大學(xué)物理B第四章-振動(dòng)2高等教學(xué)

1、4-2 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成和分解 4-2-1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 1. 兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 某一質(zhì)點(diǎn)在直線上同時(shí)參與兩個(gè)獨(dú)立的同頻某一質(zhì)點(diǎn)在直線上同時(shí)參與兩個(gè)獨(dú)立的同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)表達(dá)式分別表示為：率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)表達(dá)式分別表示為：)cos(111tax)cos(222tax121aaaa1、a2、a一起以一起以 轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)，保持相對(duì)靜止。保持相對(duì)靜止。)(1221xxx)cos(tax1x2xx1a2a12xa)cos(111tax)cos(222tax222112211212221122122212122212coscossinsint

2、ancos2cos2cos2aaaaxyaaaaaaaaaaaaaa21, 的具體象限要根的具體象限要根據(jù)據(jù) 確定。確定。1a2aa3xo1a2a21aaaxo1a2a21aaa)cos(212212221aaaaa122k) 12(k21maxaaa21minaaa)2, 1, 0(k合振動(dòng)的強(qiáng)弱與兩分振動(dòng)相位差的關(guān)系合振動(dòng)的強(qiáng)弱與兩分振動(dòng)相位差的關(guān)系4同方向同頻率振動(dòng)合成5333222111coscoscostaxtaxtaxtaxcosaa11a22a33多個(gè)同一直線上、同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成多個(gè)同一直線上、同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成多邊形法多邊形法則則naaaa 21特例特例:0mina封閉多

3、邊形封閉多邊形:1a2anaanaaaa 21max直線直線:a1a2ana6: 兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)曲線兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)曲線(如圖所示如圖所示), , (1) 求合振動(dòng)的振幅求合振動(dòng)的振幅;(2) 求合振動(dòng)的振動(dòng)方程。求合振動(dòng)的振動(dòng)方程。1212aaa解解: (1)0cos11a22110cos22a22221a2ax2a1axt)(1tx)(2txtoa)22cos(12ttaaxt22:由矢量圖由矢量圖(2)7解：解：6cos212122aaaaa6cos3102023102022a1a2a6: 兩個(gè)同方向兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng), ,其合振動(dòng)的其合振動(dòng)的振幅為振

4、幅為20cm, ,與第一個(gè)振動(dòng)的相位差為與第一個(gè)振動(dòng)的相位差為 . .若第若第一個(gè)振動(dòng)的振幅為一個(gè)振動(dòng)的振幅為 . .則則(1)第二個(gè)振動(dòng)的振幅為多第二個(gè)振動(dòng)的振幅為多少？少？(2) 兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位差為多少？?jī)珊?jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位差為多少？61cm310cm106sinsin2aa16sin10206sinsin2aa221282、同方向不同頻率兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 拍11a2a2 1a122a1a2a9拍現(xiàn)象10每每多多轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周比比12aa合振動(dòng)出現(xiàn)一次最強(qiáng)合振動(dòng)出現(xiàn)一次最強(qiáng)o1a2a12122t拍的周期拍的周期12122拍的頻率拍的頻率(簡(jiǎn)稱拍頻簡(jiǎn)稱拍頻)212tt11)cos(11tax)c

5、os(22tax)2cos(2cos2)cos()cos(12122121ttatataxxxaaa21:設(shè)21振幅隨時(shí)間變化振幅隨時(shí)間變化振動(dòng)項(xiàng)振動(dòng)項(xiàng)12第一項(xiàng)緩慢變化，第二項(xiàng)快速變化：第一項(xiàng)緩慢變化，第二項(xiàng)快速變化：“拍拍(beat)”調(diào)制調(diào)制)2cos(212ta振幅振幅 隨時(shí)間緩慢變化隨時(shí)間緩慢變化諧振因子諧振因子 快速變化快速變化)2cos(12t拍現(xiàn)象的應(yīng)用拍現(xiàn)象的應(yīng)用： 用音叉振動(dòng)校準(zhǔn)樂器用音叉振動(dòng)校準(zhǔn)樂器 測(cè)定超聲波測(cè)定超聲波 測(cè)定無線電頻率測(cè)定無線電頻率 調(diào)制高頻振蕩的振幅和頻率調(diào)制高頻振蕩的振幅和頻率1212當(dāng)當(dāng)均很大，均很大，21,但彼此相差很小，但彼此相差很小，133.

6、 相互垂直的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 )cos(22tay)cos(11taxx方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)y方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)14相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成)cos(22tay222sinsincoscosttay)cos(11tax111sinsincoscosttaxyx)(sin)cos(21221221222212aaxyayax15相互垂直的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成相互垂直的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成16在李薩如圖形中：在李薩如圖形中：曲線與平行于曲線與平行于x軸的直線的切點(diǎn)數(shù)軸的直線的切點(diǎn)數(shù)曲線與平行于曲線與平行于y軸的直線的切點(diǎn)數(shù)軸的直線的切點(diǎn)數(shù)兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率比的頻率比=其中頻率為其

7、中頻率為1:1的李薩如圖為的李薩如圖為橢圓橢圓, ,在一定的在一定的相位差條件下相位差條件下, ,退化為一直線退化為一直線. .17利薩如圖形 相互垂直的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成相互垂直的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成184-2-2 4-2-2 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的分解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的分解 兩個(gè)頻率比為兩個(gè)頻率比為1:2的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 tataxxx2coscos2121x1x2xxttt2如果將一系列角頻率是如果將一系列角頻率是某個(gè)基本角頻率某個(gè)基本角頻率（亦（亦稱主頻）的整數(shù)倍的簡(jiǎn)稱主頻）的整數(shù)倍的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)疊加，則其合振諧運(yùn)動(dòng)疊加，則其合振動(dòng)仍然是以動(dòng)仍然是以為角頻率為角頻率的周期性振動(dòng)，但一般的周期性振動(dòng)，但一

8、般不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 19xto 一個(gè)以一個(gè)以為頻率的周期為頻率的周期性函數(shù)性函數(shù) f (t)，可以用傅里葉可以用傅里葉級(jí)數(shù)的余弦項(xiàng)表示為：級(jí)數(shù)的余弦項(xiàng)表示為： 10)cos()(nnntnaatf：主頻：主頻n：n 次諧頻次諧頻toxttttoooo20頻譜分析214-3 阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振4-3-1 阻尼振動(dòng) 阻尼振動(dòng)：阻尼振動(dòng)：振動(dòng)系統(tǒng)在回復(fù)力和阻力作用下發(fā)振動(dòng)系統(tǒng)在回復(fù)力和阻力作用下發(fā)生的減幅振動(dòng)生的減幅振動(dòng)。txfddv ：阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) 22rfxkfoxxmmk2 ,20令0dd2dd2022xtxtx0：無阻尼時(shí)振子的固有頻率：無阻尼時(shí)振子的固有頻率 ：阻

9、尼因子：阻尼因子txkxtxmdddd22動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程23taexot22cos方程解：02202rr2022022442r解二階常系數(shù)齊解二階常系數(shù)齊次線性微分方程：次線性微分方程：220202ir1、欠阻尼情況：阻力很小、欠阻尼情況：阻力很小0taextcos24rtxe令taextcos222ot周期：22o角頻率：toxaa22 阻尼較小時(shí)（阻尼較小時(shí)（ ），振動(dòng)為減幅振動(dòng)，振幅），振動(dòng)為減幅振動(dòng)，振幅 隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律迅速減少。阻尼越大，減隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律迅速減少。阻尼越大，減幅越迅速。振動(dòng)周期大于自由振動(dòng)周期。幅越迅速。振動(dòng)周期大于自由振動(dòng)周期。討論：討論：tae025過阻

10、尼情況過阻尼情況: :臨界阻尼情況：臨界阻尼情況：26tx阻尼較小時(shí)阻尼較小時(shí)阻尼較大時(shí)阻尼較大時(shí), ,振動(dòng)從最大位移緩慢回到振動(dòng)從最大位移緩慢回到平衡位置平衡位置, ,不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng). .過阻尼過阻尼質(zhì)點(diǎn)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)的極限狀態(tài)質(zhì)點(diǎn)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)的極限狀態(tài). .欠欠振動(dòng)為減幅振動(dòng)振動(dòng)為減幅振動(dòng), ,振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律迅速振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律迅速減少減少. .阻尼越大阻尼越大, ,減幅越迅速減幅越迅速. .振動(dòng)周期大于自由振動(dòng)周期振動(dòng)周期大于自由振動(dòng)周期. .27火炮的阻尼28新加坡摩天輪的阻尼防風(fēng)4-3-2 受迫振動(dòng)和共振 系統(tǒng)在系統(tǒng)在周期性的外力周期性的外力持續(xù)作用持續(xù)作用下所發(fā)生

11、的振動(dòng)。下所發(fā)生的振動(dòng)。受迫振動(dòng)：受迫振動(dòng)：策動(dòng)力：策動(dòng)力： 周期性的外力周期性的外力設(shè)：設(shè)：1. 1. 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)tffcos0rfxkfoxxf29tftxkxtxmcosdddd022由牛頓第二定律由牛頓第二定律mffmmk0020,2,令令tfxtxtxcosdd2dd02022二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解：驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)力tateaxtcoscos0220030在阻尼較小時(shí)，其通解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解加上一個(gè)特解，在阻尼較小時(shí)，其通解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解加上一個(gè)特解，為為tateaxtcoscos0220000,a第一項(xiàng)為暫態(tài)項(xiàng)，經(jīng)過一端時(shí)間以

12、后趨向于零，第一項(xiàng)為暫態(tài)項(xiàng)，經(jīng)過一端時(shí)間以后趨向于零， 為積為積分常數(shù)，由初始條件確定；分常數(shù)，由初始條件確定；taycos,a第二項(xiàng)為穩(wěn)定項(xiàng)，將特解第二項(xiàng)為穩(wěn)定項(xiàng)，將特解 代入原方程求代入原方程求得得 tfxxxcos220 tftatatacoscossin2cos20231tftatacossin2cos220（1）對(duì)t求導(dǎo)：tftatasincos2sin2220tftatasincos2sin220（2） 22212222222024faa2222204fa32在（在（2）式中令）式中令t = 0：0cos2sin220aatftatasincos2sin2202202tg22012

13、tg 1. 受迫振動(dòng)是阻尼振動(dòng)和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成。受迫振動(dòng)是阻尼振動(dòng)和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成。 2. 經(jīng)一段相當(dāng)?shù)臅r(shí)間后，阻尼振動(dòng)衰減到可以忽經(jīng)一段相當(dāng)?shù)臅r(shí)間后，阻尼振動(dòng)衰減到可以忽略不計(jì)，這樣就成為一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其略不計(jì)，這樣就成為一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其周期為強(qiáng)迫力周期為強(qiáng)迫力的周期的周期，振幅、初相位不僅與初條件有關(guān)，而且與，振幅、初相位不僅與初條件有關(guān)，而且與強(qiáng)迫力的頻率和力幅有關(guān)強(qiáng)迫力的頻率和力幅有關(guān)。結(jié)結(jié)論論33穩(wěn)定后的振動(dòng)表達(dá)式：穩(wěn)定后的振動(dòng)表達(dá)式：結(jié)論：結(jié)論：受迫振動(dòng)的頻率與策動(dòng)力的頻率相等受迫振動(dòng)的頻率與策動(dòng)力的頻率相等。 受迫振動(dòng)的振幅：受迫振動(dòng)的振幅： 22222004fa受迫振動(dòng)的初相位：受

14、迫振動(dòng)的初相位： 2202arctg結(jié)論：結(jié)論：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅與外力幅值成正比。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅與外力幅值成正比。 歸納:taxcos34共振：共振：當(dāng)策動(dòng)力的頻率為某一特定值時(shí)，當(dāng)策動(dòng)力的頻率為某一特定值時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅將達(dá)到極大值的現(xiàn)象。受迫振動(dòng)的振幅將達(dá)到極大值的現(xiàn)象。2. 2. 共振共振04dddd2222200fa求極值：求極值：共振頻率：共振頻率： 220r22200r2fa共振振幅：共振振幅： 0為固有頻率為固有頻率35ao大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼零阻尼零阻尼r 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) 越小，越小，共振角頻率共振角頻率 r r越接近越接近于系統(tǒng)的固有頻率于系統(tǒng)的固有頻率 o o ，同時(shí)共振振幅同時(shí)共振振幅ar r也越也越大。大。結(jié)論：36tasinv受迫振動(dòng)的速度：受迫振動(dòng)的速度：22222004famaxv速度幅：速度幅：0時(shí)，速度幅極大時(shí)，速度幅極大在速度共振條件下穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的初相位為在速度共