冪級數(shù)的系數(shù)冪級數(shù)的系數(shù). 當 0時，（11.3）冪級數(shù)變?yōu)?(11.4)稱為 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù). (1)冪級數(shù)的收斂半徑 x 的冪級數(shù)各項取絕對值，則得到正項級數(shù)0 xx ,210aaana,0 xnnnnnxaxaxaaxa22100由比值判斂法其中 當 時，若 ，即 ，則級數(shù)(11.4)收斂，若 即 ，則級數(shù)（11.4）發(fā)散.這個結果表明，只要 就會有一個對稱開區(qū)間（-，），在這個區(qū)間內冪級數(shù)絕對收斂，在這個區(qū)間外冪 nnnnnxaxaxaaxa22100 xxaaxaxauunnnnnnnnnnn1111limlimlimnnnaa1lim01xRx11xRx10RR級數(shù)發(fā)散

21、，當 x =R 時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.稱 為冪級數(shù)（11.4）的收斂半徑收斂半徑.當 時， ，則級數(shù)（11.4）對一切實數(shù) x都絕對收斂，這時收斂半徑 . 如果冪級數(shù)僅在 x0一點處收斂，則收斂半徑R0. 定理定理1 如果x的冪級數(shù)（11.4）的系數(shù)滿足 則 (1)當 時， 1R010 xRnnnaa1lim01R (2)當 時， (3)當 時， (2)冪級數(shù)的收斂區(qū)間 若冪級數(shù)(11.4)的收斂半徑為 R，則（-R，R）稱為該級數(shù)的收斂區(qū)間，冪級數(shù)在收斂區(qū)間內絕對收斂，把收斂區(qū)間的端點xR 代入級數(shù)中，判定數(shù)項級數(shù)的斂散性后，就可得到冪級數(shù)的收斂域.0R例例1求下列冪級數(shù)的收斂半徑及收

22、斂域 (1) (2) (3)解解 (1) 因為 所以冪級數(shù)的收斂半徑 .所以該級數(shù)的收斂域為（-，+）；0!nnnx1nnnx1nnnxn011lim!1!limlim1nnnaannnnnR (2)因為 所以所給冪級數(shù)的收斂半徑R=1.因此該級數(shù)的收斂區(qū)間為（-1，1）當x1時，級數(shù)為調和級數(shù)，發(fā)散 ；當x=-1時，級數(shù)為交錯級數(shù)，收斂 故該級數(shù)的收斂域為 -1,1) . 11limlim1nnaannnn11nn1) 1(nnn(3) 因為所以所給冪級數(shù)的收斂半徑 .因此沒有收斂區(qū)間，收斂域為 ，即只在 處收斂.111lim1limlim11nnnnaannnnnnnn0R0|xx0 x例

23、例2 求冪級數(shù) 的收斂半徑解解 所給級數(shù)缺少偶次方項，根據(jù)比值法求收斂半徑 當 ，即 時，所給級數(shù)絕對收斂；當，即 時，所給級數(shù)發(fā)散. 因此，所給級數(shù)的收斂半徑 .0122nnnx2212121122lim22limlimxxxxuunnnnnnnnn122x22x122x22x22R二、冪級數(shù)的性質二、冪級數(shù)的性質性質性質1 冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內連續(xù)，即若 ，x（-R，R）則 在收斂區(qū)間內連續(xù). 性質性質2 設 記 ，則在（-R,R）內有如下運算法則： (1)加（減）法運算 0nnnxfxa xf ,;,0110nnnnnnxgxbRRxxfxa22,RRx21,minRRR 000n

24、nnnnnnnnxgxfxbaxbxan(2)乘法運算 性質性質3（微分運算） 設 ，收斂半徑為 R ，則在 （-R , R）內這個級數(shù)可以逐項求導，即且收斂半徑仍為 R . 00nnnnnnxbxa2021120011000)()(xbababaxbababannnnxbababa)(0110 xgxf 0nnnxSxa xSxnaxaxannnnnnnnn0100性質性質4（積分運算）設 ，收斂半徑為 R ，則在（-R ,R）內這個級數(shù)可以逐項積分，即且收斂半徑仍為.例例3 已知 ，利用逐項積分的性質，可以得到 0nnnxSxa 00100001nxnnnxnnxnnndxxSxnadxx

25、adxxa1 , 11112nxxxxxxndxxxxxdxx002111ln當 x = -1 時， 收斂； 當 x = 1 時， 發(fā)散.故收斂域為-1,1) ，即13121132nxxxxn111312111nnn131211) 1 , 1132)1ln(132nxxxxxn例例4 求 的和函數(shù) 解解 設 兩端求導得 兩端積分得即 0121211nnnxn 012121) 1(nnnxnxS 1 , 1,11120202xxxxxSnnnn 1 , 1,arctan1102xxdxxxSx1 , 1,arctan1211012xxxnnnn 當 x = -1時， 收斂； 當 x = 1時，

26、收斂， 所以 12110nnn12110nnn1 , 1,arctan1211012xxxnnnn三、將函數(shù)展開成冪級數(shù)三、將函數(shù)展開成冪級數(shù) 1泰勒公式與麥克勞林公式泰勒公式與麥克勞林公式(1) 泰勒公式定理定理2（泰勒中值定理） 如果函數(shù) f(x) 在x0 的某鄰域內有直至 n+1階導數(shù)，則對此鄰域內任意點x，有 的 n 階泰勒公式 )(xf 200000! 2! 1xxxfxxxfxfxf xRxxnxfnnn00!成立，其中 為階泰勒公式的余項，當 時，它是比 高階的無窮小，余項 的拉格朗日型表達式為 (2) 麥克勞林公式在泰勒公式中當時，則有麥克勞林公式 xRn0 xx nxx0)(

27、xRn )(!10101之間與在xxxxnfxRnnn xRxnfxfxffxfnnn!0! 20! 1002其中， 2、泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)、泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)設 f(x)在所討論的鄰域內具有任意階導數(shù) 稱級數(shù) 之間與在xfnxxRnnn0,!111200000)(! 2)( )( )(xxxfxxxfxf ),(,),(),( xfxfxfn )6 .11()(!)(00nnxxnxf為 在 處的泰勒級數(shù)，其系數(shù) 稱為 在 處的泰勒系數(shù).其前 n+1項和 由泰勒公式得：)(xf0 xx ,!)(,! 2)( ),( ),(0000nxfxfxfxfn)(xf0 x2000001)(!

28、 2)( )( )()(xxxfxxxfxfxSnnnxxnxf)(!)(00)()()(1xRxSxfnn因此當 時，必有 即泰勒級數(shù)收斂，其和函數(shù)為 .反之，如果級數(shù)收斂于 于是得到下面的定理. 0)(limxRnn)(0)()()(lim)(lim1xfxfxRxfxSnnnn)(xf0)()()()(lim)(lim1xfxfxsxfxRnnnn 定理定理3 如果在 的某個鄰域內，函數(shù) 具有任意階導數(shù)，則函數(shù) 的泰勒級數(shù)（11.6）收斂于 的充分必要條件是： 當 時泰勒余項 如果 在 處的泰勒級數(shù)收斂于 ，就說 在 處可展開稱泰勒級數(shù)，則(11.6)式為 在 處的泰勒展開式，也稱 關于

29、 的 冪級數(shù)，也記為 0 xx )(xf)(xfn0)(xRn)(xf0 xx )(xf)(xf0 xx )(xf0 xx )(xf)(xf0 xxnnnxxnxfxf)(!)()(000)(當 時，（11.6）式成為稱為函數(shù) f (x) 的麥克勞林展開式，也記為00 x ,!)0(! 2)0( )0( )0()(2nnxnfxfxffxfnnnxnfxf0)(!)0()(3、將函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法、將函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法 (1)直接展開法 把 f (x)展開成的冪級數(shù)，可按下列步驟進行：求出f (x) 的各階導數(shù) 計算f (x) 及其各階導數(shù)在x0處的值， ),(),( ),( xfxf

30、xfn ),0(,),0( ),0( ),0(nffff 寫出冪級數(shù) 并求出它的收斂區(qū)間；考察當x在收斂區(qū)間內時，余項 的極限是否為零，如果為零，則由上式所求得的冪級數(shù)就是f (x) 的冪級數(shù)的展開式. nnxnfxfxff!)0(! 2)0( )0( )0(2)(nnxR 例例1 將函數(shù) 展開成 x 的冪級數(shù) 解解 因為 n=1，2，3，所以， n =1，2，3， 又, f (0)=1因此得級數(shù) ，它的收斂區(qū)間為 . 對于任何實數(shù) x，有 xey xnexf 10 nf! 3! 2132nxxxxn),( 1!1nnxnexR之間與在x0 1!1nxnxnexR因 是收斂級數(shù) 的通項，所以

31、而 是有限正實數(shù)，因此 即 ,因此從而得到 的冪級數(shù)展開式 !11nxn01!1nnnx0!1lim1nxnnxe0!1lim1nxnxne 0limxRnn 0limxRnnxe032),(! 3! 21nnnxnxnxxxxe例例2 將函數(shù) 展開成x的冪級數(shù) 解解 因為 ，n1，2，3 而f(n)(0)順次循環(huán)取四個數(shù)1，0，-1，0，所以得級數(shù)對于任何有限實數(shù)， xxfsin 2sinnxxfn0)0(f!121! 5! 31253nxxxxnn!121120nxnnn, 1!121sinnnxnnxR之間與在x0于是得的冪級數(shù)展開式類似地，還可以得到下述函數(shù)的冪級數(shù)展開式： （-1，1

32、） )(0!11nnxxRnn01212753!121!121! 7! 5! 3sinnnnnnnxnxxxxxx),(nxxxx2111當m為實數(shù)時， 它的收斂半徑R=1，在 處展開式是否成立，要根據(jù)m的數(shù)值，看右端級數(shù)是否收斂而定.例如 當m =-1時 (-1,1)32! 321! 2111xmmmxmmmxxmnxnnmmm!111xnnxxxxx111132(2)間接展開法 間接展開法是指從已知函數(shù)的展開式出發(fā)，利用冪級數(shù)的運算規(guī)則得到所求函數(shù)的展開式的方法. 例例3 將函數(shù) 展開成x的冪級數(shù) 解解 已知 （-，+） xxfcos)(!121! 7! 5! 3sin12753nxxxx

33、xxnn!121120nxnnn而 利用逐項求導公式，得到 （-，+）sincosxx !21! 8! 6! 4! 21cos28642nxxxxxxnn02!21nnnnx 例例4 將函數(shù) 展開成x 的冪級數(shù) 解解 已知 （-1，1）將上式從0到 x 逐項積分，得到 xxf1ln03211111nnnnnxxxxxx114321ln1432nxxxxxxnn1111nnnnx這個級數(shù)的收斂半徑R=1當x1時，右端級數(shù)成為這個級數(shù)是收斂級數(shù). 當x-1時，右端級數(shù)成為 這個級數(shù)是發(fā)散級數(shù).因此 nn1141312111n14131211nxxxxxxnn 143214321ln 1,1() 1

34、(11nxnnn四、冪級數(shù)的應用四、冪級數(shù)的應用 1.函數(shù)值的近似計算函數(shù)值的近似計算例例5 計算的 e 近似值解解：e 的值就是函數(shù)e 的展開式在x=1時的函數(shù)值，即 e取e則誤差x0,!1! 2111!1nnn0,!1! 2111!1nnn)!(1)!2(1!11knnnRn1) 1()!1(1) 1()!1(1)!1(1knnnnn12) 1(1) 1(1111)!1(1knnnn,!11111)!1(1nnnn故若要求精確到 ，則只需 即 即可.例如要精確到 ，由于 ，所以取 即e 讀者可以在計算機上求此值 (e ). 例例6 制作四位正余弦函數(shù)表 解解 由于 只需制作 的正余弦表就行

35、了. k10,10!1knnknn10!101010101010813!1313n!131! 31! 21115907182818284. 2,sin)2cos(,cos)2sin(aaaa450 我們使用正余弦的展開式.注意這兩個級數(shù)都是滿足萊布尼茨條件的交錯級數(shù),去掉前若干項之后剩余項仍為滿足萊布尼茨條件的交錯級數(shù).由萊布尼茨判定定理就可知,若取這兩個級數(shù)的前若干項作為近似時,誤差不超過所棄項中的第一項.因為所以要作 的四位正余弦表只需要取到至多 項,即取 作表時須注意x以弧度為單位. ,000037. 0! 7)4(! 8)4(78.! 6! 4! 21cos,! 5! 3sin6425

36、3xxxxxxxx4506x2.求極限求極限 例例7 求 解解 把 cosx 和 的冪級數(shù)展開式代入上式，有.ecoslim4202xxxx22ex4242420420)2221 ()2421 (limecoslim2xxxxxxxxxx.121121lim440 xxx 第三節(jié)第三節(jié) 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 在本節(jié)中，將討論另一類重要的、應用廣泛的函數(shù)項級數(shù)三角級數(shù). 三角級數(shù)也稱為傅里葉（傅里葉（Fourier）級）級數(shù)數(shù).所謂三角級數(shù)三角級數(shù)，就是除常數(shù)項外，各項都是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的級數(shù)，它的一般形式為 (1)其中 都是常數(shù)，稱為系數(shù)系數(shù).特別當 時，級數(shù)只含正弦項，稱為正弦正弦級數(shù)級

37、數(shù).當 時， 級數(shù)只含常數(shù)項和 , )sincos(210nxbnxaannn),2,1(,0nbaann),2,1,0(0nan),2,1(0nbn余弦項，稱為余弦級數(shù)余弦級數(shù).對于三角級數(shù)，我們主要討論它的收斂性以及如何把一個函數(shù)展開為三角級數(shù)的問題.一、以一、以 為周期的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)為周期的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù) 由于正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，顯然周期函數(shù)更適合于展開成三角級數(shù).設 f (x)是以 為周期的函數(shù)，所謂的傅里葉（傅里葉（Fourier）級）級數(shù)展開數(shù)展開就是尋找一個三角級數(shù)22使得該級數(shù)以 f (x)為和函數(shù)，即 f (x)=先解決這樣的問題：如果以 為周期的函

38、數(shù)可表為式（1）所示的三角級數(shù)，那么如何確定 和 .為了求出這些系數(shù)，先介紹下列內容.1三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性在三角級數(shù)（1）中出現(xiàn)的函數(shù) （2） ,)sincos(210kxbkxaakkk,)sincos(210kxbkxaakkk2nanb,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx構成了一個三角函數(shù)系三角函數(shù)系，這個三角函數(shù)系有一個重要的性質，就是定理定理1（三角函數(shù)系的正交性）三角函數(shù)系（2）中任意兩個不同函數(shù)的乘積在 上的積分等于0，具體的說就是有, ),3,2,1(0cosnnxdx, ),3,2,1(0sinnnxdx, ),3,2,

39、1,(0cossinnknxdxkx這個定理的證明很容易，只要把這五個積分實際求出來即.2. f (x) 的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù)為了求（1）式中的系數(shù)，利用三角函數(shù)系的正交性，假設（1）式是可逐項積分的，把它從 到 逐項積分： 由定理1，右端除第一項外均為0，所以, ),3,2,1,(0coscosnknknxdxkx, ),3,2,1,(0sinsinnknknxdxkx,)sincos(2)(10kxdxbkxdxadxadxxfkkk002)(adxadxxf于是得 為求 ，先用 乘以（11.7）式兩端，再從 到 逐項積分，得由定理1，右端除 k=n 的一項外均為 0，所以于是得 dx

40、xfa)(10nanxcos, )cossincoscos(cos2cos)(10nxdxkxbnxdxkxanxdxanxdxxfkkknnanxdxanxdxxf2coscos)(. ),3,2, 1(cos)(1nnxdxxfan類似地，用 sinnx乘以（11.7）式兩端，再從 到 逐項積分，可得用這種辦法求得的系數(shù)成為 f (x)的傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù). 綜上所述，我們有定定 定理定理2 求f (x)的傅里葉系數(shù)的公式是 (3). ),3,2, 1(sin)(1nnxdxxfbn. ),2, 1,0(sin)(1, ),2, 1,0(cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann由

41、 f (x) 的傅里葉系數(shù)所確定的三角級數(shù) 成為f (x) 的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù). 顯然，當f (x)為奇函數(shù)時，公式（3）中的 ，當為偶函數(shù)時，公式（3）中的 所以有推論推論 當f (x)是周期為 的奇函數(shù)時，它的傅里葉級數(shù)為正弦級數(shù) 其中系數(shù) , )sincos(210nxbnxaannn0na. 0nb2,sin1nxbnn, ),3,2, 1(sin)(20nnxdxxfbn 當 f (x) 是周期為 的偶函數(shù)時，它的傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù) 其中系數(shù) 3. 傅里葉級數(shù)的收斂性傅里葉級數(shù)的收斂性上述 定理定理3（收斂定理）設 以 為周期的函數(shù)f (x)在 上滿足狄利克雷(Dirichle

42、t)條件：（1）沒有斷點或僅有有限個第一類間斷點；（2）至多只有有限個極值點，則 f (x)的傅里葉級數(shù)收斂，且有：2nxaanncos210. ),3,2, 1(cos)(20nnxdxxfan2,（1）當x是的連續(xù)點時，級數(shù)收斂于f (x)；（2）當x是的間斷點時，級數(shù)收斂于這一點左右極限的算術平值 例例1 正弦交流I(x)=sinx電經二極管整流后（圖 11-2）變?yōu)?為整數(shù)， 把 f (x)展開為傅里葉級數(shù).2)()(00 xfxfkkxkxkxkxf,) 12(2,sin,2) 12(,0)( 圖圖 11-2解解 由收斂定理可知，f (x) 的傅里葉級數(shù)處處收斂于f (x).計算傅里

43、葉系數(shù)： 所以，f (x)的傅里葉展開式為 （- x +.,2sin1)(100dxxdxxfanxdxxfancos)(1為偶數(shù)為奇數(shù)nnnnxdxx,) 1(2,0cossin120, 1,21, 1,0sinsin1sin)(10nnnxdxxnxdxxfbn142cos356cos154cos32cos2sin211)(2kkxxxxxxf例例2 一矩形波的表達式為求 f (x) 的傅里葉展開式. 解解 由收斂定理知，當 時，的傅里葉級數(shù)收斂于 f (x) .當 時，級數(shù)收斂于 又因為 f (x) 奇函數(shù)，由定理2的推論可知展開式必為正弦級數(shù)，只需按推論的公式求 即可.為整數(shù)，kkxk

44、kxkxf,) 12(2, 1,2) 12(, 1)(為整數(shù)）kkx(kx .02) 1(1nb所以，的傅里葉展開式為,0,4sin12sin)(200為偶數(shù)當為奇數(shù)當nnnnxdxnxdxxfbn12) 12sin(55sin33sinsin4)(kxkxxxxf.,(為整數(shù)）kkx4. 或或 上的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)上的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)求 f (x) 的傅里葉系數(shù)只用到 f (x) 在 上的部分，即 f (x) 只在 上有定義或雖在 外也有定義，但不是周期函數(shù)，仍可用公式（11.9）求 f (x)的傅里葉系數(shù)，而且如果f (x) 在 上滿足收斂定理條件，則 f (x) 至少在 內的連續(xù)點上傅里葉級數(shù)是收斂于f (x) 的，而在 處，級數(shù)收斂于 , 0,),(x2)()(ff類似地，如果 f (x) 只在 上