高等代數(shù)第五版下重點習(xí)題解.doc

1、第 9 頁 共 9 頁唐大源page216向量空間7. 證明對于任意正整數(shù)n和任意向量，都有 （提示）利用數(shù)學(xué)歸納法4.設(shè)v是一個向量空間，且v0.證明：v不可能表示成它的兩個真子空間的并集。證：設(shè) 1、2都是的真子集，且，則至少有一個的非零向量1且至少有一個的非零向量2 , (1)若2 則 因為1 12 命題得證(2) 若則 因為2 ，12命題得證(3)若2 ，而，在這種情況下，我們考慮向量以下證明，且()若，則有，因為是子空間，這與1矛盾，所以，()若，則有，因為是子空間，這與2矛盾所以，于是有，但12綜上表明5.設(shè)w，w1，w2都是向量空間v的子空間，其中w1w2，且ww1=ww2,w+

2、w1=w+w2.證明w1=w2。證：因為21 ，所以，（，）那么，又因為，故，所以，因而，即，又，故page2276.3 向量的線性相關(guān)性3.令證明線性相關(guān)必要且只要行列 證：線性相關(guān)有不全為零的數(shù)使齊次有非零解系數(shù)行列式5.設(shè)線性無關(guān).證明也線性無關(guān).證：令得齊次線性方程組 而它只有零解6.設(shè)向量組線性無關(guān).任取證明,向量組線性無關(guān).證：令把的表示代入上式，用的線性相關(guān)證明6.4 基和維數(shù)2求下列子空間的維數(shù)：(i) (ii) (iii) 提示：的維數(shù)為的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)()維數(shù)為2，因為，即它們線性相關(guān)，而其中任意兩個都線性無關(guān)()維數(shù)為2()維數(shù)為33把向量組擴充為的一個基 提示

3、：線性無關(guān)（不成比例）而，是的一個基，所以，可由，表示，而，線性無關(guān)，故，是的一個基4令是數(shù)域上一切數(shù)滿足條件的階矩陣所成的向量空間求的維數(shù)提示：因為是數(shù)域上一切滿足的解矩陣所稱的向量空間令表示第行第列交叉處是1 而其它元素全為零的解方陣，=， 的一組基為: ,;,;,; ,故5證明，復(fù)數(shù)域作為實數(shù)域上向量空間，維數(shù)是2如果看成它本身上的向量空間的話，維數(shù)是幾？提示：在實數(shù)域上線性無關(guān)，且中任意復(fù)數(shù)均可由它們線性表示，故作為上的向量空間，維數(shù)為2作為上的向量空間，維數(shù)為1（任一非零復(fù)數(shù)均為它的基）6.5坐標(biāo)設(shè)是的一個基求由這個基到的過渡矩陣結(jié)果： （提示：線性表示可得）2證明，是（數(shù)域上一切次

4、數(shù)的多項式及零）的一個基求下列多項式關(guān)于這個基的坐標(biāo)： (i) ; (ii) (iii) 4; (iv) .結(jié)果：(i) (0,0,1,2); (ii) (1,0,0,0); (iii) (4,-4,0,4); (iv) (0,0,1,1) (提示：利用公式（6）（取的基）即得由到的過渡矩陣)4設(shè)證明和都是的基，求前者到后者的過渡矩陣結(jié)果：提示：取的標(biāo)準(zhǔn)基，且求出，并都可逆，即證得，都是的基，從而有，即為由到的過渡矩陣5設(shè)是上維向量空間的一個基是上一個矩陣令.證明：秩a 證：設(shè) 秩，則存在上階可逆矩陣和，使（為單位矩陣），即線性無關(guān)于是有，從而與等價，故有=秩6.6向量空間2設(shè)是向量空間v到w

5、的一個同構(gòu)映射，是的一個子空間證明是的一個子空間證,而，是的一個非空子集設(shè)，所以存在，使得， ， 有 ， ，故是的子空間6.7矩陣的秩 齊次線性方程組的解空間1證明：行列式等于零的充分且必要條件是它的行（或列）線性相關(guān)證：設(shè)，秩行（列）空間的維數(shù)的行（列）線性相關(guān)2證明，秩秩秩 提示：，是的子空間，由維數(shù)公式知，+）=秩+秩，令=的行空間，=的行空間，比較維數(shù)，結(jié)論得證3設(shè)是一個行的矩陣，秩，從中任取出行，作一個行的矩陣證明，秩證明：（為的第行），據(jù)第2題，得，秩秩秩，即秩+秩，因秩+，所以秩秩5求齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系 解：對系數(shù)矩陣施行初等行變換后，得，基礎(chǔ)解系為， 6證明定理6.7

6、.3的逆命題：的任意一個子空間都是某一含個未知量的齊次線性方程組的解空間證明：設(shè)是的任一子空間，而且，令是的一個基，以為行構(gòu)成矩陣，經(jīng)初等行變換（必要時交換列）將化為，因此是的基礎(chǔ)解系，而正是 （）的基礎(chǔ)解系，所以（）的解空間為第七章 線性變換7.1線性映射2.設(shè)是數(shù)域上一個一維向量空間,證明到自身的一個映射是線性映射的充要條件是:對于任意,都有，這里是中一個定數(shù).證： 必要性：設(shè)是的一個基，由是到自身的線性映射，有設(shè)（是中的一個定數(shù)）所以，有，而（是中的任意數(shù)），則有=充分性是中的一個定數(shù)，都有唯一確定的中的向量，使得=及，=+ 是到自身的線性映像.令表示數(shù)域上四元列空間.取對于,令.求線性

7、映射的核和像的維數(shù).解：先求的維數(shù)，由核的定義，有即，因此，就是齊次線性方程組的解空間，由解空間的維數(shù)定理，得解空間的維數(shù)秩，再求的維數(shù)，取的標(biāo)準(zhǔn)基有: =(=, (是的第列)，故秩=27.2線性變換的運算3.設(shè)是數(shù)域上一個有限維向量空間.證明,對于的線性變換來說,下列三個條件是等價的:(i)是滿射;(ii);(iii)非奇異.當(dāng)不是有限維時,(i),(ii)是否等價?提示：參照7.1習(xí)題第6題中充分性的證明7.3線性變換和矩陣1.令表示一切次數(shù)不大于的多項式連同零多項式所成的向量空間，.求關(guān)于以下兩個基的矩陣:(1) ,(2) .解（1），關(guān)于基的矩陣為（它的階數(shù)為）（2）同理，關(guān)于基的矩陣為2.設(shè)上三維向量空間的線性變換關(guān)于基的矩陣是求關(guān)于基的矩陣.設(shè)求關(guān)于基的坐標(biāo).解：已知關(guān)于基的矩陣為，由基到基的過渡矩陣為，設(shè)關(guān)于基的矩陣為，則有，設(shè)關(guān)于的坐標(biāo)為，關(guān)于的坐標(biāo)為，則有，關(guān)于的坐標(biāo)為，所以，所以3.設(shè)是維向量空間的一個基并且線性無關(guān),又設(shè)是的一個線性變換,使得.求關(guān)于基的矩陣.解 ：由已知，有（a可逆）， =，