掌握空間向量神器決戰(zhàn)高考立體難題

1、掌握空間向量神器 決戰(zhàn)高考立體難題例析空間向量在立體幾何中的應(yīng)用安徽合肥市巢湖柘皋中學(xué) 孫平（特級教師 郵編238062） 空間向量是高考考查的重要內(nèi)容之一，是處理空間線線、線面、面面位置關(guān)系和夾角、距離的重要工具，掌握空間向量神器，決戰(zhàn)高考立體難題：思路簡單，模式固定，避免了作輔助線的難度，下面例析空間向量在立體幾何中的重要考點(diǎn)和解題方法.1.利用空間向量求空間角和距離（一)兩條異面直線所成角的求法設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量為，其夾角為，則cos |cos |(其中為異面直線a，b所成的角)（二）直線和平面所成的角的求法 如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線l與平面所成的

2、角為，兩向量與的夾角為，則有sin |cos |.（三）求二面角的大小（1）如圖，ab、cd是二面角l的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，（2）如圖，分別是二面角l的兩個(gè)半平面，的法向量，則二面角的大小，(或,)（四）利用向量法求點(diǎn)到平面的距離如圖，設(shè)ab為平面的一條斜線段，為平面的法向量， 則點(diǎn)b到平面的距離d（可理解為和平面單位法向量的數(shù)量積的絕對值）例1. 2013·新課標(biāo)全國卷 如圖所示，三棱柱abca1b1c1中，cacb，abaa1，baa160°.(1)證明：aba1c；(2)若平面abc平面aa1b1b，abcb，求直線a1c與平面bb1c1c所成角

3、的正弦值解：(1)證明：取ab的中點(diǎn)o，聯(lián)結(jié)oc，oa1，a1b.因?yàn)閏acb，所以ocab.由于abaa1，baa160°，故aa1b為等邊三角形，所以oa1ab.因?yàn)閛coa1o，所以ab平面oa1c.又a1c在平面oa1c內(nèi)， 故aba1c.(2)由(1)知ocab，oa1ab.又平面abc平面aa1b1b，交線為ab，所以oc平面aa1b1b，故oa，oa1，oc兩兩相互垂直以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系oxyz.由題設(shè)知a(1，0，0)，a1(0，0)，c(0，0，)，b(1，0，0)則(1，0，)，(1，0)，(0，)設(shè)n(

4、x，y，z)是平面bb1c1c的法向量，則即 可取n(，1，1) 故cos n，.所以a1c與平面bb1c1c所成角的正弦值為.例2. 2011·四川卷 如圖，在直三棱柱abca1b1c1中，bac90°，abacaa11，d是棱cc1上的一點(diǎn)，p是ad的延長線與a1c1的延長線的交點(diǎn)，且pb1平面bda1.(1)求證：cdc1d； (2)求二面角aa1db的平面角的余弦值；(3)求點(diǎn)c到平面b1dp的距離解： 如圖，以a1為原點(diǎn)，a1b1，a1c1，a1a所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系a1xyz，則a1(0,0,0)，b1(1,0,0)，c1(0,1,0

5、)，b(1,0,1)(1)設(shè)c1dx，acpc1，.由此可得d(0,1，x)，p，(1,0,1)，(0,1，x)，.設(shè)平面ba1d的一個(gè)法向量為n1(a，b，c)，則令c1，則n1(1，x，1)pb1平面ba1d，n1·1×(1)x·(1)×00.由此可得x，故cdc1d.(2)由(1)知，平面ba1d的一個(gè)法向量n1.又n2(1,0,0)為平面aa1d的一個(gè)法向量cosn1，n2.故二面角aa1db的平面角的余弦值為.(3)(1，2,0)，設(shè)平面b1dp的一個(gè)法向量n3(a1，b1，c1)，則令c11，可得n3.又，c到平面b1dp的距離d.2用向量法

6、證明空間平行或垂直（一）向量法證明空間平行的方法線線平行：只要證明兩直線的方向向量共線線面平行：只要證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；或證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行面面平行：只要證明兩平面的法向量為共線向量；或轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題例3.在長方體abcda1b1c1d1中，aa12ab2bc，e、f、e1分別是棱aa1，bb1，a1b1的中點(diǎn) 求證：ce平面c1e1f；解：以d為原點(diǎn)，da，dc，dd1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)bc1，則c(0,1,0)，e(1,0,1)，c1(0,1,2)，f(1,1,1)，e1.（1）設(shè)平面c1e1

7、f的法向量n(x，y，z) ，(1,0,1)，即取n(1,2,1)(1，1,1)，n·1210，n.ce平面c1e1f.（二）向量法證明空間垂直的方法線線垂直：只要證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直：只要證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示面面垂直：只要證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎纠?.如圖，已知ab平面acd，de平面acd，acd為等邊三角形，adde2ab，f為cd的中點(diǎn)（1）求證：af平面bce；（2）求證：平面bce平面cde.解：設(shè)adde2ab2a，建立如圖所示的坐標(biāo)系axyz，

8、則a(0,0,0)，c(2a,0,0)，b(0,0，a)，d(a，a,0)，e(a，a,2a)f為cd的中點(diǎn)， f（，0）.（1）證明：（，0），(a，a，a)，(2a，0，a)，()，af在平面bce內(nèi)，af平面bce.（2）證明：（，0）(a，a,0)，(0,0，2a)，·0，·0， ，.又cdded， 平面cde， 即af平面cde.又af平面bce， 平面bcd平面cde.3.學(xué)生鞏固練習(xí)1 如圖在圓錐po中，已知po，o的直徑ab2，c是的中點(diǎn)，d為ac的中點(diǎn)(1)證明：平面pod平面pac；(2)求二面角bpac的余弦值參考解法：(1)如圖所示，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，

9、ob，oc，op所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系則o(0,0,0)，a(1,0,0)，b(1,0,0)，c(0,1,0)，p(0,0，)，d.設(shè)n1(x1，y1，z1)是平面pod的一個(gè)法向量，則由n1·0，n1·0，得所以z10，x1y1.取y11，得n1(1,1,0)設(shè)n2(x2，y2，z2)是平面pac的一個(gè)法向量，則由n2·0，n2·0，得所以x2z2，y2z2，取z21，得n2(，1)因?yàn)閚1·n2(1,1,0)·(，1)0，所以n1n2.從而平面pod平面pac.(2)因?yàn)閥軸平面pab，所以平面pab的一

10、個(gè)法向量為n3(0,1,0)由(1)知，平面pac的一個(gè)法向量為n2(，1)設(shè)向量n2和n3的夾角為，則cos.由圖可知，二面角bpac的平面角與相等，所以二面角bpac的余弦值為.22011·全國卷 如圖四棱錐sabcd中，abcd，bccd，側(cè)面sab為等邊三角形abbc2，cdsd1.(1)證明：sd平面sab；(2)求ab與平面sbc所成的角的大小參考解法：以c為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線cd為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系cxyz.設(shè)d(1,0,0)， 則a(2,2,0)，b(0,2,0) 又設(shè)s(x，y，z)， 則x>0，y>0，z>0.(1)(x2，y2，z)，(x，y2，z)，(x1，y，z)，由|得，故x1，由|1得y2z21，又由|2得x2(y2)2z24，即y2z24y10，故y，z.于是s，·0，·0. 故dsas，dsbs，又asbss，所以sd平面sab.(2)設(shè)平面sbc的法向量a(m，n，p)，則a，a，a·0，a·0.又，(0,2,0)，故 取p2得a(，0,2)又(2,0,0)，所以cos，a. 故ab與平面sbc所成的角為arcsin.孫平：中學(xué)高級教師。安徽省中學(xué)數(shù)學(xué)特級教師，合肥市第二屆中小學(xué)學(xué)科帶頭人，巢湖市第