直接證明與間接證

1、第第6課時直接證明與間接證明課時直接證明與間接證明證明的結論證明的結論推理論證推理論證成立成立充分條件充分條件內容內容綜合法綜合法分析法分析法文字語文字語言言因為因為所以所以或或由由得得要證要證只需證只需證即證即證思考感悟思考感悟綜合法和分析法的區(qū)別與聯(lián)系是什么？綜合法和分析法的區(qū)別與聯(lián)系是什么？提示：提示：綜合法的特點是：從綜合法的特點是：從“已知已知”看看“可可知知”，逐步推向，逐步推向“未知未知”其逐步推理實際上其逐步推理實際上是尋找它的必要條件分析法的特點是：從是尋找它的必要條件分析法的特點是：從“未知未知”看看“需知需知”，逐步靠攏，逐步靠攏“已知已知”其其逐步推理實際上是尋求它的充

2、分條件在解決逐步推理實際上是尋求它的充分條件在解決問題時，經常把綜合法和分析法綜合起來使問題時，經常把綜合法和分析法綜合起來使用用2間接證明間接證明反證法：假設原命題反證法：假設原命題_ (即在原命題的條即在原命題的條件下，結論不成立件下，結論不成立)，經過正確的推理，最后得，經過正確的推理，最后得出出_因此說明假設錯誤，從而證明了原命因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法題成立，這樣的證明方法叫做反證法不成立不成立矛盾矛盾綜合法綜合法綜合法是綜合法是“由因導果由因導果”，它是從已知條件出發(fā)，它是從已知條件出發(fā)，順著推證，經過一系列的中間推理，最后導出順著推證，經過一

3、系列的中間推理，最后導出所證結論的真實性用綜合法證明的邏輯關系所證結論的真實性用綜合法證明的邏輯關系是：是：ab1b2bnb(a為已知條件或數為已知條件或數學定義、定理、公理等，學定義、定理、公理等，b為要證結論為要證結論)，它的，它的常見書面表達是常見書面表達是“，”或或“”分析法分析法分析法是分析法是“執(zhí)果索因執(zhí)果索因”，一步步尋求上一，一步步尋求上一步成立的充分條件它是從要求證的結論步成立的充分條件它是從要求證的結論出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知逐漸地靠近已知(已知條件，已經學過的定已知條件，已經學過的定義、定理、公理、公式、法則等

4、義、定理、公理、公式、法則等)用分析用分析法證明命題的邏輯關系是：法證明命題的邏輯關系是：b b1 b2 bn a.它的常見書面表它的常見書面表達是達是“要證要證只需只需”或或“ ”【思路分析思路分析】a bab0，利用，利用a2|a|2求求證證平方得平方得|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|22ab)，只需證只需證|a|2|b|22|a|b|0，即即(|a|b|)20，顯然成立，顯然成立故原不等式得證故原不等式得證【誤區(qū)警示誤區(qū)警示】本題從要證明的結論出發(fā)，探本題從要證明的結論出發(fā)，探求使結論成立的充分條件，最后找到的恰恰都求使結論成立的充分條件，最后找到的恰恰都是已證的命題是已證

5、的命題(定義、公理、定理、法則、公式定義、公理、定理、法則、公式等等)或要證命題的已知條件時，命題得證這正或要證命題的已知條件時，命題得證這正是分析法證明問題的一般思路是分析法證明問題的一般思路一般地，含有根號、絕對值的等式或不等式，一般地，含有根號、絕對值的等式或不等式，若從正面不易推導時，可以考慮用分析法若從正面不易推導時，可以考慮用分析法反證法反證法反證法體現(xiàn)了正難則反的思維方法，用反證法證反證法體現(xiàn)了正難則反的思維方法，用反證法證明問題的一般步驟是：明問題的一般步驟是：(1)分清問題的條件和結論；分清問題的條件和結論；(2)假定所要證的結論不成立，而設結論的反面假定所要證的結論不成立，

6、而設結論的反面成立成立(否定結論否定結論)；(3)從假設和條件出發(fā)，經過正確的推理，導出從假設和條件出發(fā)，經過正確的推理，導出與已知條件、公理、定理、定義及明顯成立的事與已知條件、公理、定理、定義及明顯成立的事實相矛盾或自相矛盾實相矛盾或自相矛盾(推導矛盾推導矛盾)；(4)因為推理正確，所以斷定產生矛盾的原因是因為推理正確，所以斷定產生矛盾的原因是“假設假設”錯誤既然結論的反面不成立，從而證錯誤既然結論的反面不成立，從而證明了原結論成立明了原結論成立(結論成立結論成立)【思路分析思路分析】(1)利用求和公式先求公利用求和公式先求公差差d，(2)利用反證法證明利用反證法證明【名師點評名師點評】當

7、一個命題的結論是以當一個命題的結論是以“至多至多”、“至少至少”、“唯一唯一”或以否定形式出現(xiàn)時或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證，反證法的關鍵是在正確的，宜用反證法來證，反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與，與假設矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等，反證法常常是解決某些事實矛盾等，反證法常常是解決某些“疑難疑難”問題的有力工具，是數學證明中的一件有力武問題的有力工具，是數學證明中的一件有力武器器方法技巧方法技巧1分析法和綜合法各有優(yōu)缺點分析法思考起分析法和綜合法各有優(yōu)缺點分析法思

8、考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁瑣；綜合法從條件推出點是思路逆行，敘述較繁瑣；綜合法從條件推出結論，較簡潔地解決問題，但不便于思考實際結論，較簡潔地解決問題，但不便于思考實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來然后再用綜合法敘述出來2利用反證法證明數學問題時，要假設結論錯利用反證法證明數學問題時，要假設結論錯誤，并用假設命題進行推理，沒有用假設命題推誤，并用假設命題進行推理，沒有用假設命題推理而推出矛盾結果，其推理過程是錯誤的理而推出矛盾結果，

9、其推理過程是錯誤的3用分析法證明數學問題時，要注意書寫格用分析法證明數學問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用式的規(guī)范性，常常用“要證要證(欲證欲證)”“即要證即要證”“就要證就要證”等分析得到一個明顯成立的結等分析得到一個明顯成立的結論論p，再說明所要證明的數學問題成立，再說明所要證明的數學問題成立失誤防范失誤防范1反證法證明中要注意的問題反證法證明中要注意的問題(1)必須先否定結論，即肯定結論的反面，當結論的必須先否定結論，即肯定結論的反面，當結論的反面呈現(xiàn)多樣性時，必須羅列出各種可能結論，缺反面呈現(xiàn)多樣性時，必須羅列出各種可能結論，缺少任何一種可能，反證都是不完全的；少任何一種可能，反證

10、都是不完全的；(2)反證法必須從否定結論進行推理，即應把結論的反證法必須從否定結論進行推理，即應把結論的反面作為條件，且必須根據這一條件進行推證，否反面作為條件，且必須根據這一條件進行推證，否則，僅否定結論，不從結論的反面出發(fā)進行推理，則，僅否定結論，不從結論的反面出發(fā)進行推理，就不是反證法；就不是反證法；(3)推導出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，推導出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與事實矛盾等，推導出的矛有的與假設矛盾，有的與事實矛盾等，推導出的矛盾必須是明顯的盾必須是明顯的2常見的常見的“結論詞結論詞”與與“反設詞反設詞”原結論原結論詞詞反設詞反設詞原結論詞

11、原結論詞反設詞反設詞至少有至少有一個一個一個也一個也沒有沒有對所有對所有x成立成立存在某個存在某個x不不成立成立至多有至多有一個一個至少有至少有兩個兩個對任意對任意x不成不成立立存在某個存在某個x成成立立至少有至少有n個個至多有至多有n1個個p或或q綈綈p且綈且綈q至多有至多有n個個至少有至少有n1個個p且且q綈綈p或綈或綈q從近幾年的高考試題來看，綜合法、反證法證明從近幾年的高考試題來看，綜合法、反證法證明問題是高考的熱點，題型大多為解答題，難度為問題是高考的熱點，題型大多為解答題，難度為中、高檔；主要是在知識交匯點處命題，像數列，中、高檔；主要是在知識交匯點處命題，像數列，立體幾何中的平行

12、、垂直，不等式，解析幾何等立體幾何中的平行、垂直，不等式，解析幾何等都有可能考查，在考查數學基本概念的同時，注都有可能考查，在考查數學基本概念的同時，注重考查等價轉化、分類討論思想以及學生的邏輯重考查等價轉化、分類討論思想以及學生的邏輯推理能力推理能力預測預測2012年廣東高考仍將以綜合法證明為主要考年廣東高考仍將以綜合法證明為主要考點，偶爾會出現(xiàn)反證法證明的題目，重點考查運點，偶爾會出現(xiàn)反證法證明的題目，重點考查運算能力與邏輯推理能力算能力與邏輯推理能力【名師點評名師點評】本題考查了數列的計算及反本題考查了數列的計算及反證法的證明，試題為中高檔題，易誤點為：證法的證明，試題為中高檔題，易誤點為：一是不能轉化為新數列；二是求一是不能轉化為新數列；