Z變換和差分方程

1、第三節(jié)第三節(jié) 差分方程差分方程 對于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，在某一采樣時對于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，在某一采樣時刻的輸出值刻的輸出值 y(k) y(k) 不僅與這一時刻的輸入值不僅與這一時刻的輸入值 r(k)r(k)有有關，而且與過去時刻的輸入值關，而且與過去時刻的輸入值r(k-1)r(k-1)、 r(k-2)r(k-2)有有關，還與過去的輸出值關，還與過去的輸出值y(k-1)y(k-1)、 y(k-2)y(k-2)有關?？捎嘘P?？梢园堰@種關系描述如下：以把這種關系描述如下：)()1()()()1()(101krbmkrbmkrbkyankyankymn差分方程的定義差分方程的定義: :差

2、分方程的物理意義差分方程的物理意義 1.1.差分方程給出了沿時間順序差分方程給出了沿時間順序輸出量的若輸出量的若干個采樣瞬時值與輸入量在采樣瞬時的值干個采樣瞬時值與輸入量在采樣瞬時的值的關系。的關系。 2.2.通常，若系統(tǒng)的連續(xù)部分是一個通常，若系統(tǒng)的連續(xù)部分是一個 n n 階的階的線性環(huán)節(jié)，則構成離散系統(tǒng)時，其相應的線性環(huán)節(jié)，則構成離散系統(tǒng)時，其相應的差分方程也是差分方程也是 n n 階的線性差分方程。階的線性差分方程。 3. 3. 一個一個n n 階差分方程中，一般包括有階差分方程中，一般包括有n n 個個過去采樣瞬時的輸出值。過去采樣瞬時的輸出值。典型的采樣系統(tǒng)典型的采樣系統(tǒng))(sR)(

3、*sE)(sCT)(shG)(sE)(sEhs1統(tǒng)的差分方程。這就是上述采樣控制系輸出)()() 1(:kTTekTcTkc差分方程的差分方程的 求解方法求解方法)()()1)1(kTrkcTkc（上式可以改寫為)0()0()1 () 1 (0TrcTck)0()0()1 ()0()1 () 1 () 1 ()1 ()2(12TrTrTcTTrcTck101)()1()0()1()(kiikkirTTcTkc)()()()()()1(:kckrkekTTekTcTkc由于輸出迭代法求解示例迭代法求解示例 例題：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為：例題：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為：)()2(2) 1

4、(3)(kfkykyky),(2,2)1 (,0)0(kkfyyk）（激勵)(ky 解：解： 將方程中除將方程中除 y y（k k）以外的各項都移到等號右邊，以外的各項都移到等號右邊， 得：得： 對于對于 類似的依次迭代可得：類似的依次迭代可得：)()2(2) 1(3)(kfkykyky代入上式，得：將已知初始值2) 1 (, 0)0(, 2yyk2)2()0(2) 1 (3)2(fyyy10)4()2(2)3(3)4(10)3() 1 (2)2(3)3(fyyyfyyy迭代法的迭代法的 特點特點思路清楚，便于編寫計算程序，能得到方程思路清楚，便于編寫計算程序，能得到方程 的數(shù)值的數(shù)值解。解。

5、2. 2. 但不容易得出輸出在采樣時刻值的通解。但不容易得出輸出在采樣時刻值的通解。 直接求解差分方程是比較困難直接求解差分方程是比較困難的，因此考慮到：能否借用的，因此考慮到：能否借用類似類似于拉斯變換于拉斯變換的數(shù)學方法來簡化方的數(shù)學方法來簡化方程求解？程求解？第四節(jié)第四節(jié) Z 變換變換0)()()(nnTtnTftf?0*)()(nSnTsenTfsF?0*)()()(,nnSTZnTftfZzFeZs?zTseZssTln1? 引入變量：引入變量：zTssln1ssTez Z Zf f* *( (t t) ) = F = F( (z z) )F F (z)(z)是采樣脈沖序列的是采樣脈

6、沖序列的 變換，變換， 它只考慮了采樣時刻的信號值。它只考慮了采樣時刻的信號值。Z Z 變換的實質變換的實質n 級數(shù)求和法級數(shù)求和法 部分分式法部分分式法 留數(shù)計算法留數(shù)計算法4.2 4.2 Z 變換的方法變換的方法1. 1. 級數(shù)求和法級數(shù)求和法 將離散函數(shù)根據(jù)定義展開將離散函數(shù)根據(jù)定義展開, ,然后逐項進行拉斯然后逐項進行拉斯變換，變換， F *(t) = 0)()(nnTtntf例例 8-1 見教材見教材339339頁頁 例題例題8 84 41.1.ate 001220111akTkaTaTkaTaTF zeze zezezzezze解：例例 8-2 求求 的的 F(Z)見教材見教材33

7、9339頁例題頁例題8 84 42 2例例8-3 求解求解 的的 Z 變換變換 。( ) ()aF ss sa 1111( )(1)( )1(1)()ataTaTaTABF sssassaL F stezzzeF zzzezze解：因為而所以2. 2. 部分分式法部分分式法 當連續(xù)函數(shù)可以表示為指數(shù)函數(shù)之和時，可以利用這種方法。當連續(xù)函數(shù)可以表示為指數(shù)函數(shù)之和時，可以利用這種方法。見教材見教材339339頁例題頁例題8 84 43 322221()2211111121211222222sin11111( )2 12 1sinsin11 2cosjtj Tj Tj Tj TssjjjjLtsss

8、jsjLesjF zzsjezjezzTzTezezzzTz解：因為所以例例8-4 求求sin)(tZzFniiniTpiRezzpFrestfZzFi11*)()()(TppsiezzsFpsR)()(lim111TpqqqpsiezzsFpsdsdqR)()(lim)!1(111114.2.3 4.2.3 留數(shù)計算法留數(shù)計算法例例8-4-5tcos)()(22jsjsssssFTjsTjsezzezzjsjssjsR21)()(lim1TjsTjsezzezzjsjssjsR21)()(lim2例例86ttf)(21)(ssF20220) 1(lim1)0(limzTzezzdsdezzs

9、sdsdRsTssTs2) 1()(zTzzF322) 1() 1()()(zzzTzFttf例例87 下表列出了一些常見函數(shù)及其相應的下表列出了一些常見函數(shù)及其相應的 Laplace 變換變換 和和 Z 變換，利用此表可以變換，利用此表可以根據(jù)給定的函數(shù)或其根據(jù)給定的函數(shù)或其 Laplace 變換直接查變換直接查出其對應的出其對應的 Z變換，不必進行繁瑣的計算，變換，不必進行繁瑣的計算，這也是實際中廣泛應用的方法。這也是實際中廣泛應用的方法。)(tf)(sF)(zF)(t)(1 tt2/2tateattetsintcos1s121s31sas12)(1as22s22ss11zz2)1(zzT

10、32)1(2)1(zTzzaTezz2)(aTaTezzTe1sin2sin2TzzTz1cos2cos22TzzTzz常用函數(shù)的常用函數(shù)的 Z變換變換（見教材（見教材341341頁表頁表8 84 41 1）1 1、線性定理、線性定理2 2、滯后定理、滯后定理3 3、初值定理、初值定理4 4、終值定理、終值定理5 5、超前定理、超前定理6 6、復數(shù)偏移定理、復數(shù)偏移定理4.3 Z 4.3 Z 變換的基本定理變換的基本定理（p342p342）1 1、線性定理、線性定理)()()()()(22111zFazFazFazFazFnnniii)()()()()(22111tfatfatfatfatfn

11、nniii2 2、滯后定理、滯后定理)()(zFzkTtfZk原函數(shù)在時域中延遲幾個采樣周期，相當于在象函數(shù)上乘以原函數(shù)在時域中延遲幾個采樣周期，相當于在象函數(shù)上乘以z z-k-k, ,算子算子z z-k-k的含義可表示時域中時滯環(huán)節(jié)，把脈沖延遲的含義可表示時域中時滯環(huán)節(jié)，把脈沖延遲k k個周期。個周期。3 3、初值定理、初值定理設函數(shù)設函數(shù)f(t)f(t)的的Z Z變換為變換為F F（z z），并且），并且 )(lim)0(zffz)(limzFz4 4、終值定理、終值定理 設函數(shù)設函數(shù)f f(t)(t)的的 Z Z變換為變換為F F（z z），并且（，并且（1-z1-z-1-1）F(z)F

12、(z)在以原點為圓心的單位圓上和圓外均無極點，則有在以原點為圓心的單位圓上和圓外均無極點，則有)() 1(lim)(1zFzfzt5 5、超前定理、超前定理設函數(shù)設函數(shù)f(t)f(t)的的 Z Z變換為變換為0)()(nnznTfzF10)()()(nnnkkznTfzzFzkTtfZ0)1()()0(TkfTff)()(zFzkTtfZk6 6、復數(shù)偏移定理、復數(shù)偏移定理設函數(shù)設函數(shù)f(t)f(t)的的Z Z變換為變換為F F（Z Z），則），則)()(aTatzeFetfZn長除法（冪級數(shù)展開法）n部分分式法n留數(shù)法（反演積分法）4.4 4.4 Z 反變換反變換Z 反變換是反變換是: :

13、已知已知 Z 變換表達變換表達式式 F(Z) f (nT) 的逆過程的逆過程. .)()(1zFZnTf要點：將要點：將F F（Z Z）用長除法變化為降冪排列的展開形式。）用長除法變化為降冪排列的展開形式。022110110110)(nnnnnnmmmzczczccmnazazabzbzbzF4.4.1 4.4.1 長除法（冪級數(shù)法）長除法（冪級數(shù)法）)()2()()()(210nTtcTtcTtctctfnncnTf)()2)(1(10)(zzzzF2112231102310)(zzzzzzzF4321150703010)(zzzzzF)3(150)2(70)(30)(10)(TtTtTtt

14、tf步驟：步驟：先將變換式寫成先將變換式寫成zzF)(，展展開開成部分分式，成部分分式， niiizzAzzF1)(查查Z Z變換表變換表兩端乘以兩端乘以Z ZniiizzzAZF1)(4.4.2 4.4.2 部分分式法（因式分解法，查表法）部分分式法（因式分解法，查表法）)2)(1(10)(zzzzF110210)2)(1(10)(zzzzzzF110210)(zzzzzF) 12(1010210)(*nntfizzncnZZFsdzZZFjnTf)(Re)(21)(11izznZZFs)(Re1函數(shù)函數(shù)F(z)zF(z)zn-1n-1在極點在極點Z Zi i處的留數(shù)處的留數(shù)F(z)zF(z

15、)zn-1n-1全部極點的任意封閉曲線全部極點的任意封閉曲線)()()(Re11limnizzzznzzFzzzzFsii)()()!1(1)(Re1111limnqiqqzzzznzzFzzdzdqzzFsii3.3.留數(shù)法留數(shù)法 （反演積分法）（反演積分法）)2)(1(10)(zzzzF)2)(1(10)(1zzzzzFnn2121zz10)2)(1(10) 1()(Relim1111zzzzzzFsRnzznnnzznzzzzzzFsR210)2)(1(10)2()(Relim22122121121010)(Re)(inzznRRZZFsnTfi2) 1()(zTzzF21) 1()(zTzzzFnn1znTzTzzdzdRnz) 1() 1()!12(12212121limnTRnTf)(用用 Z 變換變換 解解二階差分方程二階差分方程 用用 Z Z 變換法求解下列二階差分方程：變換法求解下列二階差分方程：1)1(,0)0(0)(2)1(3)2(ccncncnc0)(2)0(3)(3)1()0()(22zCzczzCzcczzCz2123)(2zzzzzzzzCn