第四章重復博弈a.doc

1、第四章_重復博弈a第四章 重復博弈本章主要內(nèi)容： 1 重復博弈的概念； 2 作為一種特殊的動態(tài)博弈，有限次和無限次重復 博弈的子博弈完美納什均衡的求解方法； 3 無限次重復博弈古諾模型和效率工資模型。本章主要結論（民間定理）： 由于參與者在重復博弈中具有了長期利益，可以通過在后面階段中采取的報復策略使得威脅變得可信，從而擺脫靜態(tài)博弈中“追求自身利益最大化”導致的囚徒困境，實現(xiàn)長期合作的結局。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授第一節(jié) 幾個概念重復博弈的概念有限次重復博弈的概念經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.1.1 重復博弈的概念 1 由簡單的靜態(tài)博弈（或動態(tài)博弈）的有限次（或無限次）重復進行構成的。 2 每一

2、階段博弈方、策略集合、規(guī)則和得益都相 同。 3 包括：有限次重復博弈和無限次重復博弈 4 例子： 多場決勝負的體育比賽（有限次） 兩寡頭市場上兩個廠商之間的競爭（無限次） 商場與顧客交易經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.1.2 有限次重復博弈的概念 定義：給定一個博弈g，重復進行t次g，并且在每次重復之前各博弈方都能觀察到以前博弈的結果，稱為g的一個“t次重復博弈”，記為g(t)。其中，g成為g(t)的原博弈。每次重復稱為g(t)的一個階段。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.1.2 有限次重復博弈的概念 幾個概念：1 子博弈：從某一階段（不包括第一階段）開始，包含以后所有階段的原重復博弈的一部分。2 策略

3、：博弈方在每個階段針對每種情況如何行動的計劃（注：在每一階段之前，博弈方是可以觀察到以前博弈的結果的）。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.1.2 有限次重復博弈的概念3 路徑： 是每個階段博弈結果（原博弈的一個策略組合）連接而成。對于具有n個策略組合的原博弈，重復t次的路徑數(shù)為nt，重復博弈的求解即找出具有穩(wěn)定性的均衡路徑。4 得益：不同于一般的動態(tài)博弈，重復博弈的得益為各個階段得益的加總?？紤]到時間的價值，需要引進“貼現(xiàn)系數(shù)”將未來的得益折算成當期得益的價值。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授第二節(jié) 有限次重復博弈有限次重復的猜硬幣博弈原博弈為零和博弈有限次重復的囚徒困境博弈原博弈有唯一的純策略納什均衡有多

4、個納什均衡的重復博弈的策略設計觸發(fā)策略有多個納什均衡重復博弈的得益范圍民間定理經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.1 有限次重復的猜硬幣博弈 在零和博弈中，雙方不存在合作的可能性，因此在長期進行的重復博弈中，子博弈完美納什均衡由各個階段原博弈的納什均衡構成（例，在猜硬幣博弈中以0.5的概率選擇正面或者反面，即采取混合策略）。 實際上，所有以零和博弈為原博弈所構成的重復博弈與猜硬幣博弈構成的重復博弈一樣，各博弈方的正確策略就是在每次重復中都采用一次性博弈中的納什均衡策略。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.2 有限次重復的囚徒困境博弈 圖41 囚徒困境求解思路：對于有限次重復囚徒困境博弈，根據(jù)動態(tài)博弈的

5、逆推歸納法可以求解。1，18， 0 0， 85，5坦白不坦白 坦白 不坦白經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.2 有限次重復的囚徒困境博弈 以兩階段（以該博弈作為原博弈g重復兩次）為例：分析最后一階段，子博弈即為原博弈，唯一的均衡為（5，5）；分析第一階段，將最后階段的收益（5）添加到第一階段的矩陣中，即：此時，博弈的納什均衡仍是（坦白，坦白）。 坦白 不坦白坦白不坦白6，613， 5 5， 1310，10經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.2 有限次重復的囚徒困境博弈結論： 在有限次重復博弈g(t)中，如果原博弈g存在唯一的純策略納什均衡組合，則重復博弈的唯一的子博弈完美納什均衡解為各博弈方在每階段

6、都采取的原博弈納什均衡策略。含義：在原博弈具有唯一均衡的有限次重復博弈中，由于完全理性的博弈方具有“共同知識”的分析推理能力，因此在從最后階段開始的逆推過程中，仍然無法擺脫囚徒困境。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.2 有限次重復的囚徒困境博弈如果原博弈存在唯一的純策略納什均衡組合，則有限次重復博弈的唯一的均衡解即各博弈方在每階段（即每次重復）中都采用原博弈的納什均衡策略。由于在這樣的雙方策略下，均衡路徑中的每個階段都不存在不可信的威脅或許諾，因此這種均衡是子博弈完美納什均衡。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.2 有限次重復的囚徒困境博弈 定理 設原博弈g有唯一的純策略納什均衡，則對任意正整數(shù)t，

7、重復博弈g（t）有唯一的子博弈完美的解，即各博弈方每個階段都采用g的納什均衡策略。各博弈方在g（t）中的總得益為在g中得益的t倍，平均每階段得益等于原博弈g中的得益。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.3 有兩個納什均衡的重復博弈例 兩個廠商1和2，同時面臨兩個市場機會a和9><>b。假設每個廠商都只有能力選擇一市場發(fā)展，即他們的可選擇策略都是a或<>b，其得益矩陣如圖所示。 此博弈具有2個純策略納什均衡（1，4）、（4，1）和混合策略納什均衡概率（0.5，0.5）。 a <>ba <>b0，04，11， 43，3圖42 兩廠商差別市場博弈經(jīng)濟

8、博弈論 徐寅峰 教授4.2.3 有兩個納什均衡的重復博弈 考慮三次重復博弈各策略組合子博弈納什均衡路徑： 1.由原博弈的納什均衡組合而成的路徑，如采取輪換策略（在上述的協(xié)調(diào)博弈中，雙方輪換采取純納什均衡策略，路徑為(a,<>b)，(<>b,a)，(a,<>b).不考慮時間的價值（貼現(xiàn)系數(shù)），每階段的平均得益為（41）/2 2.5，高于混合策略的得益2。 2.觸發(fā)策略，博弈方首先采取合作行為，如果發(fā)現(xiàn)對方?jīng)]有進行合作，那么在后續(xù)階段的博弈中采取不合作策略進行懲罰。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.3 有兩個納什均衡的重復博弈 在圖42中，觸發(fā)策略的設計為：（1）

9、博弈方1的策略是第一階段合作a，如果發(fā)現(xiàn)對方采取<>b不合作，則第二階段采取不合作的<>b策略懲罰，否則第二階段繼續(xù)合作；第三階段無條件采取<>b策略。（2）博弈方2的策略是第一階段合作a，如果發(fā)現(xiàn)對方采取<>b不合作，則后續(xù)兩個階段一直采取不合作的<>b策略；如果發(fā)現(xiàn)對方采取合作a，則第二階段采取不合作<>b，第三階段采取合作a。 經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.3 有兩個納什均衡的重復博弈 策略設計分析： （1）在博弈方1和2中，在第一階段都采取了合作行為a，并針對對方的不合作行為<>b，都設計了在后續(xù)2個

10、階段采取不合作<>b的相應懲罰措施； （2）如果對方在第一階段中采取了合作行為，在后續(xù)階段的策略設計中要保證博弈結局具有穩(wěn)健性。因此，針對第一階段的合作行為，后續(xù)階段的策略設計是為了實現(xiàn)雙方的行動協(xié)調(diào)，以保證實現(xiàn)納什均衡（<>b,a）或（a,<>b）。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.3 有兩個納什均衡的重復博弈 結果分析： 子博弈路徑（a,a)，（a,<>b），（<>b,a）為子博弈納什均衡。 因為后續(xù)兩階段的結局（a,<>b）和（<>b,a）為納什均衡，而第一階段的合作結局（a,a)是由于觸發(fā)策略針對對方偏離

11、合作的行為設計了后續(xù)兩階段都不合作的懲罰措施，其單方面偏離的路徑（<>b,a）（<>b,<>b）（<>b,<>b）收益并不增加，因此不存在偏離的動機。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.4 民間定理問題的提出：由于具有多個納什均衡的重復博弈可以設計多種策略，在雙方缺乏溝通的情況下，結局具有不確定性。因此，這里討論具有多個納什均衡的重復博弈可以實現(xiàn)的收益范圍。個體理性得益：不管對方采取何種行動，只要自己的行為合理就可以保證實現(xiàn)的收益?？蓪崿F(xiàn)得益：各純策略組合得益的加權平均數(shù)組。注意：并非一定是均衡策略的組合得益，因此在圖42中，（3，3）也

12、是可實現(xiàn)得益。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.4 民間定理 用wi記博弈方i在一次性博弈中最差的均衡得益，用w記各博弈方的wi構成的得益數(shù)組。結合“個體理性得益”和“可實現(xiàn)得益”，則有限但次數(shù)很多的重復博弈有如下民間定理： 定理：將一次性博弈中最差的均衡得益數(shù)組記為w,如果原博弈g的一次性博弈有均衡得益數(shù)組優(yōu)于w，那么在有限次重復博弈g(t)中，所有個體理性得益和可實現(xiàn)得益都至少有一個子博弈完美納什均衡來實現(xiàn)。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.4 民間定理 在圖4-2一次性博弈中，博弈方均衡得益分別為純策略的得益（1，4），（4，1）和混合策略的得益（2，2）,最差的均衡得益數(shù)組為w=(1,1)

13、。 圖4-3 民間定理 (1,4) (3,3)(1,1)(4,1)廠商2得益廠商1得益經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.4 民間定理 在圖4-3中，通過不同得益的組合，陰影部分（包括連線）的得益都是可實現(xiàn)得益。 民間定理揭示出：在有限次重復博弈中，可以通過設計觸發(fā)策略來實現(xiàn)（或者逼近）陰影部分的得益。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.4 民間定理 定理分析：民間定理表明，在具有多個納什均衡的有限次重復博弈中，通過設計具有可信威脅的觸發(fā)策略（即在第一階段采取合作行為，當對方不合作時通過在后續(xù)階段采取相應的不合作策略進行懲罰；當對方合作時，在最后階段采取一次性原博弈的納什均衡策略作為穩(wěn)定的結局。），可

14、以使得博弈方在重復博弈的過程中具有了一定學習能力，從而達到博弈的帕累托前沿得益。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.4 民間定理例（兩人各三種可選策略）： l m r l m r 圖44多種策略博弈的重復博弈 該博弈具有兩個純策略納什均衡和一個混合策略納什均衡，但是雙方存在一個更好的得益（4，4）。對于二次重復博弈，根據(jù)民間定理可以設計一個觸發(fā)策略來實現(xiàn)這個得益。3，30，00，00，04，40，50，05，01，1經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.4 民間定理 觸發(fā)策略：博弈方1在第一階段采取m策略，如果對方合作，則第二階段采取r策略作為獎勵；否則第二階段采取l策略進行懲罰（注意(l,l)也是納什

15、均衡，因此具有穩(wěn)定性）。博弈方2也采取同樣策略。 策略分析：如果任何一方在第一階段偏離，僅僅多獲得541單位得益，而在第二階段的得益（l,l）僅僅為1；如果在第一階段合作，第二階段的得益為3。因此雙方不存在偏離該策略的動機。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.4 民間定理例（雙方各五種可選策略重復博弈）： l m r p q l m r p q 圖45雙方各五種可選策略重復博弈1/2,40,00,00,00,00,04,1/20,00,00,00,00,03,30,00,00,00,00,04,40,50,00,00,05,01,1經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.4 民間定理 該博弈具有4個純策略

16、納什均衡，在二次重復博弈中，觸發(fā)策略設計：第一階段雙方采取(m,m)策略，如果博弈方1偏離此策略，那么第二階段采取(q,q)策略對博弈方1進行懲罰，對博弈方2進行獎勵；同理，如果博弈方2偏離了此策略，那么采取(p,p)策略對博弈方2進行懲罰，對博弈方1進行獎勵。如果雙方都沒有偏離，那么第二階段采取具有較高收益的納什均衡(r,r)策略。如果雙方都偏離了此策略，第二階段同樣采取納什均衡的(r,r)策略。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.2.4 民間定理 策略分析：與圖44例子相比較，由于博弈的特殊結構，這個觸發(fā)策略的設計對偏離行為和合作行為分別進行懲罰和獎勵，因此策略具有很強的可信性。而在圖4-4例子中

17、，針對對方的偏離行為采取了（l,l）策略進行懲罰，但是懲罰對方的同時，自身的利益也受到了損害，因此可信性不強。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授第三節(jié) 無限次重復博弈在有限次重復博弈中， （1）由于完全理性的博弈方可以運用逆推歸納法，因此對于原博弈具有唯一納什均衡（如囚徒困境博弈）的有限次重復博弈，重復博弈結局尚無法擺脫囚徒困境； （2）但是對于原博弈具有多個納什均衡的有限次重復博弈，根據(jù)民間定理可以設計出具有可信威脅的觸發(fā)策略，達到帕累托最優(yōu)的博弈結局。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授第三節(jié) 無限次重復博弈在本節(jié)的無限次重復博弈中，由于無法運用逆推歸納法，因此對于原博弈具有唯一納什均衡（如囚徒困境博弈）的無限

18、次重復博弈，考慮到時間的價值后，也可以設計出具有可信威脅的觸發(fā)策略，擺脫囚徒困境，達到帕累托最優(yōu)的博弈結局。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.1 幾個概念無限次重復博弈求解存在的問題：（1）由于不存在最后一個階段，無法運用逆推歸納法求解；（2）如果不考慮時間的價值，在無限次重復加總過程中，幾乎所有子博弈路徑的總得益都為無窮大，因此無法比較不同路徑的優(yōu)劣。解決方法：考慮到時間的價值，人們更為注重近期的得益，引入貼現(xiàn)系數(shù) ，將未來階段的收益折算到當期階段。這樣在無限次重復博弈中，總收益值將是一個有限數(shù)，可以加以比較。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.1 幾個概念貼現(xiàn)系數(shù)： 1/(1+)，其中為以一階段

19、為期限的市場利率。 給定貼現(xiàn)系數(shù)，若無限次重復博弈一路徑的某博弈方各階段的收益為 ，則該博弈方在該無限次重復博弈中的總收益為各階段博弈中得益的“現(xiàn)在值”： 經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.1 幾個概念定義：給定一博弈g，無限次重復進行g博弈的過程稱為g的“無限次重復博弈”，記為g(,)，其中是各博弈方得益共同的貼現(xiàn)系數(shù)。并且，對任意的t，在進行第t階段（第t次重復）博弈之前，所有博弈方都能看到前(t1)階段博弈的結果。各博弈方在g(,)中的“得益”等于各階段得益的現(xiàn)在值。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.2 無限次重復的囚徒困境博弈在有限次重復囚徒困境博弈中， 雙方采取背叛策略（l,l）將是 唯

20、一的子博弈完美均衡路徑。 現(xiàn)在分析無限次重復博弈中， 觸發(fā)策略是否會帶來更好的結局？觸發(fā)策略：雙方在第一階段采取合作的策略r，如果前（t1）都是合作，那么繼續(xù)合作；否則，如果對方背叛，則在后續(xù)階段一直采取背叛策略l作為懲罰。4，40，55， 0 1，1l rlr圖46經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.2 無限次重復的囚徒困境博弈策略分析： 如果一方背叛，那么其路徑(l,r),(l,l),(l,l).的總收益為： 如果一方一直采取合作策略，那么總收益為： 當滿足條件 時，博弈方采取合作 策略將獲得更大的總收益，求解可得：經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.2 無限次重復的囚徒困境博弈結論：在原博弈具有

21、唯一納什均衡的無限次重復博弈中，在滿足一定條件下 ，采取觸發(fā)策略可以擺脫囚徒困境。這個條件表明貼現(xiàn)系數(shù)較大，博弈方比較看重未來階段的收益。直觀上看，當博弈方注重長期利益時，通過采取觸發(fā)策略可以實現(xiàn)長期合作的圓滿結局。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.3 無限次重復博弈的民間定理 本節(jié)介紹無限次重復博弈的一個基本結論，為此先介紹“無限次重復博弈的平均得益”概念，“可實現(xiàn)得益”概念已經(jīng)在4.2.4節(jié)加以介紹。 可實現(xiàn)得益：階段博弈各種純策略組合得益的加權平均所構成的得益數(shù)組，其中權數(shù)非負且總合為1，記為 。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.3 無限次重復博弈的民間定理 在圖46的囚徒困境例子中，圖47

22、陰影部分即為可實現(xiàn)得益。 圖47 可實現(xiàn)得益 (0,5)(1,1)(4,4)(5,0)博弈方2博弈方1經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.3 無限次重復博弈的民間定理無限次重復博弈平均得益的定義：如果有一常數(shù)，它作為一無限次重復博弈每個階段的得益能產(chǎn)生與該博弈無限次重復中某博弈方的無窮得益數(shù)列1,2,相同的貼現(xiàn)值，則稱為1,2,的平均得益。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.3 無限次重復博弈的民間定理平均得益的計算： 給定貼現(xiàn)系數(shù)，每階段得益都為時，無限次重復博弈的貼現(xiàn)值為： 如果每階段的得益為1,2,，無限次重復博弈的貼現(xiàn)值為： 兩式聯(lián)立，可以解得： 經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.3 無限次重復

23、博弈的民間定理 無限次重復博弈的民間定理：設g是一個完全信息的靜態(tài)博弈，其一個納什均衡的得益記為（e1,en），其可實現(xiàn)得益記為（ x1,xn ）。如果對于任意博弈方i都有xi &gt; ei，并且足夠接近于1，那么無限次重復博弈g(,)一定存在一個子博弈完美納什均衡路徑，能實現(xiàn)大小為（ x1,xn ）的重復博弈中各博弈方平均得益。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.3 無限次重復博弈的民間定理幾點說明： 1.定理表明，以得益較低的納什均衡（e1,en）作為可信的威脅，無限次重復博弈中可以實現(xiàn)更好的收益（ x1,xn )。 由于對于任意博弈方i都有xi &gt; ei，因此這個得益

24、是帕累托改進的。 2.定理的條件為足夠接近于1，即博弈方都比較看重未來長期合作的得益，因此避免了短期行為。 3.不同于有限次重復博弈的民間定理，這里并不要求原博弈具有多個納什均衡。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.3 無限次重復博弈的民間定理 圖例分析：原博弈為 圖46的囚徒困境博 弈，在菱形區(qū)域的可 實現(xiàn)得益區(qū)間中，只 有陰影部分才滿足對 于任意博弈方i都有 xi &gt; ei的帕累托改進 條件,因此，當足夠 大時，無限次重復博弈 總有一個路徑實現(xiàn)陰影部分的收益。(4,4)(0,5)(1,1)(5,0)博弈方2博弈方1圖48經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.4 無限次重復博弈的古諾模型

25、回憶靜態(tài)博弈的古諾模型： （1）市場總產(chǎn)量為qq1+q2，兩廠商的策略是制定各自的產(chǎn)量q1和q2，市場需求函數(shù)為p(q)=8q，廠商無固定成本，邊際成本為2，求解納什均衡策略？根據(jù)利潤最大化原則，廠商1和2的利潤函數(shù)：u1p(q)×q1c× q1 q1×8(q1q2)2 q16 q1 q1 q2 q12u2p(q)×q2c1× q2 q2×8(q1q2) 2 q26 q2 q1 q2 q22 對利潤函數(shù)求導，得最大值： 經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.4 無限次重復博弈的古諾模型聯(lián)立解得，雙方均衡產(chǎn)量（古諾產(chǎn)量）：q2* q1*2，雙

26、方各自利潤分別為： u1 u24。（2）如果兩廠商合謀，在市場上形成一個壟斷廠商，追求總利潤的最大化： u= p(q)×qc×q q(8q)2q6qq2 求導得：最大的總產(chǎn)量q*3，最大的總利潤u*=9，每個廠商的平均產(chǎn)量為1.5，平均利潤為u1u24.5，大于不合作情況下古諾產(chǎn)量的利潤4。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.4 無限次重復博弈的古諾模型 下面分析無限次重復博弈古諾模型的3個策略。觸發(fā)策略1：第一階段各自生產(chǎn)壟斷產(chǎn)量1.5，如果雙方在前(t1)階段都進行合作，保持了壟斷產(chǎn)量(1.5，1.5)，那么第t階段繼續(xù)合作；否則生產(chǎn)具有較低收益的作為納什均衡的古諾產(chǎn)量2。

27、經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.4 無限次重復博弈的古諾模型 策略1分析： 如果雙方一直保持合作，則每階段的壟斷收益都為4.5，因此總收益： 4.5(12)4.5/(1) (1) 如果一方在第一階段偏離合作，其應在對方采取壟斷產(chǎn)量1.5情況下，采取使其利潤最大化的產(chǎn)量，即： max(81.5q2)q22q2max(4.5q2).q2 解得q22.25，此時利潤 u max(4.5q2).q25.0625；經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授無限次重復博弈的古諾模型 但是在后續(xù)階段中只能得到古諾產(chǎn)量下的利潤 4，因此總收益： 5.06254(2)5.06254/(1) (2) 如果得益滿足（1）&g

28、t;（2），觸發(fā)策略下保持合 作的壟斷產(chǎn)量將構成子博弈完美納什均衡，可以解 得：9/17經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.4 無限次重復博弈的古諾模型關于觸發(fā)策略的更一般結論：在觸發(fā)策略1中，如果滿足條件9/17，博弈方可以通過古諾產(chǎn)量作為威脅，迫使對方合作達成帕累托最優(yōu)的壟斷產(chǎn)量。但是，如果為了達到其它利潤較低的可實現(xiàn)得益，相應的貼現(xiàn)系數(shù)要求是否可以降低（即博弈方是否可以不那么看重未來長期利益）？下面討論兩者之間的關系。觸發(fā)策略2：第一階段生產(chǎn)q*，如果前(t1)階段結局都是(q*,q*)，那么繼續(xù)生產(chǎn)q* ，否則采取納什均衡的古諾產(chǎn)量2。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.4 無限次重復博弈的古

29、諾模型策略2分析：如果雙方一直合作,利潤： *(82q*)q*2q* (62q*)q*總得益： (62q*)q*(12) (62q*)q* /(1) (3) 如果一方在第一階段偏離合作，其應在對方采取q*產(chǎn)量的情況下，采取使其利潤最大化的產(chǎn)量，即：max(8q*q2)q22q2， 對q2求導解得q2 (6q*) /2，此時利潤u (6q*)2 /4；經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.4 無限次重復博弈的古諾模型但是在后續(xù)階段中只能得到古諾產(chǎn)量下的利潤4，因此總收益： (6q*)2/4 4(2) (6q*)2/4 4/(1) (4) 如果得益滿足（3）&gt;（4），觸發(fā)策略下保持合作的產(chǎn)

30、量q*將構成子博弈完美納什均衡，可以解得： q*2(95)/(9) 經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.4 無限次重復博弈的古諾模型結論：對于不同的貼現(xiàn)系數(shù)，無限次重復博弈的古諾模型可以相應的實現(xiàn)不同的可實現(xiàn)得益，兩者之間的關系為 q*2(95)/(9) 其中，當9/17 時，q*1.5，即為觸發(fā)策略1； 當0 時，q*2，即為一次性博弈中納什均衡的古諾產(chǎn)量。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.4 無限次重復博弈的古諾模型一種胡蘿卜加大棒的策略3：第一階段雙方生產(chǎn)壟斷產(chǎn)量1.5，如果在第(t1)階段結果為(1.5，1.5)，沒有發(fā)生偏離，則繼續(xù)保持合作；如果雙方同時偏離并產(chǎn)量相等，也既往不咎，繼續(xù)保持

31、壟斷產(chǎn)量1.5；如果對方單方面偏離，則采取懲罰性的高產(chǎn)量x。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.4 無限次重復博弈的古諾模型策略3分析：如果一方在第一階段中偏離壟斷產(chǎn)量，其應在對方采取壟斷產(chǎn)量1.5情況下，采取使其利潤最大化的產(chǎn)量，即： max(81.5q2)q22q2max(4.5q2).q2 解得q22.25，此時利潤 u max(4.5q2).q25.0625； 相對于合作壟斷產(chǎn)量(1.5，1.5)的得益4.5，第一階段偏離后得益的增加值為： 5.06254.50.5625 (5)經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.4 無限次重復博弈的古諾模型 這一偏離行為在第二階段中將面臨著來自對方的懲罰性高

32、產(chǎn)量x。根據(jù)策略設計，如果在第二階段也采取同樣的產(chǎn)量x，那么在第三階段以后將繼續(xù)保持合作壟斷的結局。因此，第二階段也采取懲罰性高產(chǎn)量x，此階段得益為： (82x)x2x 6x2x2。 經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.4 無限次重復博弈的古諾模型 相對于合作壟斷產(chǎn)量的得益4.5，考慮貼現(xiàn)系數(shù)后，此階段的得益損失為： (4.5 6x2x2) (6) 當?shù)靡鏉M足（5）&gt;（6）時，保持合作的壟斷產(chǎn)量將構成子博弈完美納什均衡，解得： 0.5625/(4.5 6x2x2)經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.4 無限次重復博弈的古諾模型 結論：上式表明，博弈方是否采取偏離行為，不僅與貼現(xiàn)系數(shù)有關，

33、而且與懲罰性產(chǎn)量x的大小有關。當0.5時，只有滿足x 2.25才能保證博弈方不發(fā)生偏離。 注意：由于納什均衡的古諾產(chǎn)量為2，因此 x2.25高于納什均衡產(chǎn)量，故稱為懲罰性高產(chǎn)量。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.4 無限次重復博弈的古諾模型比較策略2和策略3：策略2表明了在無限次重復博弈的古諾模型中，采取觸發(fā)策略下雙方是否能夠達成合作的壟斷產(chǎn)量，取決于貼現(xiàn)系數(shù)和可實現(xiàn)得益的相應產(chǎn)量q，兩者之間存在替代關系，即 q*2(95)/(9) 。策略3表明了采取胡蘿卜加大棒策略下雙方是否能夠達成合作的壟斷產(chǎn)量，取決于貼現(xiàn)系數(shù)和“大棒”的懲罰力度，兩者之間也存在替代關系（即，加大懲罰力度x可以相應的降低貼現(xiàn)

34、系數(shù)）， 0.5625/(4.5 6x2x2)。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.5 無限次重復博弈的效率工資模型問題提出：廠商提供較高的工資w，可以促進工人努力工作，但是也增加了成本，因此需要確定一個適當?shù)墓べY率；工人根據(jù)自己的能力決定拒絕或接受這個工資水平。如果工人接受工作，可以選擇努力工作或者偷懶。經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.5 無限次重復博弈的效率工資模型原博弈的結構（原博弈為一個兩階段動態(tài)博弈）：工資率w廠商個體戶w0努力工作偷懶工人拒絕接受接受(0，w0)(yw，we)(pyw，w)經(jīng)濟博弈論 徐寅峰 教授4.3.5 無限次重復博弈的效率工資模型原博弈結構的說明：如果工人努力工作，其付出的代價為e，但會獲得一個y&gt;0的高產(chǎn)量；如果工人偷懶，其僅僅有概率p獲得高產(chǎn)量，而獲得低產(chǎn)量的概率為(1p)。廠商只能通過產(chǎn)量判斷工人的努力程度。(產(chǎn)品的價格為1)一次性博弈的結局：在廠商必須支付工