課題學(xué)習(xí)最短路徑問題

1、13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題一、教學(xué)設(shè)計(jì)理念 最短路徑問題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到，初中階段主要以“兩點(diǎn)之間線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”為知識(shí)基礎(chǔ)，有時(shí)還要借助軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變化進(jìn)行研究。 本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的兩個(gè)經(jīng)典問題“將軍飲馬”“造橋選址”為載體展開對(duì)“最短路徑問題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用軸對(duì)稱、平移等變化再把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題，并運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化的過程和轉(zhuǎn)化思想。最短路徑問題從本質(zhì)上說是最值問題，作為初中生，此前很少在幾何中接觸最值問題，解決此類

2、問題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，特別是面對(duì)具有實(shí)際背景的最值問題，更會(huì)感到陌生，無從下手解答“當(dāng)點(diǎn)a、b在直線 l的同側(cè)時(shí)，如何在直線l上找到點(diǎn)c，使 ac與cb的和最小”，需要將其轉(zhuǎn)化為“在直線 l異側(cè)兩點(diǎn)的線段和最小值問題”，為什么需要這樣轉(zhuǎn)化、怎樣通過軸對(duì)稱、平移變化實(shí) 現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一些學(xué)生在理解和操作上存在困難在證明作法的合理性時(shí)，需要在直線上任取點(diǎn)(與所求作的點(diǎn)不重合)，證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路、方法，一些學(xué)生想不到所以在課堂上特別對(duì)這幾個(gè)問題進(jìn)行了針對(duì)性的設(shè)計(jì)。二、教學(xué)對(duì)象分析 八年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)研究過一些“兩點(diǎn)之間，線段最短”、“垂線段最短”等問題。一直以來，學(xué)生對(duì)多媒體

3、環(huán)境下的幾何探究都十分感興趣，有較強(qiáng)的好奇心，在學(xué)習(xí)上有較強(qiáng)的求知欲望，學(xué)習(xí)投入程度大。他們觀察、操作、猜想能力較強(qiáng)，但演繹推理、歸納、運(yùn)用數(shù)學(xué)意識(shí)的思想比較薄弱，思維的廣闊性、敏捷性、靈活性比較欠缺，自主探究和合作學(xué)習(xí)能力也需要在課堂教學(xué)中進(jìn)一步加強(qiáng)和引導(dǎo)。學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的提出和解決上有一定的方法，但不夠深入和全面，需要教師的引導(dǎo)和幫助，學(xué)生本身具有一定的探究精神和合作意識(shí)，能在親身的經(jīng)歷體驗(yàn)中獲取一定的數(shù)學(xué)新知識(shí)，但在數(shù)學(xué)的說理上還不規(guī)范，幾何演繹推理能力有待加強(qiáng)。(1)最短路徑問題從本質(zhì)上說是最值問題，作為初中生，此前很少在幾何中接觸最值問題，解決此類問題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，特別是面對(duì)具

4、有實(shí)際背景的最值問題，更會(huì)感到陌生，無從下手。 (2)解答“當(dāng)點(diǎn)a、b在直線 l的同側(cè)時(shí)，如何在直線l上找到點(diǎn)c，使 ac與cb的和最小”，需要將其轉(zhuǎn)化為“在直線 l異側(cè)兩點(diǎn)的線段和最小值問題”，為什么需要這樣轉(zhuǎn)化、怎樣通過軸對(duì)稱、平移變化實(shí) 現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一些學(xué)生在理解和操作上存在困難。 (3)在證明作法的合理性時(shí)，需要在直線上任取點(diǎn)(與所求作的點(diǎn)不重合)。證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路、方法，一些學(xué)生會(huì)想不到。三、教學(xué)目標(biāo) 1、了解解決最短路徑問題的基本策略和基本原理。 2、能將實(shí)際問題中的“地點(diǎn)”“河”“橋”等抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”“線”，使實(shí)際問題數(shù)學(xué)化。 3、能運(yùn)用軸對(duì)稱、平移變

5、化解決簡單的最短路徑問題，體會(huì)幾何變化在解決最值問題中的重要作用。 4、在探索最短路徑的過程中，感悟、運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想。進(jìn)一步培養(yǎng)好奇心和探究心理，更進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用。四，教學(xué)重點(diǎn)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用軸對(duì)稱平移解決生活中路徑最短的問題，確定出最短路徑的方法。    五， 教學(xué)難點(diǎn)：探索發(fā)現(xiàn)“最短路徑”的方案，確定最短路徑的作圖及原理。六、教學(xué)實(shí)施1最短路徑問題(1)求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求如圖所示，點(diǎn)a，b分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)c，使cacb最短，這時(shí)點(diǎn)c是直

6、線l與ab的交點(diǎn)(2) 問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的a 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到b 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ 【例1】 在圖中直線l上找到一點(diǎn)m，使它到a，b兩點(diǎn)的距離和最小分析：求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，則與該直線的交點(diǎn)即為所求先確定其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接對(duì)稱點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)，與直線l的交點(diǎn)m即

7、為所求的點(diǎn)解：如圖所示：(1)作點(diǎn)b關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)b；(2)連接ab交直線l于點(diǎn)m.(3)則點(diǎn)m即為所求的點(diǎn)點(diǎn)撥：運(yùn)用軸對(duì)稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，然后用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決問題.為了證明點(diǎn)c的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點(diǎn)c，連接ac，bc，bc，證明accbaccb.如下：證明：由作圖可知，點(diǎn)b和b關(guān)于直線l對(duì)稱，所以直線l是線段bb的垂直平分線因?yàn)辄c(diǎn)c與c在直線l上，所以bcbc，bcbc.在abc中，abacbc，所以acbcacbc，所以acbcaccb.2.運(yùn)用軸對(duì)稱解決距離最短問題運(yùn)用軸對(duì)稱及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，將所求線段之和

8、轉(zhuǎn)化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運(yùn)用時(shí)要抓住直線同旁有兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)到直線上某點(diǎn)的距離和最小這個(gè)核心，所有作法都相同警誤區(qū) 利用軸對(duì)稱解決最值問題應(yīng)注意題目要求根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法解決這類最值問題時(shí)，要認(rèn)真審題，不要只注意圖形而忽略題意要求，審題不清導(dǎo)致答非所問【例2】 如圖，從a地到b地經(jīng)過一條小河(河岸平行)，今欲在河上建一座與兩岸垂直的橋，應(yīng)如何選擇橋的位置才能使從a地到b地的路程最短？問題：如圖a和b兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋mn，橋造在何處才能使從a到b的路徑amnb最短？（假

9、設(shè)河兩岸平行,橋mn 與河岸垂直,a到 的距離大于河寬.） 方法探究：讀懂題意后發(fā)現(xiàn)，這個(gè)問題要求的“路徑amnb最短”實(shí)際是就是“am+bn”最短，因?yàn)楸绢}中附加條件是“橋要與河垂直”，也就是說橋的長度就是河兩岸的距離了（題中假定了河的兩岸是平行的直線） 怎樣保證“am+bn”最短呢？如果不是中間有條河隔著，直接連接ab就可以了！由于河兩岸平行, 故橋長mn是一個(gè)定值,無論橋架在何處,mn是必經(jīng)路線,要使從a到b的折線最短,只需am+bn最短即可. 為此我們不妨將橋mn平移到處,且m與a重合,則n與 重合,由平移性質(zhì)知am=cn .由“兩點(diǎn)之間,線段最短”的性質(zhì)知,要使am+bn最短(即 +bn最短),只要點(diǎn)n在線段上即可為了更為清楚的表達(dá)這種方法，我們構(gòu)造出如圖2的作圖后，再加以說明圖2的操作步驟是，過點(diǎn)a作ac 河和于點(diǎn)c， 在線段ac上截取 ac=橋長，然后連接cb 交 于點(diǎn)n，最后過點(diǎn)n作mn河于點(diǎn)m.則mn即為所求的架設(shè)橋的地點(diǎn).作法：從a到b要走的路線是amnb，如圖所示，而mn是定值，于是要使路程最短，只要ambn最短即可此時(shí)兩線段應(yīng)在同一平行方向上，平移mn到ac，從c到b應(yīng)是余下的路程，連接bc的線段即為最短的，此時(shí)不難說明點(diǎn)n即為建橋位置，mn即為所建的橋解：(1)如圖2，過點(diǎn)a作ac垂直于河岸，且使ac等于河