高中數(shù)學(xué)歸納推理賽課的反思建議與教學(xué)設(shè)計(jì)素材新人教A版選修2

1、 “歸納推理”賽課活動(dòng)的反思、建議與教學(xué)設(shè)計(jì)最近我們進(jìn)行了全市高中青年數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)，課題是“歸納推理”（蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)（選修1-2）第2.1.1節(jié)“合情推理”之第一節(jié)課時(shí)）。全市有11位青年數(shù)學(xué)教師參賽，11位教師基本素質(zhì)都很好，各參賽學(xué)校也下了較多的功夫，11節(jié)課也不乏亮點(diǎn)與創(chuàng)新，但從總體看，水平不高。一、主要存在問(wèn)題存在問(wèn)題主要源于學(xué)科素養(yǎng)與教學(xué)素養(yǎng)。具體地反映在以下幾個(gè)方面：1對(duì)教材（教學(xué)內(nèi)容）的理解不到位，把握不住教學(xué)重點(diǎn)。本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不乏認(rèn)知基礎(chǔ)，因?yàn)閺男W(xué)（甚至幼兒園）起，學(xué)生們就接觸過(guò)很多運(yùn)用歸納推理進(jìn)行探索的實(shí)例，本節(jié)課的核心就

2、是引導(dǎo)學(xué)生“從理性上認(rèn)識(shí)歸納推理”，具體地說(shuō)，說(shuō)是使學(xué)生了解歸納推理的含義（即什么是歸納推理）、歸納推理的思維過(guò)程（即初步了解怎樣進(jìn)行歸納推理，但不是具體的操作性的技能）、歸納推理的特點(diǎn)（即思維形式、結(jié)論的或然性及科學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中的創(chuàng)造性），其中最為重要的是歸納推理概念的形成過(guò)程。但是，大多數(shù)教師將其上成了“如何進(jìn)行歸納推理”的習(xí)題訓(xùn)練課，對(duì)歸納推理的概念的形成過(guò)程這一重點(diǎn)中的重點(diǎn)一帶而過(guò)，僅僅從幾個(gè)特例讓學(xué)生（甚至幾乎是告訴學(xué)生）說(shuō)出“是從特殊到一般的推理”就下定義了，因而，在概念出現(xiàn)之后再讓學(xué)生舉出歸納推理的例子時(shí)，出現(xiàn)根本不是歸納形式的情形就不足為怪了。2課堂教學(xué)的基本技能較差。比如，當(dāng)學(xué)

3、生舉出的例子并不是歸納推理形式時(shí)，處理不當(dāng)。有些只是讓其他學(xué)生說(shuō)出其不對(duì)就了事了，而對(duì)認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤的學(xué)生沒(méi)有任何幫助。其實(shí)，只要運(yùn)用“追問(wèn)”這樣一種教學(xué)策略就能夠促使認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤的學(xué)生理解歸納推理的實(shí)質(zhì)了：是嗎？它符合歸納推理的定義嗎？從而引導(dǎo)學(xué)生從推理的前提、結(jié)論及兩者之間的關(guān)系（前提的前件應(yīng)是結(jié)論的前件的特例，前提與結(jié)論的后件（即前件所具有的性質(zhì)）是一致的）分析其所提出的例子，促使其真正弄清什么是歸納推理。當(dāng)然，如果是在有了歸納推理的概念后再出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤，根源在于概念的形成過(guò)程的被掩蓋、歸納推理的形式與本質(zhì)沒(méi)有揭示。又如，還有的教師已經(jīng)形成了“說(shuō)”的慣性，從開(kāi)始到結(jié)束，教師的聲音不絕于耳。提出的

4、問(wèn)題不等學(xué)生思考，立即自問(wèn)自答；學(xué)生稍有停頓，教師立即提示（其實(shí)對(duì)有價(jià)值的問(wèn)題，思維是需要時(shí)間的）。通過(guò)提出有思維量的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考、探索是教學(xué)的最基礎(chǔ)的技能，在學(xué)生思維產(chǎn)生障礙時(shí)通過(guò)適當(dāng)?shù)姆绞教岢鰡l(fā)性幫助也是教學(xué)的基本技能。一個(gè)好的課堂應(yīng)該是大部分時(shí)間都是學(xué)生在靜靜的思考、低聲的討論，而不是教師的聲音占據(jù)了大部分空間。為了給學(xué)生以最大的思維空間與最充分的思維時(shí)間，恰當(dāng)?shù)恼n堂容量、精當(dāng)?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容就顯得非常重要了。本節(jié)課不應(yīng)將主要精力用于做一些較難的用歸納推理解決的題目（這不是本節(jié)課的重點(diǎn)），而是真正地把大量時(shí)間用于概念的形成過(guò)程與建構(gòu)過(guò)程，特別是概念的抽象與概括的過(guò)程。3突破教學(xué)難點(diǎn)

5、的能力不強(qiáng)。本課的教學(xué)難點(diǎn)是歸納推理概念的形成過(guò)程，大多數(shù)教師都知道讓學(xué)生從所舉出的實(shí)例讓學(xué)生抽象、概括歸納推理的含義（概念），但有的失于認(rèn)識(shí)粗淺：只是讓學(xué)生說(shuō)出，甚至教師將話說(shuō)到“一半”，借學(xué)生的嘴說(shuō)出自己要說(shuō)的話，即“從特殊到一般、從個(gè)別到全體”就結(jié)束了，做得更差的，事先就擔(dān)心學(xué)生說(shuō)不出他想說(shuō)的話，課前就讓學(xué)生先看教材，或教學(xué)過(guò)程中允許學(xué)生看教材，于是不需任何思維，學(xué)生就說(shuō)出了“絕對(duì)準(zhǔn)確”的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，而教師也非常高興地認(rèn)為學(xué)生是“自己”“建構(gòu)”了歸納推理的概念（當(dāng)然，這里存在另一個(gè)教學(xué)基本功的問(wèn)題：合理使用教材的基本功，也即什么內(nèi)容、怎樣的學(xué)生及什么時(shí)候應(yīng)該看教材，什么情況下不能看教材，以

6、避免掩蓋思維過(guò)程）；有的失之于無(wú)形成過(guò)程：直接告訴學(xué)生：這些例子的共同特點(diǎn)是前提是結(jié)論的特例，是特殊情形，而結(jié)果是一般性的情況。更深入一點(diǎn)的，教師告訴了學(xué)生前提與結(jié)論之間的關(guān)系，即前提的前件是結(jié)論的前件的特例，但是，從這些例子的共同特點(diǎn)進(jìn)行抽象、概括的過(guò)程沒(méi)有了，確切地說(shuō)，讓學(xué)生對(duì)此進(jìn)行抽象、概括的最重要的過(guò)程沒(méi)有了，概念的形成過(guò)程事實(shí)上被掩蓋了。于是，就出現(xiàn)了這樣的情況：舉例子花了大量時(shí)間，從例子出概念卻匆匆收?qǐng)觥?背景與例子的選擇不恰當(dāng)有些教師認(rèn)為背景越復(fù)雜、題目越難就越好，恰恰相反，在學(xué)習(xí)新的知識(shí)（特別是數(shù)學(xué)概念）時(shí)，我們需要的是最簡(jiǎn)單的例子，蘊(yùn)含最本質(zhì)的、核心的內(nèi)涵。如果在對(duì)背景的演示

7、、敘述和理解上花費(fèi)大量的時(shí)間，就是對(duì)教學(xué)資源（時(shí)間）的最大的浪費(fèi)，因?yàn)檫@會(huì)影響突出教學(xué)重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn)的課堂主題。尤其是例題與練習(xí)中的較難的歸納推理問(wèn)題更是違背了“理性認(rèn)識(shí)歸納推理”的教學(xué)重點(diǎn)。背景選擇的另一個(gè)誤區(qū)就是“做秀”，例如自我介紹還是自然點(diǎn)、大氣點(diǎn)；激發(fā)興趣還是要考慮數(shù)學(xué)本質(zhì)，考慮與教學(xué)內(nèi)容是否貼切，等等。5對(duì)新理念有誤解。有些教師以為賽課就要體現(xiàn)新課程理念，而體現(xiàn)新課程理念就必須讓學(xué)生“活動(dòng)”，就要“實(shí)驗(yàn)”、就要“討論”。事實(shí)上，數(shù)學(xué)課的主要“活動(dòng)”是思維活動(dòng)，其他的一切活動(dòng)都是為激發(fā)學(xué)生的有價(jià)值的思維活動(dòng)服務(wù)的。當(dāng)然，如果有助于圍繞教學(xué)的主要目標(biāo)，有效地促進(jìn)學(xué)生的思維活動(dòng)，那么

8、這些實(shí)驗(yàn)與活動(dòng)就是可取的，否則，就必須放棄；有些教師經(jīng)常施以廉價(jià)的表?yè)P(yáng)，有的學(xué)生明顯是讀的教材中的語(yǔ)言，并沒(méi)有任何獨(dú)立思維的成份，可教師卻故作驚訝地感慨：你的發(fā)現(xiàn)真了不起！甚至讓其他學(xué)生為其鼓掌（這是幼兒園與小學(xué)教師偶而可為的做法，無(wú)論從心理學(xué)還是社會(huì)學(xué)角度看，對(duì)高中學(xué)生都是不適宜的），這種做法并沒(méi)有任何正面價(jià)值，而負(fù)面影響卻是巨大的；還有的教師認(rèn)為新課程理念要求以學(xué)生為主體，讓學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)（這當(dāng)然是對(duì)的），于是所有結(jié)論都想從學(xué)生口里說(shuō)出來(lái)，不論學(xué)生是否已有充分的理性認(rèn)識(shí)，也不管學(xué)生是否有能力說(shuō)出教材中的“精煉”的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，也要“逼”著學(xué)生說(shuō)。有時(shí)教師一個(gè)字、一個(gè)字地吐，希望學(xué)生能在“

9、啟發(fā)”下接出下面的“字”，看著真讓人難受！總體感受：有的課花架子嫌多，數(shù)學(xué)本質(zhì)揭示不夠，而本節(jié)課需要的恰恰是“理性”認(rèn)識(shí)歸納推理，而不是那些活動(dòng)與實(shí)驗(yàn)，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)歸納推理的感性認(rèn)識(shí)并不欠缺。當(dāng)然，還有一些看似細(xì)節(jié)上的“小”問(wèn)題，也同樣反映出一些教師的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)上的差距。如有的教師在用歸納推理時(shí)隨意使用“推出”符號(hào)“®”，這是不對(duì)的，因?yàn)闅w納推理是或然推理，而符號(hào)“®”在數(shù)理邏輯中是“蘊(yùn)含”的意思，其前、后件之間的關(guān)系恰好與歸納推理的方向是相反的。教材中寫得很明確：猜想。又如，個(gè)別教師對(duì)“瑞雪兆豐年”、“螞蟻搬家，天將雨”等諺語(yǔ)的介紹講得不夠清楚。這些諺語(yǔ)本身并不是歸納推理

10、，其發(fā)現(xiàn)的過(guò)程才是歸納推理，對(duì)此應(yīng)作特別的強(qiáng)調(diào)。二、教學(xué)建議1把握教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在邏輯關(guān)系，設(shè)計(jì)有層次的教學(xué)過(guò)程本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是層次分明的，這從教材中完全可以看出（大多數(shù)教師按教材順序教，但對(duì)其內(nèi)容關(guān)系并沒(méi)有理解，因而教學(xué)過(guò)程中也就沒(méi)有得到揭示）：粗一點(diǎn)分，層次為：什么叫推理?®怎樣推理?®什么叫歸納推理?®歸納推理的特點(diǎn)；分得細(xì)一點(diǎn)，層次為：現(xiàn)實(shí)生活與理論研究中都存在大量需要進(jìn)行推理問(wèn)題®什么是推理？®怎樣進(jìn)行推理？®介紹一種常用推理方法(歸納推理)®什么是歸納推理？®怎樣進(jìn)行歸納推理？（歸納推理的思維過(guò)程）&#

11、174;歸納推理的可靠性？®不可靠為什么還要學(xué)習(xí)？®歸納推理的創(chuàng)造性。事實(shí)上，也就是要設(shè)計(jì)本節(jié)課引發(fā)學(xué)生探究性思維活動(dòng)的“問(wèn)題鏈”：什么是推理？什么是歸納推理？怎樣進(jìn)行歸納推理？歸納推理的可靠性？為什么不可靠還要研究？這個(gè)問(wèn)題鏈正好突出了本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：歸納推理的概念、歸納推理的思維過(guò)程及歸納推理的特點(diǎn)。2突出概念形成過(guò)程的教學(xué)，讓學(xué)生真正參與知識(shí)的建構(gòu)第一步，由教師舉例，讓學(xué)生初步感知?dú)w納推理的過(guò)程、結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)；再讓學(xué)生舉出符合這種過(guò)程與結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的推理的例子，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)識(shí)的層次（如果學(xué)生舉出的例子不恰當(dāng)，就讓其與教師已經(jīng)舉出的例子從過(guò)程和結(jié)構(gòu)上進(jìn)行比較）；從已

12、有的歸納推理的例子中選擇部分，按規(guī)范的格式統(tǒng)一書(shū)寫并一起呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生歸納其共同特點(diǎn)。這一步要突出抽象與概括的思維過(guò)程：一是將每個(gè)例子的各個(gè)前提的前件分別進(jìn)行抽象（分別是s1、s2、），然后對(duì)每個(gè)例子的各個(gè)前提的后件進(jìn)行抽象（都具有性質(zhì)p），再對(duì)每個(gè)例子的結(jié)論的前件與各個(gè)前提的前件之間的關(guān)系進(jìn)行比較（后者是前者的特例），最后總結(jié)出下面的歸納推理的一般思維模式：前提：s1具有（或不具有）性質(zhì)p；s2具有（或不具有）性質(zhì)p；sn具有（或不具有）性質(zhì)p。s1、s2、sn都是s類事物的對(duì)象。結(jié)論：s類事物都具有（或不具有）性質(zhì)p。 張乃達(dá)：數(shù)學(xué)思維教育學(xué) p39.到這里，從“特殊到一般”的概念化的結(jié)

13、論才可能得到具體的建構(gòu)。同時(shí)，這樣的建構(gòu)過(guò)程對(duì)提高學(xué)生的抽象概括能力、建立數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的能力也是非常有益的。3突出學(xué)生主體原則，給學(xué)生以更多的創(chuàng)造空間對(duì)于書(shū)中的例題：<，<，<，可以猜想出什么結(jié)論，如果給學(xué)生以足夠的思維時(shí)間，可以得到較多的結(jié)果。從這次所聽(tīng)的課看，至少看到了下面的三種猜想：<(nÎn*)；<（nÎn*，a>0)；<(a>0,b>0,m>0)，(當(dāng)然所得結(jié)論不一定正確,但它們都有符合歸納推理的形式)這樣的探索過(guò)程不僅是對(duì)思維能力的有效訓(xùn)練，同時(shí)對(duì)學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)歸納推理的抽象度（及一般化的程度）及其價(jià)值也是很

14、有用的。 再比如，對(duì)哥德巴赫猜想，一下子就想到“質(zhì)數(shù)和”其實(shí)是不容易的，學(xué)生可能先想到“奇數(shù)和”等等，而這些教師所“不期望的”猜想同樣也有教學(xué)價(jià)值，如對(duì)可靠性的認(rèn)識(shí)及如何確定猜想的正確性、證明與否定等都是很好的說(shuō)明。4要說(shuō)明歸納推理的動(dòng)因，讓學(xué)生了解科學(xué)發(fā)現(xiàn)的真正動(dòng)力有些教師在教學(xué)中過(guò)分夸大歸納推理的作用，這說(shuō)明這些教師對(duì)歸納推理的真實(shí)思維過(guò)程并不了解。事實(shí)上，在歸納之前的思維過(guò)程對(duì)創(chuàng)造性工作才更有價(jià)值：是什么引起人們進(jìn)行這樣的歸納推理的？也即歸納推理的動(dòng)因。一般地，一個(gè)思維產(chǎn)生的根本動(dòng)因在于“問(wèn)題”，而問(wèn)題的產(chǎn)生既可以是實(shí)踐的需要，也可以是理論研究中提出的新課題，還可以由研究者的觀念系統(tǒng)、研

15、究習(xí)慣不自主地產(chǎn)生。比如哥德巴赫猜想，由于哥德巴赫是研究數(shù)論的專家，而數(shù)論主要是研究整數(shù)的性質(zhì)的，其中一個(gè)重要的研究對(duì)象就是質(zhì)數(shù)（比如費(fèi)瑪研究質(zhì)數(shù)表示法），于是，哥德巴赫對(duì)整數(shù)進(jìn)行質(zhì)數(shù)分解就是較為自然的事了。教學(xué)過(guò)程中，可以簡(jiǎn)要說(shuō)明哥德巴赫是研究數(shù)論的專家，數(shù)論是主要研究整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支，其中從質(zhì)數(shù)的角度研究整數(shù)是一個(gè)研究方向，接著再說(shuō)哥德巴赫對(duì)哥德巴赫猜想的研究，或者在最后對(duì)這個(gè)背景加以說(shuō)明。觀念決定觀察（當(dāng)然觀察也可以發(fā)展觀念），決沒(méi)有無(wú)任何動(dòng)機(jī)的觀察。三、一個(gè)設(shè)計(jì)下面是筆者的一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)（參考了一些選手的思想，在此表示感謝），供參考，歡迎指教。首先說(shuō)明推理在日常生活及科學(xué)研究中都是非常

16、重要的，如 （一）情境1：下面是某地公安部門偵破某個(gè)案件時(shí)的推理片斷：案犯年青力壯，身材高大Þ 被害人年輕力壯Þ案犯是個(gè)青年人開(kāi)門入戶時(shí)從窗戶伸進(jìn)手打開(kāi)大門，窗戶距門距離較遠(yuǎn)Þ案犯身高臂長(zhǎng) 情境2：數(shù)學(xué)中的一個(gè)推理：Þ Ð1=Ð2 兩直線相交，對(duì)頂角相等 Ð1與Ð2是對(duì)頂角 問(wèn)題1：什么叫推理？學(xué)生思考片刻后由教師從這兩個(gè)推理案例說(shuō)明推理的含義。問(wèn)題2：怎樣進(jìn)行推理呢？教師說(shuō)明：今天我們就來(lái)研究推理的一種常用方法，這就是歸納推理。問(wèn)題3：那么怎樣的推理是歸納推理呢？先看下面的幾個(gè)推理案例：（二）情境3：蛇是用肺呼吸

17、的； 鱷魚(yú)是用肺呼吸的； 海龜是用肺呼吸的； 蜥蜴是用肺呼吸的； 蛇、鱷魚(yú)、海龜、蜥蜴都是爬行動(dòng)物。由此我們猜想：所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的。情境4：三角形的內(nèi)角和是180o； 凸四邊形的內(nèi)角和是2×180o；凸五邊形的內(nèi)角和是3×180o；三角形、凸四邊形、凸五邊形都是凸多邊形。由此我們猜想：凸n邊形的內(nèi)角和是（n-2）×180o。 情境5：當(dāng)n=1時(shí)，n2-n+11=11，是質(zhì)數(shù)； 當(dāng)n=2時(shí)，n2-n+11=13，是質(zhì)數(shù); 當(dāng)n=3時(shí)，n2-n+11=17，是質(zhì)數(shù); 當(dāng)n=4時(shí)，n2-n+11=23，是質(zhì)數(shù)； 1，2，3，4都是正整數(shù)。由此我們猜想：當(dāng)n取

18、任意正整數(shù)時(shí)，n2-n+11是質(zhì)數(shù)。（三）數(shù)學(xué)建構(gòu)最后，師生一起將上述推理進(jìn)行“符號(hào)化”，即將具體的、不同的對(duì)象進(jìn)行抽象、概括，統(tǒng)一用字母表示：如將蛇、三角形、n=1均用s1表示，鱷魚(yú)、凸四邊形、n=2均用s2表示，海龜、凸五邊形、n=3均用s3表示，；爬行動(dòng)物、凸多邊形、正整數(shù)均稱為s類事物，從而s1、s2、s3均為s類事物中的對(duì)象；將“用肺呼吸”、“內(nèi)角和為邊數(shù)-2個(gè)180o”、“n2-n+11是質(zhì)數(shù)”均稱為性質(zhì)p，于是就得到了歸納推理的一般結(jié)構(gòu)形式（見(jiàn)前）。 在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生分析這種推理形式的特點(diǎn)，感受“特殊與一般”的特點(diǎn)：條件（即推理前提）中的前件均為結(jié)論中前件的特例，于是結(jié)論是條件一般形式。（四）初步運(yùn)用1請(qǐng)同學(xué)們也舉出具有上述結(jié)構(gòu)特征的推理的例子。留下充分的時(shí)間讓學(xué)生思考、研究、討論，在此基礎(chǔ)上匯報(bào)自己想到的例子，并將其與上面兩個(gè)例子進(jìn)行比對(duì)，以判斷是否符合結(jié)構(gòu)特征的要求。2正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1=1，an+12=an2+1(n為正整數(shù))，試歸納出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。3已知下列不等式：<，<，<，試歸納出一般性的結(jié)論。（對(duì)上述問(wèn)題，讓學(xué)生充分思考，并引導(dǎo)其對(duì)猜想的結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合歸納推理的形式。檢驗(yàn)方法就是將一般性結(jié)論特殊化后可以得到已知的各個(gè)特例。）在此基礎(chǔ)上提出問(wèn)題4：上述的歸納推理是