特征值與特征向量計(jì)算第六章課堂課資

1、北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院 衛(wèi)宏儒衛(wèi)宏儒科學(xué)與工程計(jì)算科學(xué)與工程計(jì)算矩陣特征值矩陣特征值與特征向量的計(jì)算主要內(nèi)容與特征向量的計(jì)算主要內(nèi)容一、冪法一、冪法二、反冪法二、反冪法三、冪法、反冪法小結(jié)三、冪法、反冪法小結(jié)四、四、qrqr算法算法五、五、jacobijacobi方法方法問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}的提出： 工程技術(shù)的許多實(shí)際問(wèn)題，例如振動(dòng)問(wèn)題，穩(wěn)定問(wèn)題的求工程技術(shù)的許多實(shí)際問(wèn)題，例如振動(dòng)問(wèn)題，穩(wěn)定問(wèn)題的求解，有時(shí)會(huì)歸結(jié)成求矩陣的特征值解，有時(shí)會(huì)歸結(jié)成求矩陣的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量和對(duì)應(yīng)的特征向量。學(xué)。學(xué)過(guò)線性代數(shù)后，我們已知求矩陣過(guò)線性代數(shù)后，我們已知求矩陣a a的特征值的特征值和特征

2、向量和特征向量的的解法，即先求出解法，即先求出a a的特征多項(xiàng)式：的特征多項(xiàng)式： nnnnnnaaaaaaaaaiaxf212222111211det 令令0 0。 通過(guò)求解上述高次多項(xiàng)式方程，所得根通過(guò)求解上述高次多項(xiàng)式方程，所得根即為矩陣即為矩陣a a的特征值，然后求解方程組的特征值，然后求解方程組0 0，就可得，就可得出特征值出特征值對(duì)應(yīng)的特征向量對(duì)應(yīng)的特征向量x x。 但眾所周知，高次多項(xiàng)式求根是相當(dāng)困難的，而且重根但眾所周知，高次多項(xiàng)式求根是相當(dāng)困難的，而且重根的計(jì)算精度較低。同時(shí)，矩陣的計(jì)算精度較低。同時(shí)，矩陣a a求特征多項(xiàng)式系數(shù)的過(guò)程對(duì)舍求特征多項(xiàng)式系數(shù)的過(guò)程對(duì)舍入誤差十分敏感

3、，這對(duì)最后計(jì)算結(jié)果影響很大。因此，從數(shù)入誤差十分敏感，這對(duì)最后計(jì)算結(jié)果影響很大。因此，從數(shù)值計(jì)算角度來(lái)看，上述方法缺乏實(shí)用價(jià)值。值計(jì)算角度來(lái)看，上述方法缺乏實(shí)用價(jià)值。 目前，求矩陣特征值問(wèn)題實(shí)際采用的是迭代法和變換法。目前，求矩陣特征值問(wèn)題實(shí)際采用的是迭代法和變換法。這里將介紹通過(guò)求矩陣特征向量求出特征值的一種迭代法這里將介紹通過(guò)求矩陣特征向量求出特征值的一種迭代法- -冪法，而后再介紹一些反冪法的內(nèi)容。冪法，而后再介紹一些反冪法的內(nèi)容。一、冪法 定理：設(shè)矩陣定理：設(shè)矩陣a的特征值為的特征值為并設(shè)并設(shè)a有完全的特征向量系有完全的特征向量系 (它們線性無(wú)關(guān)它們線性無(wú)關(guān))，則對(duì)任意一個(gè)非零向量則對(duì)

4、任意一個(gè)非零向量v0 rn 所構(gòu)造的向量序列所構(gòu)造的向量序列有有其中表示向量的第其中表示向量的第j個(gè)分量個(gè)分量.11)()(limjkjkkvvn21n,211kkavvp129p129：定理：定理6-26-2；歸一化冪；歸一化冪法是定理法是定理6-36-3。證明：證明： 僅就為實(shí)數(shù)的情況來(lái)證明僅就為實(shí)數(shù)的情況來(lái)證明.假定假定 于是于是,由矩陣特征值定義知由矩陣特征值定義知 ,得得)0(122110nnviiinnaaaavv221101nnn222111nnnvaavv2222212110212nknnkkkkkvaavv22211101.)(12111ikiniik同理可得：同理可得：)(

5、11211111ikiniikkv假定假定 ,因?yàn)橐驗(yàn)?,故得故得0)(1j),3,2(11nii111211211111)()()()(lim)()(limjikiniijjinikiijkjkjkkvv 從上述證明過(guò)程可得出計(jì)算矩陣從上述證明過(guò)程可得出計(jì)算矩陣a的按模最大特征值的方的按模最大特征值的方法法,具體步驟如下：具體步驟如下：(1)任取一非零向量任取一非零向量v0 rn,一般可取一般可取v0=(1,1,.,1)t (2)計(jì)算計(jì)算vk=avk-1(3)當(dāng)當(dāng)k足夠大時(shí)足夠大時(shí),即可得到：即可得到：jkjkvv)()(11 若按上述計(jì)算過(guò)程，有一嚴(yán)重缺點(diǎn)，當(dāng)若按上述計(jì)算過(guò)程，有一嚴(yán)重缺點(diǎn)

6、，當(dāng)| 1|1 （或（或| 1 |1時(shí)）時(shí)）vk中不為零的分量將隨中不為零的分量將隨k的增大而無(wú)限增大，計(jì)的增大而無(wú)限增大，計(jì)算機(jī)就可能出現(xiàn)上溢（或隨算機(jī)就可能出現(xiàn)上溢（或隨k的增大而很快出現(xiàn)下溢），的增大而很快出現(xiàn)下溢），因此，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，須按規(guī)范法計(jì)算，每步先對(duì)向量因此，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，須按規(guī)范法計(jì)算，每步先對(duì)向量vk進(jìn)行進(jìn)行“規(guī)范化規(guī)范化”,即取即取vk中絕對(duì)值最大的一個(gè)分量記作中絕對(duì)值最大的一個(gè)分量記作mk =max(vk )，用，用mk遍除的所有向量遍除的所有向量vk ，得到規(guī)范化向，得到規(guī)范化向量。量。 為說(shuō)明上述算法的正確性，我們證明下述定理為說(shuō)明上述算法的正確性，我們證明下述定

7、理定理二：在定理一的條件下定理二：在定理一的條件下,規(guī)范化向量序列規(guī)范化向量序列uk收斂于收斂于矩陣矩陣a按模最大的特征值按模最大的特征值 1對(duì)應(yīng)的特征向量對(duì)應(yīng)的特征向量,而向量序列而向量序列vk的絕對(duì)值最大的分量的絕對(duì)值最大的分量mk收斂于收斂于 1,即即)max(lim11kku1limkkm證證:)max()max(,00111001avavvvuavauv)max(0101vavaauvkkkk)max(00vavamvukkkkk)(max)(1211112111ikiniikiiniik)(max)(12111211ikiniiikinii)max(lim11kku)(max)(m

8、ax)max(11211112111ikiniikiiniikkkvm)(max)(max1121112111ikiniiiinii1limkkm例：例： 用冪法求矩陣用冪法求矩陣90688465441356133a按模最大特征值按模最大特征值 1和對(duì)應(yīng)的特征向量和對(duì)應(yīng)的特征向量x1解解:取初始向量取初始向量v0= u0=(1,1,1)t ，計(jì)算出，計(jì)算出vk,uk和和mk,迭代迭代7次的結(jié)果列于下表次的結(jié)果列于下表kkvku012345671 1 1274 95 -18444.43277 14.84322 -29.6426244.92333 14.97623 -29.9504844.9957

9、2 14.99865 -29.9972244.99959 14.99988 -29.9997444.99953 14.99983 -29.9996844.99953 14.99983 -29.999681 1 11 0.34672 -0.671531 0.33413 -0.667271 0.33337 -0.666701 0.33334 -0.666671 0.33333 -0.666671 0.33333 -0.666671 0.33333 -0.6666799953.44,99953.44,99959.4499572.44,92333.44,42377.44765432mmmmmm 由上可

10、見(jiàn)經(jīng)過(guò)由上可見(jiàn)經(jīng)過(guò)7次迭代次迭代, m7的值已穩(wěn)定到小數(shù)后的值已穩(wěn)定到小數(shù)后5位，位，故所求的按模最大特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量可取作：故所求的按模最大特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量可取作：tx)6667.0,333.0 , 1(,9995.44111 1、歸一化例題、歸一化例題6-26-22 2、冪法的加速：原點(diǎn)平移法；、冪法的加速：原點(diǎn)平移法；aitkenaitken加速法；加速法；rayleighrayleigh商加速法商加速法注：注：二、反冪法：二、反冪法： 基本思路：設(shè)基本思路：設(shè)a沒(méi)有零特征值，則沒(méi)有零特征值，則a非奇異，即非奇異，即a的逆矩的逆矩陣存在，設(shè)的特征值為陣存在，設(shè)的特征值為其對(duì)應(yīng)

11、的特征向量為其對(duì)應(yīng)的特征向量為因?yàn)橐驗(yàn)?a xk = k xk 所以所以 a-1 xk = k-1 xk 故故k-1就是矩陣就是矩陣a-1的特征值，它們滿(mǎn)足的特征值，它們滿(mǎn)足021n123,nx xxx11111nn 對(duì)應(yīng)的特征向量仍為對(duì)應(yīng)的特征向量仍為x xk k 。因此，求矩陣。因此，求矩陣a a的按模最小特征的按模最小特征值，就相當(dāng)于求其逆陣值，就相當(dāng)于求其逆陣a a-1-1的按模最大特征值的按模最大特征值 n n-1-1 ，這只需應(yīng)用，這只需應(yīng)用冪法即可求得。冪法即可求得。注意點(diǎn)：注意點(diǎn)： 由于求逆非常費(fèi)時(shí)。故在用迭代向量由于求逆非常費(fèi)時(shí)。故在用迭代向量由由u uk-1k-1求求v v

12、k k時(shí)，可采用解方程組時(shí)，可采用解方程組的辦法。由于每次解方程組的系數(shù)矩陣都相同，故的辦法。由于每次解方程組的系數(shù)矩陣都相同，故計(jì)算并不復(fù)雜。如果預(yù)先將作三角分解，這樣使每計(jì)算并不復(fù)雜。如果預(yù)先將作三角分解，這樣使每次迭代僅僅求解兩個(gè)三角方程組就更省時(shí)了。特別次迭代僅僅求解兩個(gè)三角方程組就更省時(shí)了。特別當(dāng)當(dāng)n n較大時(shí)，將大大地節(jié)省計(jì)算量。較大時(shí)，將大大地節(jié)省計(jì)算量。三、冪法小結(jié)：三、冪法小結(jié)： 冪法適用范圍為求矩陣的按模最大特征值及相冪法適用范圍為求矩陣的按模最大特征值及相應(yīng)的特征向量，其優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，容易編寫(xiě)程序應(yīng)的特征向量，其優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，容易編寫(xiě)程序在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，缺點(diǎn)是收斂速度

13、慢，其有效性依在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，缺點(diǎn)是收斂速度慢，其有效性依賴(lài)于矩陣特征值的分布情況。反冪法的適用范圍是賴(lài)于矩陣特征值的分布情況。反冪法的適用范圍是求矩陣的按模最小特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。求矩陣的按模最小特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。11kkuav1kkuav四、算法四、算法 1、householder矩陣矩陣 p136p136定義定義6-16-1，定理，定理6-46-4p137p137定理定理6-56-5、矩陣的分解、矩陣的分解110210033 17171221142232 21 03317173 171721 2412120317171717 12q=hh可驗(yàn)證可驗(yàn)證:qr = a. 定理定理6.76.7、求矩陣全部特征值的算法、求矩陣全部特征值的算法五、五、jacobijacobi方法方法