2016年高考數(shù)學中等生百日捷進提升系列(綜合提升篇)專題04立體幾何解答題文(含解析)

1、專題四 立體幾何解答題（文）以直線與平面所成的角相關的綜合題【背一背重點知識】平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是的角直線與平面所成角的范圍是.異面直線所成的角如圖，已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點作直線.則把與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角)異面直線所成的角的范圍是.二面角的平面角如圖在二面角的棱上任取一點，以點為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則叫做二面角的平面角二面角的范圍是.【講一講提高技能】必備技能：異面直線所成的角的范圍是.求兩條異面

2、直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決具體步驟如下：利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選擇在特殊的位置上；證明作出的角即為所求的角；利用三角形來求角; 補形法：將空間圖形補成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角.直線與平面所成的角的范圍是.求線面角方法:利用面面垂直性質(zhì)定理，巧定垂足：由面面垂直的性質(zhì)定理，可以得到線面垂直，這就為線面角中的垂足的確定提供了捷徑.利用三棱錐的等體積，省去垂足,在構(gòu)成線面角的直角三角形中，其中垂線段尤為關鍵.確定垂足，是常規(guī)方法.可是如果垂足位置不好確定，此時可以利

3、用求點面距常用方法-等體積法.從而不用確定垂足的位置，照樣可以求出線面角.因為垂線段的長度實際就是點面距h,利用三棱錐的等體積，只需求出h，然后利用進行求解.妙用公式，直接得到線面角課本習題出現(xiàn)過這個公式：，如圖所示：.其中為直線AB與平面所成的線面角.這個公式在求解一些選擇填空題時，可直接應用.但是一定要注意三個角的位置，不能張冠李戴.DBAC（3）確定點的射影位置有以下幾種方法：斜線上任意一點在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；如果一個角所在的平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線上；如果一條直線與一個角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個

4、角的平分線上；兩個平面相互垂直，一個平面上的點在另一個平面上的射影一定落在這兩個平面的交線上；利用某些特殊三棱錐的有關性質(zhì)，確定頂點在底面上的射影的位置：a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果頂點到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對棱互相垂直，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的垂心.二面角的范圍，解題時要注意圖形的位置和題目的要求.求二面角的方法:直接法.直接法求二面角大小的步驟是：一作（找）、二證、三計算.即先作(找)出表示二面角大小的平面

5、角,并證明這個角就是所求二面角的平面角,然后再計算這個角的大小. 用直接法求二面角的大小,其關鍵是確定表示二面角大小的平面角.而確定其平面角,可從以下幾個方面著手:利用三垂線定理(或三垂線定理的逆定理)確定平面角,自二面角的一個面上一點向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即垂足），斜足與面上一點連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；利用與二面角的棱垂直的平面確定平面角, 自空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角；利用定義確定平面角, 在棱上任取一點，過這點在兩個平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角；射影

6、面積法.利用射影面積公式 ；此方法常用于無棱二面角大小的計算；對于無棱二面角問題還有一條途徑是設法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等.典型例題：例1如圖3，已知二面角的大小為，菱形在面內(nèi)，兩點在棱上，是的中點，面，垂足為.(1)證明：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值.分析:(1)題目已知,利用線面垂直的性質(zhì)可得,已知角和,利用余弦定理即可說明,即垂直于面內(nèi)兩條相交的直線,根據(jù)線面垂直的判斷即可得到直線垂直于面.(2)菱形為菱形可得,則與所成角與角大小相等,即求角的余弦值即可,利用菱形所有邊相等和一個角為即可求的的長度,根據(jù)(1)可得面,即角為二面角的平面角為,結(jié)合為直角三角形與

7、的長度,即可求的長度,再直角中,已知,利用直角三角形中余弦的定義即可求的角的余弦值,進而得到異面直線夾角的余弦值.【解析】例2已知某幾何體的三視圖和直觀圖如圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形PB1C1CBAN·（）求證：；（）求直線與平面所成角的余弦值；（）設為中點，在棱上是否存在一點，使平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由【答案】（）詳見解析；（）；（）【解析】（）解：因為，所以平面，設到平面的距離為，由于，所以，解得設直線與平面所成角為，可知，所以直線與平面所成角的余弦值為【練一練提升能力】1如圖，四棱錐，底面，分別是的中點（1） 證明：平面；

8、（2） 求直線與平面所成角的正弦值【解析】證明：(1)分別是的中點，又，又平面，平面，平面（2） 取線段中點，連接，則 故與平面所成的角等于與平面所成的角的大小，作，垂足為，連接，底面，又平面，平面，平面，平面是與平面所成的角，在中，與平面所成角的正弦值.2. 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，ABC=90°（1）求三棱柱ABCA1B1C1的表面積S；（2）求異面直線A1B與AC所成角的余弦值【解析】以立體幾何中的距離、體積問題相關的綜合題【背一背重點知識】（1）兩條異面直線的距離兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距

9、離；常有求法先證線段為異面直線的公垂線段，然后求出的長即可找或作出過且與平行的平面，則直線到平面的距離就是異面直線間的距離找或作出分別過且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離根據(jù)異面直線間的距離公式EF （“±”符號由實際情況選定）求距離.abEF（2）點到平面的距離點到直線的距離為點到直線的垂線段的長，常先找或作直線所在平面的垂線，得垂足為，過作的垂線，垂足為連，則由三垂線定理可得線段即為點到直線的距離.在直角三角形中求出的長即可.常用求法作出點到平面的垂線后求出垂線段的長；轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線上兩點，到斜足的距離，的比為，則點，到平面的距離之比也為特別地，

10、時，點，到平面的距離相等；體積法（3）直線與平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離；（4）平行平面間的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離.（5）多面體的面積和體積公式名稱側(cè)面積()全面積()體 積 ()棱柱棱柱直截面周長×+2·=· 直棱柱·棱錐棱錐各側(cè)面積之和+·正棱錐棱臺棱臺各側(cè)面面積之和+(+)正棱臺 表中表示面積，分別表示上、下底面周長，h表斜高，h表示斜高，l表示側(cè)棱長.（6）旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式名稱圓柱圓錐圓臺球側(cè)全 (即)表中、分別表示母線、高，表示圓

11、柱、圓錐與球冠的底半徑，分別表示圓臺 上、下底面半徑，表示半徑.【講一講提高技能】1.必備技能：求距離的關鍵是化歸.即空間距離向平面距離化歸，具體方法如下：（1）求空間中兩點間的距離，一般轉(zhuǎn)化為解直角三角形或斜三角形.（2）求點到直線的距離和點到平面的距離，一般轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊上的高；或利用三棱錐的底面與頂點的輪換性轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，即用體積法.（3）求距離的一般方法和步驟：應用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關系和“平行移動”的思想方法，把所求的距離轉(zhuǎn)化為點點距、點線距或點面距求之，其一般步驟是：找出或作出表示有關距離的線段；證明它符合定義；歸到解某個三角形若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積

12、等積法計算求之.異面直線上兩點間距離公式，如果兩條異面直線a 、b 所成的角為q ，它們的公垂線AA的長度為d ，在a 上有線段AE m ，b 上有線段AF n ，那么EF （“±”符號由實際情況選定）求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點：注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置.作線面角的方法除平移外，補形也是常用的方法之一；求線面角的關鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理.求二面角高考中每年必考，復習時必須高度重視.二面角的平角的常用作法有三種：根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線定理（或其逆定理）作，難點在于

13、找到面的垂線.解決辦法，先找面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可找到面的垂線；作棱的垂面.作二面角的平面角應把握先找后作的原則.此外在解答題中一般不用公式“ ”求二面角否則要適當扣分.求點到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點在面內(nèi)的射影，此時?？紤]面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì).而間接法中常用的是等積法及轉(zhuǎn)移法.求角與距離的關鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個三角形中，通過解三角形最終求得所需的角與距離.求體積常見方法直接法（公式法）直接根據(jù)相關的體積公式計算；轉(zhuǎn)移法：利用祖暅原理或等積變化，把所求的幾何體轉(zhuǎn)化為與它等底、等高

14、的幾何體的體積；分割法求和法：把所求幾何體分割成基本幾何體的體積；補形法：通過補形化歸為基本幾何體的體積；四面體體積變換法；利用四面體的體積性質(zhì)：（）底面積相同的兩個三棱錐體積之比等于其底面積的比；（）高相同的兩個三棱錐體積之比等于其底面積的比；（）用平行于底面的平面去截三棱錐，截得的小三棱錐與原三棱錐的體積之比等于相似比的立方.求多面體體積的常用技巧是割補法（割補成易求體積的多面體.補形：三棱錐三棱柱平行六面體；分割：三棱柱中三棱錐、四棱錐、三棱柱的體積關系是1：2：3和等積變換法(平行換點、換面)和比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換)法等.求體積常見技巧當給出的幾何體比較復雜，有關的計算公式無法運用，或者雖然

15、幾何體并不復雜，但條件中的已知元素彼此離散時，我們可采用“割”、“補”的技巧，化復雜幾何體為簡單幾何體(柱、錐、臺)，或化離散為集中，給解題提供便利(1)幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個易求體積的幾何體，進而求之(2)幾何體的“補形”：與分割一樣，有時為了計算方便，可將幾何體補成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等另外補臺成錐是常見的解決臺體側(cè)面積與體積的方法，由臺體的定義，我們在有些情況下，可以將臺體補成錐體研究體積(3)有關柱、錐、臺、球的面積和體積的計算，應以公式為基礎，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關的幾何元素組合體的表面積和體積的

16、計算方法實際問題中的幾何體往往不是單純的柱、錐、臺、球，而是由柱、錐、臺、球或其一部分組成的組合體，解決這類組合體的表面積或體積的基本方法就是“分解”，將組合體分解成若干部分，每部分是柱、錐、臺、球或其一個部分，分別計算其體積，然后根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)，將整個組合體的表面積或體積轉(zhuǎn)化為這些“部分的表面積或體積”的和或差易錯提示空間幾何體的面積有側(cè)面積和表面積之分，表面積就是全面積，是一個空間幾何體中“暴露”在外的所有面的面積，在計算時要注意區(qū)分是“側(cè)面積還是表面積”多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積之和對于簡單的組合體的表面積，一定要注意其表面積

17、是如何構(gòu)成的，在計算時不要多算也不要少算，組合體的表面積要根據(jù)情況決定其表面積是哪些面積之和求解幾何體體積的策略及注意問題(1)與三視圖有關的體積問題關鍵是準確還原幾何體及弄清幾何體中的數(shù)量關系(2)計算柱、錐、臺的體積關鍵是根據(jù)條件找出相應的底面積和高(3)注意求體積的一些特殊方法：分割法、補體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計算常用的方法，應熟練掌握(4)注意組合體的組成形式及各部分幾何體的特征2.典型例題：例1如圖,直三棱柱中，平面，其垂足落在直線上為的中點（1）求證： 平面A1PB（2）若，AC=2 ，求三棱錐的體積分析：（1）證明： 三棱柱 為直三棱柱，連接與交于點E,

18、可知E為中點，連接PE，為的中點，得到PE ；即得平面A1PB.（2）在直三棱柱 中，由知 計算；進一步求“高”計算體積.【解析】在中， ，,在中， ， .例2如圖，在正三棱柱（側(cè)面垂直于底面，且底面是正三角形）中，是棱上一動點（1）若，分別是，的中點，求證：平面；（2）求證：三棱錐的體積為定值，并求出該定值【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析，【解析】因為平面平面，平面，平面，所以平面易知，又是棱上一動點，故不論在何位置，都有【練一練提升能力】1. 如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，是的中點.（）證明：/平面；（）設，三棱錐的體積，求到平面的距離.【解析】2. 如圖，四棱錐中，底面為菱

19、形，面，為的中點（1）求證：平面；（2）設，求點到平面的距離【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】故平面，又，所以到平面的距離為 解答題（共10題）1. 如圖，四棱錐中，底面是邊長為 4的菱形， ，為中點（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）若，求三棱錐的體積【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）【解析】試題分析：（1）利用條件可證明，再利用線面平行的判定即可得證；（2）根據(jù)線面垂直的判定可證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定即可得證；（3）利用求得底面積和高即可求解2. 如圖，已知的直徑AB3，點C為上異于A，B的一點，平面ABC，且VC2，點M為線段VB的中點.(1)求證：平面

20、VAC；(2)若AC1，求直線AM與平面VAC所成角的大小. 【解析】(1)平面，平面，點C為上一點，且AB為直徑，又平面VAC，平面VAC；(2)如圖，取VC的中點N，連接MN，AN，則MNBC，由(1)得，BC平面VAC，MN平面VACMAN為直線AM與平面VAC所成的角， ，直線AM與平面VAC所成角的大小為.3. 如圖，四棱錐中，底面為菱形，面，為的中點（1）求證：平面；（2）設，求點到平面的距離【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】故平面，又，所以到平面的距離為 4. 如圖，多邊形ABCDE中，ABC90°，ADBC，ADE是正三角形，AD2，ABBC1，沿直線AD將AD

21、E折起至ADP的位置，連接PB，BC，構(gòu)成四棱錐PABCD，使得PAB90°.點O為線段AD的中點，連接PO.(1)求證：PO平面ABCD；(2)求異面直線CD與PA所成角的余弦值.EABCDOPABCDO【解析】(1)證明：ABC90°，ADBC，5. 如圖甲，的直徑，圓上兩點、在直徑的兩側(cè)，使，沿直徑折起，使兩個半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），為的中點，為的中點根據(jù)圖乙解答下列各題：（1）求證：；（2）在弧上是否存在一點，使得平面？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由【答案】（1）詳見解析；（2）為弧的中點【解析】6. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，E、F分別是PB、CD的